Sferyczny projekt

Układ sferyczny , będący częścią teorii układów kombinatorycznych w matematyce , jest skończonym zbiorem N punktów na jednostce d -wymiarowej d - sfery Sd ^f , takiej, że średnia wartość dowolnego wielomianu stopnia t lub mniejszego na zbiorze jest równa średniej wartość f na całej (to znaczy całka f po S ^d podzielona przez pole lub miarę S kuli ^re ). Taki zbiór jest często nazywany sferycznym projektem t , aby wskazać wartość t , która jest podstawowym parametrem. Koncepcję projektu sferycznego zapożyczyli Delsarte, Goethals i Seidel, choć wcześniej obiekty te były rozumiane jako szczególne przykłady formuł kubaturowych .

Projekty sferyczne mogą być przydatne w teorii aproksymacji , w statystyce projektowania eksperymentów , w kombinatoryce iw geometrii . Głównym problemem jest znalezienie przykładów, biorąc pod uwagę d i t , które nie są zbyt duże; jednak takie przykłady mogą być trudne do zdobycia. Sferyczne projekty t zostały również niedawno zawłaszczone w mechanice kwantowej w postaci kwantowych projektów t z różnymi zastosowaniami w kwantowej teorii informacji i obliczenia kwantowe .

Istnienie wzorów sferycznych

Istnienie i struktura sferycznych wzorów na kole zostały dogłębnie zbadane przez Honga. Wkrótce potem Seymour i Zaslavsky udowodnili, że takie projekty istnieją we wszystkich wystarczająco dużych rozmiarach; to znaczy, mając dodatnie liczby całkowite d i t , istnieje taka liczba N ( d , t ) taka, że ​​dla każdego N ≥ N ( d , t ) istnieje sferyczny układ t N punktów w wymiarze d . Jednak ich dowód nie dał pojęcia, jak duże N ( d , t ).

Mimura konstruktywnie znalazł warunki pod względem liczby punktów i wymiaru, które dokładnie charakteryzują, gdy istnieją sferyczne 2-projekty. Zbiory linii równokątnych o maksymalnych rozmiarach (aż do identyfikacji linii jako antypodalnych punktów na kuli) są przykładami sferycznych 5-projektów o minimalnych rozmiarach. Istnieje wiele sporadycznych małych kulistych projektów; wiele z nich jest związanych ze skończonymi działaniami grupowymi na kuli.

$Radchenko$ górną wszystkich liczb i t . To asymptotycznie pasuje do dolnej granicy podanej pierwotnie przez Delsarte, Goethalsa i Seidela. Wartość do _d jest obecnie nieznana, podczas gdy dokładne wartości ${\ Displaystyle N (d, t)}$ znane są w stosunkowo nielicznych przypadkach.

Zobacz też

• Kwestia Thomsona

Linki zewnętrzne

• Sferyczne projekty t dla różnych wartości N i t można znaleźć wstępnie obliczone na stronie internetowej Neila Sloane'a .

Notatki

•    Bondarenko, Andrij; Radczenko, Danyło; Viozovska, Maryna (2013), „Optymalne granice asymptotyczne dla projektów sferycznych”, Annals of Mathematics , Second Series, 178 (2): 443–452, arxiv : 1009.4407 , doi : 10.4007/annals.2013.178.2.2 , MR 3071504 , S2CID 2490453 .
•   Mimura, Yoshio (1990), „Konstrukcja kulistego projektu 2”, Grafy i kombinatoryka , 6 (4): 369–372, doi : 10.1007 / BF01787704 , S2CID 28942727 .
•    Delsarte, P.; Goethals, JM; Seidel, JJ (1977), „Sferyczne kody i projekty”, Geometriae Dedicata , 6 (3): 363–388, doi : 10.1007/BF03187604 , MR 0485471 , S2CID 125833142 . Przedrukowano w    Seidel, JJ (1991), Geometria i kombinatoryka: wybrane prace JJ Seidel , Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-189420-7 , MR 1116326 .
•   Hong, Yiming (1982), "O sferycznych projektach t w R2 ^10.1016 ", European Journal of Combinatorics , 3 (3): 255-258, doi : /S0195-6698(82)80036-X , MR 0679209 .
•   Seymour, PD ; Zaslavsky, Thomas (1984), „Zbiory uśredniające: uogólnienie wartości średnich i projektów sferycznych”, Advances in Mathematics , 52 (3): 213–240, doi : 10.1016 / 0001-8708 (84) 90022-7 , MR 0744857 .