Przypuszczenie Abhyankara
W algebrze abstrakcyjnej hipoteza Abhyankara jest hipotezą Shreerama Abhyankara z 1957 r . , dotyczącą grup Galois algebraicznych pól funkcyjnych o charakterystyce p . Rozwiązywalny przypadek został rozwiązany przez Serre'a w 1990 roku, a pełne przypuszczenie zostało udowodnione w 1994 roku przez pracę Michela Raynauda i Davida Harbatera .
Problem dotyczy skończonej grupy G , liczby pierwszej p i pola funkcyjnego K(C) nieosobliwej całkowej krzywej algebraicznej C określonej na algebraicznie zamkniętym polu K o charakterystyce p .
Pytanie dotyczy istnienia rozszerzenia Galois L z K ( C ), z G jako grupą Galois iz określonym rozgałęzieniem . Z geometrycznego punktu widzenia L odpowiada innej krzywej C ′ wraz z morfizmem
- π : do ′ → do .
Z geometrycznego punktu widzenia twierdzenie, że π jest rozgałęzione w skończonym zbiorze S punktów na C , oznacza, że π ograniczone do dopełnienia S w C jest morfizmem étale . Jest to analogiczne do przypadku powierzchni Riemanna . W hipotezie Abhyankara S jest ustalone, a pytanie brzmi, czym może być G. Jest to zatem szczególny rodzaj odwrotnego problemu Galois .
Podgrupa p ( G ) jest zdefiniowana jako podgrupa generowana przez wszystkie podgrupy Sylowa G dla liczby pierwszej p . Jest to podgrupa normalna , a parametr n jest zdefiniowany jako minimalna liczba generatorów
- g / p ( g ).
Następnie dla przypadku C linii rzutowej na K , przypuszczenie stwierdza, że G może być zrealizowane jako grupa Galois L , nierozgałęziona poza S zawierająca s + 1 punkty, wtedy i tylko wtedy, gdy
- n ≤ s .
Udowodnił to Raynaud.
Dla ogólnego przypadku, udowodnionego przez Harbatera, niech g będzie rodzajem C . Wtedy G może być zrealizowane wtedy i tylko wtedy, gdy
- n ≤ s + 2 sol .