Przestrzeń Chu

Przestrzenie Chu uogólniają pojęcie przestrzeni topologicznej , rezygnując z wymagań, aby zbiór zbiorów otwartych był domknięty pod sumą i skończonym przecięciem , aby zbiory otwarte były ekstensjonalne, a predykat przynależności (punktów w zbiorach otwartych) był dwuwartościowy. Definicja funkcji ciągłej pozostaje niezmieniona poza koniecznością starannego sformułowania, aby nadal miała sens po tych uogólnieniach.

Nazwa pochodzi od Po-Hsianga Chu, który pierwotnie skonstruował weryfikację autonomicznych kategorii jako doktorant pod kierunkiem Michaela Barra w 1979 roku.

Definicja

Rozumiejąc statycznie, przestrzeń Chu ( A , r , X ) nad zbiorem K składa się ze zbioru A punktów, zbioru X stanów i funkcji r : A × X → K . To sprawia, że ​​​​jest to macierz A × X z wpisami pobranymi z K lub równoważnie relacja binarna o wartości K między A i X (zwykłe relacje binarne mają wartość 2).

Rozumiane dynamicznie przestrzenie Chu przekształcają się na wzór przestrzeni topologicznych, gdzie A jest zbiorem punktów, X zbiorem zbiorów otwartych, a r relacją przynależności między nimi, gdzie K jest zbiorem wszystkich możliwych stopni przynależności punkt w zbiorze otwartym. Odpowiednikiem funkcji ciągłej od ( A , r , X ) do ( B , s , Y ) jest para ( f , g ) funkcji f : A → B , g : Y → X spełniająca warunek przylegania s ( f ( za ), y ) = r ( za , sol ( y )) dla wszystkich za ∈ ZA i y ∈ Y . Oznacza to, że f maps wskazuje do przodu w tym samym czasie, co g mapuje stany do tyłu. Warunek przylegania sprawia, że ​​g jest odwrotną funkcją obrazu f −1 , podczas gdy wybór X dla kodudomeny g odpowiada wymaganiu dla funkcji ciągłych, aby odwrotny obraz zbiorów otwartych był otwarty . Taka para nazywana jest transformatą Chu lub morfizmem przestrzeni Chu.

Przestrzeń topologiczną ( X , T ), gdzie X jest zbiorem punktów, a T zbiorem zbiorów otwartych, można rozumieć jako przestrzeń Chu ( X , ∈, T ) nad {0, 1}. Oznacza to, że punkty przestrzeni topologicznej stają się punktami przestrzeni Chu, podczas gdy zbiory otwarte stają się stanami, a relacja przynależności „∈” między punktami a zbiorami otwartymi jest wyraźna w przestrzeni Chu. Warunek, że zbiór zbiorów otwartych jest domknięty pod dowolną (w tym pustą) sumą i skończonym (w tym pustym) przecięciem, staje się odpowiednim warunkiem na kolumnach macierzy. Funkcja ciągła f : X → X' między dwiema przestrzeniami topologicznymi staje się parą sprzężoną ( f , g ), w której f jest teraz sparowane z realizacją warunku ciągłości skonstruowanego jako jawna funkcja świadka g wykazująca wymagane zbiory otwarte w domenie z f .

Struktura kategoryczna

Kategoria przestrzeni Chu nad K i ich mapami jest oznaczona przez Chu ( Set , K ). Jak wynika z symetrii definicji, jest to kategoria samodwoista : jest równoważna (w rzeczywistości izomorficzna) ze swoją kategorią dualną, kategorią uzyskaną przez odwrócenie wszystkich map. Jest to ponadto *-autonomiczna kategoria z dualizującym obiektem ( K , λ, {*}), gdzie λ : K × {*} → K jest zdefiniowane przez λ( k , *) = k (Barr 1979). Jako taki jest modelem liniowej logiki Jeana -Yvesa Girarda (Girard 1987).

Warianty

Bardziej ogólna , wzbogacona kategoria Chu ( V , k ) pierwotnie pojawiła się w dodatku do Barra (1979). Koncepcja przestrzeni Chu pochodzi od Michaela Barra , a szczegóły zostały opracowane przez jego ucznia Po-Hsianga Chu, którego praca magisterska stanowiła załącznik. Zwykłe przestrzenie Chu powstają w przypadku V = Set , to znaczy, gdy kategoria monoidalna V jest wyspecjalizowana w kartezjańskim zbiorze zamkniętym zbiorów i ich funkcji, ale nie były badane samodzielnie przez ponad dekadę po pojawieniu się bardziej ogólne pojęcie wzbogacone. Wariant przestrzeni Chu, zwany przestrzeniami dialektycznymi , ze względu na de Paivę (1989) zastępuje warunek mapy (1) warunkiem mapy (2):

  1. s ( fa ( za ), y ) = r ( za , sol ( y )).
  2. s ( fa ( za ), y ) ≤ r ( za , sol ( y )).

Uniwersalność

Kategoria Top przestrzeni topologicznych i ich funkcji ciągłych jest osadzona w Chu ( Set , 2) w tym sensie, że istnieje pełny i wierny funktor F : Top → Chu ( Set , 2) zapewniający dla każdej przestrzeni topologicznej ( X , T ) jej reprezentacja F (( X , T )) = ( X , ∈, T ) jak wspomniano powyżej. Ta reprezentacja jest ponadto realizacją w sensie Pultra i Trnkovej (1980), a mianowicie, że reprezentująca przestrzeń Chu ma ten sam zbiór punktów, co reprezentowana przestrzeń topologiczna i przekształca się w ten sam sposób poprzez te same funkcje.

Przestrzenie Chu są niezwykłe ze względu na szeroką gamę znanych struktur, które realizują. Lafont i Streicher (1991) zwracają uwagę, że przestrzenie Chu powyżej 2 realizują zarówno przestrzenie topologiczne, jak i przestrzenie koherentne (wprowadzone przez J.-Y. Girarda (1987) do modelowania logiki liniowej), podczas gdy przestrzenie Chu nad K realizują dowolną kategorię przestrzeni wektorowych nad pole, którego liczność jest co najwyżej licznością K . Zostało to rozszerzone przez Vaughana Pratta (1995) na realizację k -ary relacyjnych struktur przez przestrzenie Chu powyżej 2 k . Na przykład kategoria Grp grup i ich homomorfizmów jest realizowana przez Chu ( Zestaw , 8 ), ponieważ mnożenie grup może być zorganizowane jako relacja trójskładnikowa . Chu ( Set , 2) realizuje szeroki zakres struktur „logicznych”, takich jak półsieci, sieci dystrybucyjne, sieci kompletne i całkowicie dystrybucyjne, algebry Boole'a, kompletne atomowe algebry Boole'a itp. Dalsze informacje na temat tych i innych aspektów przestrzeni Chu, w tym ich zastosowanie do modelowania współbieżnych zachowań można znaleźć w Chu Spaces .

Aplikacje

Automaty

Przestrzenie Chu mogą służyć jako model współbieżnych obliczeń w teorii automatów do wyrażania czasu rozgałęzienia i prawdziwej współbieżności . Przestrzenie Chu wykazują kwantowo-mechaniczne zjawiska komplementarności i niepewności. Komplementarność powstaje jako dwoistość informacji i czasu, automatów i harmonogramów oraz stanów i zdarzeń. Niepewność pojawia się, gdy pomiar jest zdefiniowany jako morfizm taki, że rosnąca struktura obserwowanego obiektu zmniejsza przejrzystość obserwacji. Tę niepewność można obliczyć numerycznie na podstawie jej współczynnika kształtu, aby uzyskać zwykłą relację niepewności Heisenberga . Przestrzenie Chu odpowiadają funkcjom falowym jako wektorom przestrzeni Hilberta .

Dalsza lektura

  •   Barr, M. (1979). *-Autonomiczne kategorie . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 752. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09563-7 .
  • Barr, M. (1996). „Konstrukcja Chu”. Teoria i zastosowania kategorii . 2 (2): 17–35.
  • Girard, J.-Y. (1987). „Logika liniowa”. Informatyka teoretyczna . 50 : 1–102. doi : 10.1016/0304-3975(87)90045-4 . hdl : 10338.dmlcz/120513 .
  • Lafont, Y. & Streicher, T. (1991). „Semantyka gier dla logiki liniowej”. proc. 6. doroczny symp. IEEE. On Logic in Computer Science, Amsterdam, lipiec 1991 . Los Alamitos: IEEE Computer Society Press : 43–49.
  • de Paiva, V. (1989). „Podobny do dialektyki model logiki liniowej”. proc. konf. on Category Theory and Computer Science, Springer-Verlag Lecture Notes in Computer Science, Manchester, wrzesień 1989 . Tom. 389. s. 341–356.
  • Pratt, VR „The Stone gama: koordynacja matematyki”. proc. 10. doroczny Symp. IEEE. on Logic in Computer Science, Montreal, czerwiec 1995 . s. 444–454.
  • Pultr, A. & Trnková, V. (1980). Kombinatoryczne, algebraiczne i topologiczne reprezentacje grup, półgrup i kategorii . Holandia Północna .

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Chu_space&oldid=1111389851 ”