Triaugmentowany trójkątny pryzmat

Triaugmentowany trójkątny pryzmat
Typ	Deltahedron , Johnson J 50 – J 51 – J 52
Twarze	14 trójkątów
Krawędzie	21
Wierzchołki	9
Konfiguracja wierzchołków	${\ Displaystyle 3 \ razy 3 ^ {4} + 6 \ razy 3 ^ {5}}$
Grupa symetrii	${\ Displaystyle D_ {3 \ operatorname {h}}}$
Podwójny wielościan	asociahedron ${\ Displaystyle K_ {5}}$
Nieruchomości	wypukły
Internet

Triaugmented trójkątny pryzmat w geometrii jest wypukłym wielościanem z 14 trójkątami równobocznymi jako ścianami. Można go zbudować z trójkątnego pryzmatu , dołączając równoboczne kwadratowe piramidy do każdej z jego trzech kwadratowych ścian. Ten sam kształt jest również nazywany trójkątnym pryzmatem tetrakisa , trójkątnym pryzmatem trygonalnym , tetracaidecadeltahedron lub tetrakaidecadeltahedron ; te nazwiska oznaczają wielościan z 14 trójkątnymi ścianami. Jest to przykład A deltahedron i bryły Johnsona .

Krawędzie i wierzchołki triaugmentowanego graniastosłupa trójkątnego tworzą graf maksymalny planarny z 9 wierzchołkami i 21 krawędziami, zwany grafem Fritscha . Został użyty przez Rudolfa i Gerdę Fritsch, aby pokazać, że próba dowodu twierdzenia o czterech kolorach przeprowadzona przez Alfreda Kempe była błędna. Graf Fritscha jest jednym z zaledwie sześciu grafów, w których każde sąsiedztwo jest cyklem 4- lub 5-wierzchołkowym.

Podwójny wielościan triaugmentowanego trójkątnego graniastosłupa to asocjaedr , wielościan z czterema czworobocznymi ścianami i sześcioma pięciokątami, których wierzchołki reprezentują 14 triangulacji sześciokąta foremnego . W ten sam sposób dziewięć wierzchołków trójkątnego graniastosłupa reprezentuje dziewięć przekątnych sześciokąta, z dwoma wierzchołkami połączonymi krawędzią, gdy odpowiednie dwie przekątne się nie przecinają. Inne zastosowania triaugmentowanego trójkątnego pryzmatu pojawiają się w chemii jako podstawa trójkątnej pryzmatycznej geometrii molekularnej oraz w optymalizacji matematycznej jako rozwiązanie problemu Thomsona i Tammesa .

Budowa

Model 3D trójwymiarowego graniastosłupa trójkątnego

Triaugmentowany trójkątny pryzmat można zbudować, dołączając równoboczne kwadratowe piramidy do każdej z trzech kwadratowych ścian trójkątnego graniastosłupa , w procesie zwanym augmentacją . Te piramidy pokrywają każdy kwadrat, zastępując go czterema trójkątami równobocznymi , tak że powstały wielościan ma 14 trójkątów równobocznych jako ściany. Wielościan, którego ścianami są tylko trójkąty równoboczne, nazywa się deltaedrem . Istnieje tylko osiem różnych wypukłych deltahedra, z których jednym jest trójwymiarowy pryzmat trójkątny. Mówiąc bardziej ogólnie, wypukłe wielościany, w których wszystkie ściany są regularnymi wielokątami, nazywane są bryłami Johnsona , a każdy wypukły deltaedr jest bryłą Johnsona. Triaugmentowany trójkątny pryzmat jest zaliczany do brył Johnsona jako ${\ Displaystyle J_ {51}}$ .

Jednym z możliwych układów współrzędnych kartezjańskich dla wierzchołków trójkątnego pryzmatu powiększonego, dającego mu długość krawędzi 2, jest:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (0, {\ Frac {2} {\ sqrt {3}}}, \ pm 1), \ qquad & (\ pm 1, - {\ Frac {1} \sqrt {3}}},\pm 1),\\(0,-{\sqrt {2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}},0),\qquad &(\ pm {\frac {1+{\sqrt {6}}}{2}},{\frac {1+{\sqrt {6}}}}{2{\sqrt {3}}}}},0).\ \\end{wyrównane}}}$

Nieruchomości

Potrójnie powiększony trójkątny pryzmat o długości krawędzi $pole$ powierzchni

$${\ Displaystyle {\ Frac {7 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2} \ około 6,062a ^ {2},}$$

pole 14 trójkątów równobocznych. Jego objętość,

$${\ Displaystyle {\ Frac {2 {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}} {4}} a ^ {3} \ około 1,140a ^ {3},}$$

można wyprowadzić, dzieląc go na środkowy graniastosłup i trzy kwadratowe piramidy i dodając ich objętości.

Ma tę samą trójwymiarową grupę symetrii co trójkątny pryzmat $dwunastego$ grupę rzędu Jego kąty dwuścienne można obliczyć, dodając kąty piramid składowych i graniastosłupa. $3}$ 2 { \ $/$ . Kąty trójkąt-trójkąt na ostrosłupie są takie same jak w regularny ośmiościan , a kąty kwadrat-trójkąt są o połowę mniejsze. Dlatego dla triaugmentowanego graniastosłupa trójkątnego kąty dwuścienne padające na wierzchołki stopnia czwartego, na krawędziach trójkątów graniastosłupa i na krawędziach graniastosłupa od kwadratu do kwadratu są odpowiednio

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ arccos \ lewo (- {\ Frac {1} {3}} \ prawej) & \ około 109,5 ^ {\ circ}, \\ {\ Frac {\ pi} {2} }+{\frac {1}{2}}\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\około 144,7^{\circ},\\{\frac {\pi} {3}}+\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\około 169,5^{\circ}.\\\end{aligned}}}$$

Wykres Fritscha

Graf Fritscha i jego mapa dualna. Dla pokazanego częściowego 4-kolorowania krzyżują się czerwono-zielone i niebiesko-zielone łańcuchy Kempe . Nie jest możliwe uwolnienie koloru dla niepokolorowanego obszaru środkowego poprzez zamianę kolorów w jednym łańcuchu, co jest sprzeczne z fałszywym dowodem twierdzenia o czterech kolorach Alfreda Kempe .

Wykres triaugmentowanego graniastosłupa trójkątnego ma 9 wierzchołków i 21 krawędzi. Został użyty przez Fritscha i Fritscha (1998) jako mały kontrprzykład dla fałszywego dowodu twierdzenia o czterech kolorach za pomocą łańcuchów Kempe Alfreda Kempe , a jego podwójna mapa została wykorzystana jako ilustracja na okładce ich książki. Dlatego ten wykres został później nazwany wykresem Fritscha . Jeszcze mniejszy kontrprzykład, zwany wykresem Soifera, uzyskuje się usuwając jedną krawędź z wykresu Fritscha (dolna krawędź na ilustracji tutaj).

Graf Fritscha jest jednym z zaledwie sześciu połączonych grafów, w których sąsiedztwo każdego wierzchołka jest cyklem o długości czterech lub pięciu. Mówiąc bardziej ogólnie, gdy każdy wierzchołek grafu ma cykl o długości co najmniej czterech w swoim sąsiedztwie, trójkąty grafu automatycznie łączą się, tworząc powierzchnię topologiczną zwaną triangulacją Whitneya . Te sześć wykresów pochodzi z sześciu triangulacji Whitneya, które, gdy ich trójkąty są równoboczne, mają dodatni defekt kątowy w każdym wierzchołku. To czyni je kombinatoryczną analogią dodatnio zakrzywionych gładkich powierzchni. Pochodzą z sześciu z ośmiu deltaedrów - z wyjątkiem dwóch, które mają wierzchołek z trójkątnym sąsiedztwem. Oprócz wykresu Fritscha, pozostałe pięć to wykresy ośmiościanu foremnego , dwudziestościanu foremnego , pięciokątnej bipiramidy , zadartych dwusfenoidów i wydłużonej żyroskopowo kwadratowej bipiramidy .

Podwójny asocjaścian

Podwójny wielościan triaugmentowanego trójkątnego pryzmatu

Podwójny wielościan triaugmentowanego trójkątnego pryzmatu ma twarz dla każdego wierzchołka triaugmentowanego trójkątnego pryzmatu i wierzchołek dla każdej ściany. Jest to enneahedron (czyli dziewięcioboczny wielościan), który można zrealizować z trzema niesąsiadującymi kwadratowymi ścianami i sześcioma innymi ścianami, które są przystającymi nieregularnymi pięciokątami . Jest również znany jako asociaedr rzędu 5 , wielościan, którego wierzchołki reprezentują 14 triangulacji sześciokąta foremnego . Mniej symetryczna forma tego podwójnego wielościanu, uzyskana przez przecięcie a ośmiościan ścięty na cztery przystające ćwiartki przez dwie płaszczyzny, które przecinają prostopadle dwie równoległe rodziny jego krawędzi, jest wielościanem wypełniającym przestrzeń .

Mówiąc bardziej ogólnie, gdy polytope jest podwójna asocjaścianu, jego granica ( uproszczony kompleks trójkątów, czworościanów lub uproszczeń o wyższych wymiarach) nazywana jest „zespołem klastrów”. W przypadku triaugmentowanego graniastosłupa trójkątnego jest to zespół klastrów typu ${3}}$$}$ diagramem Dynkina , ${3}$$displaystyle$ system korzeniowy i ${\ Displaystyle A_ {3}}$ algebry skupień . Połączenie z asociaedrem zapewnia zgodność między dziewięcioma wierzchołkami trójkątnego pryzmatu z trzema powiększeniami a dziewięcioma przekątnymi sześciokąta. Krawędzie trójkątnego pryzmatu powiększonego odpowiadają parom przekątnych, które się nie przecinają, a trójkątne ściany trójkątnego pryzmatu powiększonego odpowiadają triangulacji sześciokąta (składającego się z trzech nieprzecinających się przekątnych). Triangulacje innych regularnych wielokątów odpowiadają wielokątom w ten sam sposób, z wymiarem równym liczbie boków wielokąta minus trzy.

Aplikacje

W geometrii związków chemicznych często wizualizuje się skupisko atomów otaczające centralny atom jako wielościan - wypukły kadłub lokalizacji otaczających atomów. Trójkątna graniastosłupowa geometria molekularna opisuje skupiska, dla których ten wielościan jest trójkątnym pryzmatem z potrójnym powiększeniem, chociaż niekoniecznie z trójkątnymi ścianami równobocznymi. Na przykład lantanowce od lantanu do dysprozu rozpuszczają się w wodzie, tworząc kationy otoczone dziewięcioma cząsteczkami wody ułożonymi jako trójkątny graniastosłup trójwymiarowy.

W problemie Thomsona dotyczącym konfiguracji minimalnej energii naładowanych $kuli$ oraz w problemie Tammesa konstruowania sferycznego kodu maksymalizującego najmniejszą odległość między punktami, minimalne rozwiązanie znane dla ${\ displaystyle n = 9}$ umieszcza punkty na wierzchołkach trójkątnego graniastosłupa powiększonego w trójkącie o nierównobocznych ścianach, wpisanego w kulę . Ta konfiguracja okazała się optymalna dla problemu Tammesa, ale rygorystyczne rozwiązanie tego przypadku problemu Thomsona nie jest znane.

Zobacz też

• Császár wielościan - toroidalny wielościan z 14 trójkątnymi ścianami
• Wielościan Steffena - Elastyczny wielościan z 14 trójkątnymi ścianami