Produkt Kulkarni-Nomizu

W matematycznej dziedzinie geometrii różniczkowej iloczyn Kulkarni – Nomizu (nazwany na cześć Ravindry Shripad Kulkarni i Katsumi Nomizu ) jest zdefiniowany dla dwóch (0, 2) -tensorów i daje w rezultacie (0, 4) -tensor.

Definicja

Jeśli h i k są symetrycznymi (0, 2) -tensorami, to iloczyn jest zdefiniowany przez:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (h {~ \ klin \! \! \! \! \! \! \! \! \; \ bigcirc ~} k) (X_ {1}, X_ {2}, X_{3},X_{4}):={}&h(X_{1},X_{3})k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4} )k(X_{1},X_{3})\\&{}-h(X_{1},X_{4})k(X_{2},X_{3})-h(X_{2} ,X_{3})k(X_{1},X_{4})\\[3pt]{}={}&{\begin{vmatrix}h(X_{1},X_{3})&h(X_ {1},X_{4})\\k(X_{2},X_{3})&k(X_{2},X_{4})\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}k( X_{1},X_{3})&k(X_{1},X_{4})\\h(X_{2},X_{3})&h(X_{2},X_{4})\koniec {vmatrix}}\end{wyrównane}}}$

gdzie X _j to wektory styczne i ${\ Displaystyle |\ cdot |}$ jest wyznacznikiem macierzy . Zauważ, że ${\ Displaystyle h {~ \ klin \! \! \! \! \! \! \! \! \; \ bigcirc ~} k = k {~ \ klin \! \!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}h}$ , jak wynika z drugiego wyrażenia.

W odniesieniu do podstawy przestrzeni stycznej przyjmuje formę zwartą ${\ Displaystyle \ {\ częściowe _ {i} \}}$

${\ Displaystyle (h ~ \ klin \! \! \! \! \! \! \! \! \; \ bigcirc ~ k) _ {ijlm} = (h {~ \ klin \! \! \! \! \!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(\częściowe _{i},\częściowe _{j},\częściowe _{l},\częściowe _{m})=2h_{i[ l}k_{m]j}+2h_{j[m}k_{l]i}\,,}$

gdzie ${\ Displaystyle [\ kropki]}$ oznacza symbol całkowitej antysymetryzacji .

Iloczyn Kulkarni – Nomizu jest szczególnym przypadkiem iloczynu w algebrze stopniowanej

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {p = 1} ^ {n} S ^ {2} \ lewo (\ Omega ^ {p} M \ prawej)}$

gdzie na elementach prostych

${\ Displaystyle (\ alfa \ cdot \ beta) {~ \ klin \! \! \! \! \! \ !\!\!\;\bigcirc ~}(\gamma \cdot \delta )=(\alpha \wedge \gamma )\odot (\beta \wedge \delta )}$

( ${\ Displaystyle \ dot}$ oznacza iloczyn symetryczny ).

Nieruchomości

Iloczyn Kulkarniego – Nomizu pary tensorów symetrycznych ma algebraiczne symetrie tensora Riemanna . Na przykład w przypadku form przestrzennych (tj. przestrzeni o stałej krzywiźnie przekroju ) i dwuwymiarowych gładkich rozmaitości riemannowskich tensor krzywizny Riemanna ma proste wyrażenie w postaci iloczynu Kulkarniego – Nomizu metryki ${\ Displaystyle g = g_ {ij} dx ^ {i} \ czasami dx ^ {j}}$ ze sobą; mianowicie, jeśli oznaczymy przez

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} (\ częściowy _ {i}, \ częściowy _ {j}) \ częściowy _ {k} = { R^{l}}_{ijk}\częściowe _{l}}$

(1, 3) -tensor krzywizny i przez

${\ Displaystyle \ operatorname {Rm} = R_ {ijkl} dx ^ {i} \ czasami dx ^ {j} \ otimes dx ^{k}\otimes dx^{l}}$

tensor krzywizny Riemanna z ${\ Displaystyle R_ {ijkl} = g_ {im} {R ^ {m}} _ {jkl}$ }

${\ Displaystyle \ operatorname {Rm} = {\ Frac {\ operatorname {Scal}} {4}} g ~ \ klin \! \! \! \! \! \! \! \!\;\bigcirc ~g,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Scal} = \ nazwa operatora {tr} _ {g} \ nazwa operatora {Ric} = {R ^ {i}} _ {i}}$ jest skalarem krzywizna i

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ric} (Y, Z) = \ nazwa operatora {tr} _ {g} \ lbrace X \ mapsto \operatorname {R} (X,Y)Z\rbrace }$

jest tensorem Ricciego , który w składowych brzmi ${\ Displaystyle R_ {ij} = {R ^ {k}} _ {ikj}}$ . Rozszerzając ${\ Displaystyle g ~ \ klin \! \! \! \! \! \! \! \! \; \ bigcirc ~ g}$ Kulkarni – Nomizu, używając definicji z góry, otrzymuje się sol

${\ Displaystyle R_ {ijkl} = {\ Frac {\ nazwa operatora {Scal}} {4}} g_ {i [k} g_ {l] j} = {\ Frac {\ nazwa operatora {Scal}} {2}} ( g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})\,.}$

Jest to to samo wyrażenie, które podano w artykule na temat tensora krzywizny Riemanna .

Z tego właśnie powodu jest powszechnie używany do wyrażenia wkładu, jaki krzywizna Ricciego (a raczej tensor Schoutena ) i tensor Weyla wnoszą do krzywizny rozmaitości riemannowskiej . Ten tak zwany rozkład Ricciego jest przydatny w geometrii różniczkowej .

Gdy istnieje tensor metryczny g , iloczyn Kulkarniego-Nomizu g z samym sobą jest endomorfizmem tożsamości przestrzeni form 2, Ω ² ( M ), pod identyfikacją (za pomocą metryki) pierścienia endomorfizmu End(Ω ² ( M )) z iloczynem tensorowym Ω ² ( M ) ⊗ Ω ² ( M ).

Rozmaitość Riemanna ma stałą krzywiznę przekroju k wtedy i tylko wtedy, gdy tensor Riemanna ma postać

${\ Displaystyle R = {\ Frac {k} {2}} g {~ \ klin \! \! \! \! \! \! \! \! \; \ bigcirc ~} G}$

gdzie g jest tensorem metrycznym .

Notatki

•   Besse, Arthur L. (1987), Rozmaitości Einsteina , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Wyniki z matematyki i dziedzin pokrewnych (3)], tom. 10, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8 .
• Gallot S., Hullin D. i Lafontaine J. (1990). geometria riemannowska . Springer-Verlag. {{ cite book }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )