Kwestia Thomsona

Celem problemu Thomsona jest wyznaczenie minimalnej elektrostatycznej konfiguracji energii potencjalnej $n$ elektronów przyczepionych do powierzchni kuli jednostkowej , które odpychają się siłą określoną prawem Coulomba . Fizyk JJ Thomson postawił problem w 1904 roku, proponując model atomowy , nazwany później modelem puddingu śliwkowego , oparty na swojej wiedzy o istnieniu ujemnie naładowanych elektronów w neutralnie naładowanych atomach.

Powiązane problemy obejmują badanie geometrii konfiguracji minimalnej energii oraz badanie zachowania minimalnej energii przy dużym $n .$

Oświadczenie matematyczne

Energia oddziaływania elektrostatycznego występująca między każdą parą elektronów o równych ładunkach ( , $Displaystyle$ elementarnym ładunkiem elektronu mi $e_ {i} = e_ {j} = e}$ ) wynika z prawa Coulomba,

{\ Displaystyle U_ {ij} (N) = k _ {\ tekst {e}} {e_ {i} e_ {j} \ nad r_ {ij}}.}

Tutaj ${\ Displaystyle k _ {\ tekst {e}}}$ jest stałą Coulomba i ${\ Displaystyle r_ {ij} = | \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {j} |} to odległość między$ każdą parą elektronów znajdujących się w punktach na kuli określonej przez wektory ${ odpowiednio \ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ i ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {j}}$ .

$} = 1} są$ jednostki i ${\ displaystyle$ używane bez utraty ogólności Następnie,

{\ Displaystyle U_ {ij} (N) = {1 \ ponad r_ {ij}}.}

Całkowitą elektrostatyczną energię potencjalną każdej konfiguracji N -elektronów można następnie wyrazić jako sumę energii wszystkich oddziaływań parami

{\ Displaystyle U (N) = \ suma _ {i <j} {\ Frac {1} {r_ {ij}}}.}

Globalna minimalizacja we wszystkich możliwych konfiguracjach $N$ różnych punktów jest zwykle znajdowana za pomocą

Problem Thomsona jest związany z siódmym z osiemnastu nierozwiązanych problemów matematycznych zaproponowanych przez matematyka Steve'a Smale'a - „Rozkład punktów na 2-sferze”. Główna różnica polega na tym $potencjał$ że w problemie Smale'a funkcją minimalizacji nie jest potencjał elektrostatyczny, logarytmiczny ${\ Displaystyle - \ log r_ {ij}.}$ Druga różnica polega na tym, że pytanie Smale'a dotyczy asymptotycznego zachowania całkowitego potencjału, gdy liczba N punktów dąży do nieskończoności, a nie dla konkretnych wartości N .

Przykład

$, gdy oba elektrony$ początku lub

{\ displaystyle U (2) = {1 \ ponad 2}.}

Znane dokładne rozwiązania

Schematyczne rozwiązania geometryczne matematycznego problemu Thomsona dla maksymalnie N = 5 elektronów.

Matematycznie dokładne konfiguracje minimalnej energii zostały rygorystycznie zidentyfikowane tylko w kilku przypadkach.

Dla N = 1 rozwiązanie jest trywialne. Pojedynczy elektron może znajdować się w dowolnym punkcie na powierzchni sfery jednostkowej. Całkowita energia konfiguracji jest zdefiniowana jako zero, ponieważ elektron nie doświadcza pola elektrycznego z powodu innych źródeł ładunku.

Dla N = 2 optymalna konfiguracja składa się z elektronów w punktach antypodalnych . Jest to pierwsze rozwiązanie jednowymiarowe.

Dla N = 3 elektrony znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego wokół dowolnego koła wielkiego . Wielki krąg jest często uważany za definiujący Równik wokół kuli i dwa punkty prostopadłe do płaszczyzny są często uważane za bieguny, aby pomóc w dyskusjach na temat konfiguracji elektrostatycznej rozwiązań wielu N elektronów. Jest to również pierwsze rozwiązanie dwuwymiarowe.

Dla N = 4 elektrony znajdują się w wierzchołkach czworościanu foremnego . Co ciekawe, jest to pierwsze trójwymiarowe rozwiązanie.

Dla N = 5 w 2010 roku zgłoszono matematycznie rygorystyczne rozwiązanie wspomagane komputerowo z elektronami znajdującymi się w wierzchołkach trójkątnej dypiramidy . Co ciekawe, niemożliwe jest, aby jakiekolwiek N z pięcioma lub więcej elektronami wykazywało globalną równą odległość między wszystkimi parami elektronów.

Dla N = 6 elektrony znajdują się w wierzchołkach ośmiościanu foremnego . Konfigurację można sobie wyobrazić jako cztery elektrony znajdujące się w rogach kwadratu wokół równika, a pozostałe dwa na biegunach.

Dla N = 12 elektrony znajdują się w wierzchołkach dwudziestościanu foremnego .

Geometryczne rozwiązania problemu Thomsona dla elektronów N = 4, 6 i 12 to bryły platońskie , których wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi. Rozwiązania numeryczne dla N = 8 i 20 nie są regularnymi wypukłymi konfiguracjami wielościennymi pozostałych dwóch brył platońskich, których ściany są odpowiednio kwadratowe i pięciokątne. ^{[ potrzebne źródło ]}

Uogólnienia

Można też zapytać o stany podstawowe cząstek oddziałujących z dowolnymi potencjałami. Aby być matematycznie precyzyjnym, niech f będzie malejącą funkcją o wartościach rzeczywistych i zdefiniuj funkcjonał energii

{\ Displaystyle \ suma _ {i <j} f (| x_ {i} -x_ {j} |).}

Tradycyjnie bierze się pod uwagę $}$ jądra Riesz ${$ Całkowalne jądra Riesza można znaleźć w pracy Landkofa z 1972 roku. W przypadku niecałkowalnych jąder Riesza twierdzenie o obwarzanku z makiem , patrz praca Hardina i Saffa z 2004 roku. Godne uwagi przypadki obejmują:

α = ∞, problem Tammesa (pakowanie);
α = 1, problem Thomsona;
α = 0, aby zmaksymalizować iloczyn odległości, ostatnio znany jako problem Whyte'a;
α = −1 : problem maksymalnej średniej odległości.

Można również rozważyć konfiguracje N punktów na kuli o większym wymiarze . Zobacz sferyczny projekt .

Algorytmy rozwiązań

Do rozwiązania tego problemu zastosowano kilka algorytmów . Od tysiąclecia koncentrowano się na lokalnych metodach optymalizacji stosowanych do funkcji energii, chociaż pojawiły się spacery losowe :

ograniczona globalna optymalizacja (Altschuler i in. 1994),
najbardziej strome zejście (Claxton i Benson 1966, Erber i Hockney 1991),
spacer losowy (Weinrach i in. 1990),
algorytm genetyczny (Morris i in. 1996)

Chociaż celem jest zminimalizowanie globalnej elektrostatycznej energii potencjalnej każdego przypadku N -elektronów, interesujących jest kilka algorytmicznych przypadków początkowych.

Ciągły ładunek powłoki sferycznej

Skrajna górna granica energii problemu Thomsona jest określona wzorem

dla

ciągłego ładunku powłoki, po którym następuje N (N - 1)/2, energia elektronów N. _ Znacznie niższą energię danego N -elektronowego rozwiązania problemu Thomsona z jednym ładunkiem u źródła można łatwo uzyskać przez

{\ Displaystyle U (N) + N}

, gdzie

{\ Displaystyle U (N)}

są rozwiązaniami problemu Thomsona.

Energia ciągłej sferycznej powłoki o ładunku rozłożonym na jej powierzchni jest wyrażona wzorem

{\ Displaystyle U _ {\ tekst {powłoki}} (N) = {\ Frac {N ^ {2}} {2}}}

i jest na ogół większa niż energia każdego rozwiązania problemu Thomsona. Uwaga: Tutaj N jest używane jako zmienna ciągła reprezentująca nieskończenie podzielny ładunek, Q , rozłożony na kulistej powłoce. $Na$ $na$ powłoka reprezentuje ładunku pojedynczego elektronu całej powłoce

Losowo rozłożone opłaty punktowe

Globalna energia układu elektronów rozłożonych w sposób czysto losowy na powierzchni kuli jest dana wzorem

{\ Displaystyle U _ {\ tekst {rand}} (N) = {\ Frac {N (N-1)} {2}}}

i jest na ogół większa niż energia każdego rozwiązania problemu Thomsona.

Tutaj N jest zmienną dyskretną, która zlicza liczbę elektronów w układzie. $<U _ {\ tekst {powłoka}} (N)}$ )

Dystrybucja skoncentrowana na ładunku

Dla każdego N- $konfiguracja ,$ rozwiązania problemu Thomsona istnieje zawiera elektron na początku kuli, którego energia jest po do energii N - te rozwiązanie. To jest,

{\ Displaystyle U_ {0} (N + 1) = U _ {\ tekst {Thom}} (N) + N.}

$N)}$ więc, jeśli , to dokładnie ${\ tekst {Thom}}$ .

${\ Displaystyle U_ {0} (N + 1)}$ jest większy niż $U _ {\ tekst {Thom}} (N + 1)$ Displaystyle } ale jest znacznie $_ {\ tekst {powłoki}} ($ każdego rozwiązania Thomsona niż $U$ } ${\ Displaystyle U _ {\ tekst {rand}} (N + 1)}$ . Dlatego rozkład skoncentrowany na ładunku reprezentuje mniejszą „lukę energetyczną”, którą należy przekroczyć, aby znaleźć rozwiązanie każdego problemu Thomsona, niż algorytmy, które zaczynają się od pozostałych dwóch konfiguracji ładunków.

Relacje z innymi problemami naukowymi

modelu puddingu śliwkowego JJ Thomsona przy braku jego jednolitego dodatniego ładunku tła.

„Żaden fakt odkryty na temat atomu nie może być trywialny ani nie może nie przyspieszyć postępu nauk fizycznych, ponieważ większa część filozofii przyrody jest wynikiem budowy i mechanizmu atomu”.

—Sir JJ Thomson

Chociaż dowody eksperymentalne doprowadziły do porzucenia modelu budyniu śliwkowego Thomsona jako kompletnego modelu atomowego, stwierdzono, że nieprawidłowości obserwowane w numerycznych rozwiązaniach energetycznych problemu Thomsona odpowiadają wypełnianiu powłok elektronowych naturalnie występujących atomów w całym układzie okresowym pierwiastków .

Problem Thomsona odgrywa również rolę w badaniu innych modeli fizycznych, w tym pęcherzyków wieloelektronowych i uporządkowania powierzchni kropel ciekłego metalu zamkniętych w pułapkach Paula .

Uogólniony problem Thomsona pojawia się na przykład przy określaniu rozmieszczenia podjednostek białkowych, które składają się na otoczki wirusów kulistych . „Cząstki” w tym zgłoszeniu to skupiska podjednostek białkowych rozmieszczone na powłoce. Inne realizacje obejmują regularne układy koloidalnych w koloidosomach , proponowane do kapsułkowania składników aktywnych, takich jak leki, składniki odżywcze lub żywe komórki, fulerenowe wzory atomów węgla i teoria VSEPR . Przykład z interakcjami logarytmicznymi dalekiego zasięgu dostarcza Wiry Abrikosowa , które tworzą się w niskich temperaturach w nadprzewodzącej metalowej powłoce z dużym monopolem w środku.

Konfiguracje o najmniejszej znanej energii

W poniższej tabeli $ładunków$ ) w konfiguracji, ${\ Displaystyle U _ {\ textrm {Thom}}}$ to energia, typ symetrii jest podany w notacji Schönfliesa (patrz Grupy punktów $pozycje$ trzech wymiarach ) i ładunków. Większość typów symetrii wymaga, aby suma wektorów pozycji (a tym samym elektrycznego momentu dipolowego ) wynosiła zero.

Zwyczajowo bierze się również pod uwagę wielościan utworzony przez wypukłą otoczkę wierzchołków. Tak więc, $się$ $w których spotyka$ dana liczba krawędzi, całkowita liczba krawędzi, mi {\ displaystyle $}$ liczba ścian trójkątnych, $_ {1}}$ \ $theta$ jest najmniejszym kątem wyznaczonym przez wektory związane z najbliższą parą ładunków. Należy zauważyć, że długości krawędzi na ogół nie są równe. Tak więc, z wyjątkiem przypadków N = 2, 3, 4, 6, 12 i wielościanów geodezyjnych , otoczka wypukła jest tylko topologicznie równoważna figurze wymienionej w ostatniej kolumnie.

N	${\ displaystyle U _ {\ textrm {Thom}}}$	Symetria	${\ Displaystyle \ lewo \| \ suma \ mathbf {r} _ {i} \ prawo \|}$	${\ displaystyle v_ {3}}$	${\ displaystyle v_ {4}}$	${\ displaystyle v_ {5}}$	${\ displaystyle v_ {6}}$	${\ displaystyle v_ {7}}$	${\ displaystyle v_ {8}}$	$mi {\ displaystyle e$	${\ displaystyle f_ {3}}$	${\ displaystyle f_ {4}}$	${\ Displaystyle \ teta _ {1}}$	Równoważny wielościan
2	0,500000000	${\ Displaystyle D _ {\ infty h}}$	0	–	–	–	–	–	–	2	–	–	180.000°	digon
3	1.732050808	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120.000°	trójkąt
4	3.674234614	${\ Displaystyle T_ {d}}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109,471°	czworościan
5	6.474691495	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	trójkątna dypiramida
6	9.985281374	${\ Displaystyle O_ {h}}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	oktaedr
7	14.452977414	${\ Displaystyle D_ {5h}}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	pięciokątna dypiramida
8	19.675287861	${\ Displaystyle D_ {4d}}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71,694°	kwadratowy antypryzmat
9	25.759986531	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69,190°	trójwymiarowy pryzmat trójkątny
10	32.716949460	${\ Displaystyle D_ {4d}}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64,996°	żyrowydłużona dypiramida kwadratowa
11	40.596450510	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0,013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58,540°	dwudziestościan o skróconej krawędzi
12	49.165253058	${\ Displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63,435°	dwudziestościan ( sfera geodezyjna {3,5+} _1,0 )
13	58.853230612	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0,008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52,317°
14	69.306363297	${\ Displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866°	żyrowydłużona sześciokątna dypiramida
15	80.670244114	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49,225°
16	92.911655302	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48,936°
17	106.050404829	${\ Displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50,108°	podwójnie wydłużona pięciokątna dypiramida
18	120.084467447	${\ Displaystyle D_ {4d}}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47,534°
19	135.089467557	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0,000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44,910°
20	150.881568334	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46,093°
21	167.641622399	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0,001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44,321°
22	185.287536149	${\ Displaystyle T_ {d}}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43,302°
23	203.930190663	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41,481°
24	223.347074052	${\ Displaystyle O}$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065°	sześcian zadarty
25	243.812760299	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0,001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39,610°
26	265.133326317	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38,842°
27	287.302615033	${\ Displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39,940°
28	310.491542358	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824°
29	334.634439920	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36,391°
30	359.603945904	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36,942°
31	385.530838063	${\ Displaystyle C_ {3v}}$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373°
32	412.261274651	${\ Displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37,377°	pentakis dwunastościan ( kula geodezyjna {3,5+} _1,1 )
33	440.204057448	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0,004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273°
35	498.569872491	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33,100°
36	529.122408375	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229°
37	560.618887731	${\ Displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32,332°
38	593.038503566	${\ Displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33,236°
39	626.389009017	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053°
40	660.675278835	${\ Displaystyle T_ {d}}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31,916°
41	695.916744342	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528°
42	732.078107544	${\ Displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31,245°
43	769.190846459	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0,000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867°
44	807.174263085	${\ Displaystyle O_ {h}}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31,258°
45	846.188401061	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207°
46	886.167113639	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29,790°
47	927.059270680	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0,002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28,787°
48	968.713455344	${\ displaystyle O}$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29,690°
49	1011.557182654	${\ Displaystyle C_ {3}}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387°
50	1055.182314726	${\ Displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231°
51	1099.819290319	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165°
52	1145.418964319	${\ Displaystyle C_ {3}}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27,670°
53	1191.922290416	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0,000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27,137°
54	1239.361474729	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615°
56	1337.094945276	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683°
57	1387.383229253	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26,702°
58	1438.618250640	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26,155°
59	1490.773335279	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26,170°
60	1543.830400976	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958°
61	1597.941830199	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392°
62	1652.909409898	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25,880°
63	1708.879681503	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257°
64	1765.802577927	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24,920°
65	1823.667960264	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527°
66	1882.441525304	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765°
67	1942.122700406	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727°
68	2002.874701749	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24,433°
69	2064.533483235	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137°
70	2127.100901551	${\ Displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24,291°
71	2190.649906425	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23,803°
72	2255.001190975	${\ Displaystyle ja}$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24,492°	sfera geodezyjna {3,5+} _2,1
73	2320.633883745	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22,810°
74	2387.072981838	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22,966°
75	2454.369689040	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736°
76	2522.674871841	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22,886°
77	2591.850152354	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286°
78	2662.046474566	${\ Displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426°
79	2733.248357479	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0,000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22,636°
80	2805.355875981	${\ Displaystyle D_ {4d}}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778°
81	2878.522829664	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892°
82	2952.569675286	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22,206°
83	3027.528488921	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21,646°
84	3103.465124431	${\ displaystyle C_ {2}}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21,513°
85	3180.361442939	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21,498°
86	3258.211605713	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21,522°
87	3337.000750014	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21,456°
88	3416.720196758	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21,486°
89	3497.439018625	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21,182°
90	3579.091222723	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21,105°
92	3745.291636241	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026°
93	3829.844338421	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751°
94	3915.309269620	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952°
95	4001.771675565	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711°
96	4089.154010060	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687°
97	4177.533599622	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422°
99	4357.139163132	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284°
100	4448.350634331	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297°
101	4540.590051694	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20,040°
103	4727.836616833	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19,907°
104	4822.876522746	${\ Displaystyle D_ {6}}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19,957°
105	4919.000637616	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842°
106	5015.984595705	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19,658°
107	5113.953547724	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19,327°
108	5212.813507831	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19,327°
109	5312.735079920	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19,103°
110	5413.549294192	${\ Displaystyle D_ {6}}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476°
111	5515.293214587	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255°
112	5618.044882327	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19,351°
113	5721.824978027	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978°
114	5826.521572163	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836°
115	5932.181285777	${\ Displaystyle C_ {3}}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18,458°
116	6038.815593579	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386°
117	6146.342446579	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18,566°
118	6254.877027790	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18,455°
119	6364.347317479	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18,336°
120	6474.756324980	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418°
121	6586.121949584	${\ Displaystyle C_ {3}}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18,199°
122	6698.374499261	${\ Displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612°	sfera geodezyjna {3,5+} _2,2
123	6811.827228174	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0,001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17,840°
124	6926.169974193	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18,111°
125	7041.473264023	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867°
126	7157.669224867	${\ Displaystyle D_ {4}}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17,920°
127	7274.819504675	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877°
128	7393.007443068	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17,814°
129	7512.107319268	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743°
130	7632.167378912	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17,683°
131	7753.205166941	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17,511°
132	7875.045342797	${\ Displaystyle ja}$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17,958°	sfera geodezyjna {3,5+} _3,1
133	7998.179212898	${\ Displaystyle C_ {3}}$	0.000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17,133°
134	8122.089721194	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17,214°
135	8246.909486992	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17,431°
136	8372.743302539	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17,485°
137	8499.534494782	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17,560°
138	8627.406389880	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924°
139	8756.227056057	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673°
140	8885.980609041	${\ Displaystyle C_ {1}}$	0,000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16,773°
141	9016.615349190	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0,000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16,962°
142	9148.271579993	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16,840°
143	9280.839851192	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16,782°
144	9414.371794460	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16,953°
145	9548.928837232	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841°
146	9684.381825575	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16,905°
147	9820.932378373	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458°
148	9958.406004270	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627°
149	10096.859907397	${\ Displaystyle C_ {1}}$	0,000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16,344°
150	10236.196436701	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16,405°
151	10376.571469275	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16,163°
152	10517.867592878	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16,117°
153	10660.082748237	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16,390°
154	10803.372421141	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078°
155	10947.574692279	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15,990°
156	11092.798311456	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822°
157	11238.903041156	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948°
158	11385.990186197	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0.000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15,987°
159	11534.023960956	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15,960°
160	11683.054805549	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15,961°
161	11833.084739465	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15,813°
163	12136.013053220	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675°
164	12288.930105320	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655°
165	12442.804451373	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15,651°
166	12597.649071323	${\ Displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15,607°
167	12753.469429750	${\ displaystyle C_ {2}}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655°
169	13068.006451127	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0,000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15,537°
170	13226.681078541	${\ Displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15,569°
171	13386.355930717	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15,497°
172	13547.018108787	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0,000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15,292°
173	13708.635243034	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225°
174	13871.187092292	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366°
175	14034.781306929	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15,252°
176	14199.354775632	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15,101°
177	14364.837545298	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269°
178	14531.309552587	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145°
179	14698.754594220	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14,968°
180	14867.099927525	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067°
181	15036.467239769	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15,155°
183	15378.166571028	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14,747°
184	15550.421450311	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14,932°
185	15723.720074072	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775°
186	15897.897437048	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14,739°
187	16072.975186320	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14,848°
188	16249.222678879	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14,740°
189	16426.371938862	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14,671°
190	16604.428338501	${\ Displaystyle C_ {3}}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14,501°
191	16783.452219362	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14,195°
192	16963.338386460	${\ displaystyle ja}$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14,819°	sfera geodezyjna {3,5+} _3,2
193	17144.564740880	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14,144°
194	17326.616136471	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14,375°
196	17693.460548082	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14,251°
197	17878.340162571	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14,147°
198	18064.262177195	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237°
199	18251.082495640	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14,153°
200	18438.842717530	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222°
201	18627.591226244	${\ displaystyle C_ {1}}$	0,001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13,830°
202	18817.204718262	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14,189°
203	19007.981204580	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977°
204	19199.540775603	${\ Displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14,291°
212	20768.053085964	${\ Displaystyle ja}$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14,118°	sfera geodezyjna {3,5+} _4,1
214	21169.910410375	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771°
216	21575.596377869	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13,735°
217	21779.856080418	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13,902°
232	24961.252318934	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13,260°
255	30264.424251281	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12,565°
256	30506.687515847	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572°
257	30749.941417346	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672°
272	34515.193292681	${\ Displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12,335°	sfera geodezyjna {3,5+} _3,3
282	37147.294418462	${\ Displaystyle ja}$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166°	sfera geodezyjna {3,5+} _4,2
292	39877.008012909	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857°
306	43862.569780797	${\ Displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628°
312	45629.313804002	${\ Displaystyle C_ {2}}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11,299°
315	46525.825643432	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11,337°
317	47128.310344520	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423°
318	47431.056020043	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11,219°
334	52407.728127822	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11,058°
348	56967.472454334	${\ Displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721°
357	59999.922939598	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728°
358	60341.830924588	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647°
372	65230.027122557	${\ Displaystyle ja}$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531°	sfera geodezyjna {3,5+} _4,3
382	68839.426839215	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379°
390	71797.035335953	${\ Displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10,222°
392	72546.258370889	${\ Displaystyle C_ {1}}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278°
400	75582.448512213	${\ displaystyle T}$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10,068°
402	76351.192432673	${\ Displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099°
432	88353.709681956	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556°
448	95115.546986209	${\ displaystyle T}$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322°
460	100351.763108673	${\ displaystyle T}$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297°
468	103920.871715127	${\ displaystyle S_ {6}}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9,120°
470	104822.886324279	${\ displaystyle S_ {6}}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9,059°

Zgodnie z przypuszczeniem, jeśli p $m$ wielościanem utworzonym przez wypukłą otoczkę punktów , q jest liczbą czworobocznych p dla m elektronów jest fa ( m ): ${\ Displaystyle f (m) = 0 ^ {n} + 3n-q}$ . ^{[ potrzebne wyjaśnienie ]}

(uwaga: powyższa tabela musi być błędna, ponieważ wzrost n musi powodować spadek θ, np. θ 16 < θ 17. Istnieje kilka innych przykładów.)

^ Thomson, Joseph John (marzec 1904). „O strukturze atomu: badanie stabilności i okresów oscylacji pewnej liczby ciałek ułożonych w równych odstępach wokół obwodu koła; z zastosowaniem wyników do teorii struktury atomowej” (PDF ) . Magazyn filozoficzny . Seria 6. 7 (39): 237–265. doi : 10.1080/14786440409463107 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 13 grudnia 2013 r.
^ Mały, S. (1998). „Problemy matematyczne następnego stulecia”. Inteligencja matematyczna . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . doi : 10.1007/bf03025291 . S2CID 1331144 .
^ Föppl, L. (1912). „Stabilne Anordnungen von Elektronen im Atom” . J. Reine Angew. matematyka _ 141 (141): 251–301. doi : 10.1515/crll.1912.141.251 . S2CID 120309200 . .
^ Schwartz, Richard (2010). „Przypadek 5 elektronów problemu Thomsona”. arXiv : 1001,3702 [ matematyka.MG ].
^ Judin, Wirginia (1992). „Minimalna energia potencjalna układu ładunków punktowych”. Discretnaya Matematika . 4 (2): 115–121 (po rosyjsku). ; Judin, Wirginia (1993). „Minimalna energia potencjalna układu ładunków punktowych”. Dyskretna matematyka. Aplikacja _ 3 (1): 75–81. doi : 10.1515/dma.1993.3.1.75 . S2CID 117117450 .
^ Andriejew, NN (1996). „Ekstremalna właściwość dwudziestościanu”. East J. Zbliżenie . 2 (4): 459–462. MR 1426716 , Zbl 0877.51021
^ Landkof, NS Podstawy współczesnej teorii potencjału. Przetłumaczył z rosyjskiego AP Doohovskoy. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x+424 s.
Bibliografia _ Saff, EB Dyskretyzacja rozmaitości poprzez punkty minimalnej energii. Uwagi Amer. Matematyka soc. 51 (2004), no. 10, 1186–1194
^ ^ab ^Batagelj , Włodzimierz; Plestenjak, Bor. „Optymalne rozmieszczenie n punktów na kuli i okręgu” (PDF) . MFW/TCS. Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 25 czerwca 2018 r.
^ LaFave Jr, Tim (luty 2014). „Dyskretne transformacje w problemie Thomsona” . Dziennik elektrostatyki . 72 (1): 39–43. ar Xiv : 1403.2592 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.11.007 . S2CID 119309183 .
Bibliografia _ Arenzon, JJ (2003). „Dlaczego ładunki trafiają na powierzchnię: uogólniony problem Thomsona”. Eurofis. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat/0302524 . Bibcode : 2003EL.....63..415L . doi : 10.1209/epl/i2003-00546-1 . S2CID 18929981 .
^ Sir JJ Thomson, The Romanes Lecture, 1914 (Teoria atomu)
^ LaFave Jr, Tim (2013). „Zgodności między klasycznym elektrostatycznym problemem Thomsona a atomową strukturą elektronową”. Dziennik elektrostatyki . 71 (6): 1029–1035. ar Xiv : 1403.2591 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.10.001 . S2CID 118480104 .
Bibliografia _ „Konfiguracje min-energetyczne elektronów na kuli” . Źródło 2014-05-01 .
^ „Sloane's A008486 (patrz komentarz z 3 lutego 2017 r.)” . Encyklopedia on-line sekwencji liczb całkowitych . Fundacja OIS . Źródło 2017-02-08 .

Notatki

Whyte, LL (1952). „Unikalne układy punktów na kuli”. Amer. Matematyka Miesięczny . 59 (9): 606–611. doi : 10.2307/2306764 . JSTOR 2306764 .
Cohna, Harveya (1956). „Konfiguracje stabilności elektronów na kuli” . Matematyka Oblicz . 10 (55): 117–120. doi : 10.1090/S0025-5718-1956-0081133-0 .
Goldberg, Michael (1969). „Konfiguracje stabilności elektronów na kuli” . Matematyka komp . 23 (108): 785–786. doi : 10.1090/S0025-5718-69-99642-2 .
Erber, T.; Hockney, GM (1991). „konfiguracje równowagi N równych ładunków na kuli”. J. Fiz. O: Matematyka. gen . 24 (23): L1369. Bibcode : 1991JPhA...24L1369E . doi : 10.1088/0305-4470/24/23/008 . S2CID 122561279 .
Morris, JR; Deaven, DM; Ho, KM (1996). „Minimalizacja energii algorytmu genetycznego dla ładunków punktowych na kuli”. fizyka ks. B. 53 (4): R1740–R1743. Bibcode : 1996PhRvB..53.1740M . CiteSeerX 10.1.1.28.93 . doi : 10.1103/PhysRevB.53.R1740 . PMID 9983695 .
Erber, T.; Hockney, GM (1997). Systemy złożone: konfiguracje równowagi równych ładunków na kuli $≤$ $Displaystyle (2 \ równoważnik N \ równoważnik 112)}$ . Postępy w fizyce chemicznej . Tom. 98. s. 495–594. doi : 10.1002/9780470141571.ch5 . ISBN 9780470141571 . .
Altschuler, EL; Williams, TJ; Ratner, ostry dyżur; Tipton, R.; Stong, R.; Dowla, F.; Wooten, F. (1997). „Możliwe globalne minimalne konfiguracje sieci dla problemu opłat Thomsona na kuli” . fizyka Wielebny Lett . 78 (14): 2681–2685. Bibcode : 1997PhRvL..78.2681A . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.2681 .
Bowick, M.; Cacciuto, A.; Nelson, DR; Travesset, A. (2002). „Porządek krystaliczny na kuli i uogólniony problem Thomsona”. fizyka Wielebny Lett . 89 (18): 249902. arXiv : cond-mat/0206144 . Bibcode : 2002PhRvL..89r5502B . doi : 10.1103/PhysRevLett.89.185502 . PMID 12398614 . S2CID 20362989 .
Dragnev, PD; Legg, DA; Townsend, DW (2002). „Dyskretna energia logarytmiczna na kuli” . Pacific J. Matematyka . 207 (2): 345–358. doi : 10.2140/pjm.2002.207.345 . .
Katanforoush, A.; Shahshahani, M. (2003). „Rozmieszczenie punktów na kuli. I” . Ekspert. matematyka _ 12 (2): 199–209. doi : 10.1080/10586458.2003.10504492 . S2CID 7306812 .
Walia, David J.; Ulker, Sidika (2006). „Struktura i dynamika sferycznych kryształów scharakteryzowanych dla problemu Thomsona” . fizyka ks. B. 74 (21): 212101. Bibcode : 2006PhRvB..74u2101W . doi : 10.1103/PhysRevB.74.212101 . S2CID 119932997 . Konfiguracje przedrukowane w Walii, DJ; Ulker, S. „Baza danych klastrów Cambridge” .
Slosar, A.; Podgórnik R. (2006). „O problemie Thomsona z podłączonymi ładunkami”. Eurofis. Lett . 75 (4): 631. arXiv : cond-mat/0606765 . Bibcode : 2006EL.....75..631S . doi : 10.1209/epl/i2006-10146-1 . S2CID 119005054 .
Cohn, Henryk; Kumar, Abhinaw (2007). „Uniwersalnie optymalny rozkład punktów na sferach”. J.Amer. Matematyka soc . 20 (1): 99–148. arXiv : matematyka/0607446 . Bibcode : 2007JAMS...20...99C . doi : 10.1090/S0894-0347-06-00546-7 . S2CID 26614691 .
Walia, DJ; McKay, H.; Altschuler, EL (2009). „Motywy defektów dla topologii sferycznych”. fizyka ks. B. 79 (22): 224115. Bibcode : 2009PhRvB..79v4115W . doi : 10.1103/PhysRevB.79.224115 . . Konfiguracje odtworzone w Walii, DJ; Ulker, S. „Baza danych klastrów Cambridge” .
Ridgway, WJM; Cheviakov, AF (2018). „Iteracyjna procedura znajdowania lokalnie i globalnie optymalnych układów cząstek na sferze jednostkowej”. Oblicz. fizyka Komuna . 233 : 84–109. Bibcode : 2018CoPhC.233...84R . doi : 10.1016/j.cpc.2018.03.029 . S2CID 52097788 .
Cecka, Cris; Bowick, Mark J.; Middleton, Alan A. „Problem Thomsona @ SU”
Ta strona internetowa zawiera znacznie więcej konfiguracji elektronów o najniższej znanej energii: https://www.hars.us .

[1] Thomson, Joseph John (marzec 1904). „O strukturze atomu: badanie stabilności i okresów oscylacji pewnej liczby ciałek ułożonych w równych odstępach wokół obwodu koła; z zastosowaniem wyników do teorii struktury atomowej” (PDF ) . Magazyn filozoficzny . Seria 6. 7 (39): 237–265. doi : 10.1080/14786440409463107 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 13 grudnia 2013 r.

[2] Mały, S. (1998). „Problemy matematyczne następnego stulecia”. Inteligencja matematyczna . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . doi : 10.1007/bf03025291 . S2CID 1331144 .

[3] Föppl, L. (1912). „Stabilne Anordnungen von Elektronen im Atom” . J. Reine Angew. matematyka _ 141 (141): 251–301. doi : 10.1515/crll.1912.141.251 . S2CID 120309200 . .

[4] Schwartz, Richard (2010). „Przypadek 5 elektronów problemu Thomsona”. arXiv : 1001,3702 [ matematyka.MG ].

[5] Judin, Wirginia (1992). „Minimalna energia potencjalna układu ładunków punktowych”. Discretnaya Matematika . 4 (2): 115–121 (po rosyjsku). ; Judin, Wirginia (1993). „Minimalna energia potencjalna układu ładunków punktowych”. Dyskretna matematyka. Aplikacja _ 3 (1): 75–81. doi : 10.1515/dma.1993.3.1.75 . S2CID 117117450 .

[6] Andriejew, NN (1996). „Ekstremalna właściwość dwudziestościanu”. East J. Zbliżenie . 2 (4): 459–462. MR 1426716 , Zbl 0877.51021

[7] Landkof, NS Podstawy współczesnej teorii potencjału. Przetłumaczył z rosyjskiego AP Doohovskoy. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x+424 s.

[8] Bibliografia _ Saff, EB Dyskretyzacja rozmaitości poprzez punkty minimalnej energii. Uwagi Amer. Matematyka soc. 51 (2004), no. 10, 1186–1194

[bpopt-9] Batagelj , Włodzimierz; Plestenjak, Bor. „Optymalne rozmieszczenie n punktów na kuli i okręgu” (PDF) . MFW/TCS. Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 25 czerwca 2018 r.

[10] LaFave Jr, Tim (luty 2014). „Dyskretne transformacje w problemie Thomsona” . Dziennik elektrostatyki . 72 (1): 39–43. ar Xiv : 1403.2592 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.11.007 . S2CID 119309183 .

[11] Bibliografia _ Arenzon, JJ (2003). „Dlaczego ładunki trafiają na powierzchnię: uogólniony problem Thomsona”. Eurofis. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat/0302524 . Bibcode : 2003EL.....63..415L . doi : 10.1209/epl/i2003-00546-1 . S2CID 18929981 .

[12] Sir JJ Thomson, The Romanes Lecture, 1914 (Teoria atomu)

[13] LaFave Jr, Tim (2013). „Zgodności między klasycznym elektrostatycznym problemem Thomsona a atomową strukturą elektronową”. Dziennik elektrostatyki . 71 (6): 1029–1035. ar Xiv : 1403.2591 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.10.001 . S2CID 118480104 .

[14] Bibliografia _ „Konfiguracje min-energetyczne elektronów na kuli” . Źródło 2014-05-01 .

[geom_sol-15] „Sloane's A008486 (patrz komentarz z 3 lutego 2017 r.)” . Encyklopedia on-line sekwencji liczb całkowitych . Fundacja OIS . Źródło 2017-02-08 .