Problemy Smale'a

Problemy Smale'a to lista osiemnastu nierozwiązanych problemów matematycznych zaproponowana przez Steve'a Smale'a w 1998 i ponownie opublikowana w 1999. Smale ułożył tę listę w odpowiedzi na prośbę Vladimira Arnolda , ówczesnego wiceprezesa Międzynarodowej Unii Matematycznej , który poprosił kilku matematyków o zaproponować listę problemów XXI wieku. Inspiracją dla Arnolda była opublikowana na początku XX wieku lista problemów Hilberta .

Tabela problemów

Problem	Krótkie wyjaśnienie	Status	Rok rozwiązany
1. miejsce	Hipoteza Riemanna : Rzeczywista część każdego nietrywialnego zera funkcji zeta Riemanna wynosi 1/2. (patrz także ósmy problem Hilberta )	Nie rozwiązany.	–
2. miejsce	Hipoteza Poincarégo : Każda prosto połączona , zamknięta 3- rozmaitość jest homeomorficzna z 3-sferą .	Rozwiązany. Wynik: Tak, udowodnione przez Grigorija Perelmana przy użyciu przepływu Ricciego .	2003
3	Problem P kontra NP : czy dla wszystkich problemów, dla których algorytm może szybko zweryfikować dane rozwiązanie (to znaczy w czasie wielomianowym ), algorytm może również szybko znaleźć to rozwiązanie?	Nie rozwiązany.	–
4	Shuba – Smale'a na zerach całkowitych wielomianu jednej zmiennej	Nie rozwiązany.	–
5	Czy można zdecydować, czy równanie diofantyczne ƒ ( x , y ) = 0 ( wejście ƒ ∈ ${\ textstyle \ mathbb {Z}}$ [ u , v ]) ma całkowite rozwiązanie ( x , y ) w czasie (2 ^s ) ^c dla jakiejś uniwersalnej stałej c ? To znaczy, czy problem można rozstrzygnąć w czasie wykładniczym ?	Nie rozwiązany.	–
6	Czy liczba równowag względnych ( konfiguracji centralnych ) jest skończona w problemie n -ciał mechaniki nieba dla dowolnego wyboru dodatnich liczb rzeczywistych m ₁ , ..., m _n jako mas?	Częściowo rozwiązany. Udowodnione dla prawie wszystkich układów pięciu ciał przez A. Albouy i V. Kaloshin w 2012 roku.	2012
7	$)$ znajdowania takiego 1 ja ${\ Displaystyle V_ {N} (x) = \ suma _ {1 \ równoważnik i <j \ równoważnik N} \ log {\ Frac {1} {\\|x_ {i} -x_ {j} \\|}}}$ jest zminimalizowany dla rozkładu N punktów na 2-sferze . Jest to związane z problemem Thomsona .	Nie rozwiązany.	–
8	Rozszerz model matematyczny teorii równowagi ogólnej, aby uwzględnić korekty cen	Gjerstad (2013) rozszerza deterministyczny model korekty cen Hahna i Negishiego (1962) na model stochastyczny i pokazuje, że gdy model stochastyczny jest linearyzowany wokół równowagi, wynikiem jest model autoregresyjnej korekty cen stosowany w ekonometrii stosowanej. Następnie testuje model z danymi dotyczącymi korekty cen z eksperymentu równowagi ogólnej. Model sprawdza się dobrze w eksperymencie równowagi ogólnej z dwoma towarami. Lindgren (2022) zapewnia dynamiczny model programowania dla równowagi ogólnej z korektami cen, w którym dynamika cen jest określona przez cząstkowe równanie różniczkowe Hamiltona-Jacobiego-Bellmana. Zapewnione są również dobre warunki stabilności Lapunowa.
9	Zadanie programowania liniowego : Znajdź silnie wielomianowy algorytm czasu, który dla danej macierzy A ∈ R ^{m × n} oraz b ∈ R ^m decyduje, czy istnieje x ∈ R ⁿ z Ax ≥ b .	Nie rozwiązany.	–
10	Lemat zamykający Pugha (wyższy rząd gładkości)	Częściowo rozwiązany. Udowodnione dla hamiltonowskich dyfeomorfizmów powierzchni zamkniętych przez M. Asaokę i K. Irie w 2016 r.	2016
11	Czy dynamika jednowymiarowa jest ogólnie hiperboliczna? (a) Czy złożony wielomian $T może$ być aproksymowany przez jeden o tym samym stopniu z właściwością, że każdy punkt krytyczny ma tendencję do okresowego opadania podczas iteracji? (b) Czy gładka mapa $T : [0,1] \to [0,1]$ może być $C r$ przybliżona przez taką, która jest hiperboliczna, dla wszystkich $r > 1$ ?	(a) Nierozwiązany, nawet w najprostszej przestrzeni parametrów wielomianów, zbiór Mandelbrota . (b) Rozwiązany. Udowodnione przez Kozłowskiego, Shena i van Striena.	2007
12	Dla zamkniętej rozmaitości i dowolnej niech będzie re ja fa $operatorname {różnica} ^ {r} (M)} r ≥ 1 {$ $\ Displaystyle \$ $)$ grupa topologiczna $_$ $_$ . _ _ Dany dowolny $^ {r} (M)}$ ${\ Displaystyle T \ in \ mathrm {Diff} ^{r}(M)},$ , czy można to dowolnie dobrze przybliżyć przez takie że dojeżdża tylko swoimi iteracjami? Innymi słowy, czy podzbiór wszystkich dyfeomorfizmów, których centralizatory są trywialnie gęste, ${\ Displaystyle \ operatorname {różnic} ^ {r} (M)}$ ?	Częściowo rozwiązany. Rozwiązany w topologii $C 1$ $Cr przez$ Christiana Bonattiego, Sylvaina Crovisiera i Amie Wilkinsona w 2009 roku. Wciąż otwarty w topologii dla $r > 1$ .	2009
13	Szesnasty problem Hilberta : Opisz względne położenia owali wychodzących z rzeczywistej krzywej algebraicznej i jako cykle graniczne wielomianowego pola wektorowego na płaszczyźnie.	Nierozwiązany, nawet dla krzywych algebraicznych stopnia 8.	–
14	atraktor Lorenza ma właściwości atraktora dziwnego?	Rozwiązany. Wynik: Tak, rozwiązany przez Warwicka Tuckera przy użyciu arytmetyki interwałowej .	2002
15	Czy równania Naviera-Stokesa w R ³ zawsze mają unikalne gładkie rozwiązanie , które rozciąga się na cały czas?	Nie rozwiązany.	–
16	Hipoteza Jakobiana : Jeśli wyznacznik jakobianu F jest niezerową stałą, a k ma charakterystykę 0, to F ma funkcję odwrotną G : k ^N → k ^N , a G jest regularny (w tym sensie, że jego składowe są wielomianami) .	Nie rozwiązany.	–
17	Rozwiązywanie równań wielomianowych w czasie wielomianowym w przypadku przeciętnym	Rozwiązany. C. Beltrán i LM Pardo znaleźli jednolity algorytm probabilistyczny (średni algorytm Las Vegas ) dla 17. problemu Smale'a F. Cucker i P. Bürgisser przeprowadzili wygładzoną analizę algorytmu probabilistycznego à la Beltrán-Pardo, a następnie zaprezentowali algorytm deterministyczny działający w czasie ${\ Displaystyle N ^ {O (\ log \ log N)}}$ . Wreszcie P. Lairez znalazł alternatywną metodę derandomizacji algorytmu iw ten sposób znalazł algorytm deterministyczny, który działa w średnim czasie wielomianowym. Wszystkie te prace są kontynuacją fundamentalnej pracy Shuba i Smale'a („seria Bezout”), która rozpoczęła się w r	2008-2016
18	Granice inteligencji (opowiada o podstawowych problemach inteligencji i uczenia się, zarówno od strony człowieka, jak i maszyny)	Nie rozwiązany.	–

W późniejszych wersjach Smale wymienił również trzy dodatkowe problemy, „które nie wydają się wystarczająco ważne, aby zasługiwać na miejsce na naszej głównej liście, ale nadal byłoby miło je rozwiązać:”

Problem wartości średniej
trójkula jest zbiorem minimalnym (przypuszczenie Gottschalka)?
Czy dyfeomorfizm Anosowa zwartej rozmaitości jest topologicznie taki sam jak model grupy Liego Johna Franksa?

Zobacz też