Przypuszczenie Atiyah

W matematyce hipoteza Atiyah $jest$ liczb zbiorczym określeniem szeregu stwierdzeń dotyczących ograniczeń możliwych .

Historia

W 1976 roku Michael Atiyah wprowadził $pokrycie$ rozmaitości ze współzwartym działaniem dyskretnej przeliczalnej grupy (np. uniwersalne rozmaitości zwartej wraz z działaniem grupy podstawowej przez transformacje pokładowe .) , $Atiyah$ $zdefiniował$ Bettiego również jako wymiary von Neumanna wynikowych grup i obliczył kilka wszystkie okazały się liczbami wymiernymi . Dlatego zapytał, czy $liczby$ być niewymierne .

$-Bettiego , z$ wartości liczb wszystkie są zwyczajowo nazywane „przypuszczeniami Atiyaha”.

Wyniki

Wiele pozytywnych wyników zostało udowodnionych przez Petera Linnella. Na przykład $,$ jeśli działająca grupa jest grupą wolną , to liczby -Betti są całkowitymi

Najbardziej ogólnym pytaniem otwartym pod koniec 2011 roku jest to, czy -Liczby $Bettiego$ są racjonalne, jeśli istnieje ograniczenie rzędów skończonych podgrup która działa. W rzeczywistości zakłada się dokładny związek między możliwymi mianownikami a omawianymi porządkami ; w przypadku grup bez skrętu to stwierdzenie uogólnia hipotezę o dzielnikach zera . Dyskusję można znaleźć w artykule B. Eckmanna.

W przypadku, gdy nie ma takiego ograniczenia, Tim Austin wykazał w 2009 roku, że $mogą$ przyjmować wartości transcendentalne . Później wykazano, że w takim przypadku mogą to być dowolne nieujemne liczby rzeczywiste .

Atiyah, MF (1976). „Operatory eliptyczne, grupy dyskretne i algebry von Neumanna”. Colloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974) . Paryż: soc. Matematyka Francja. s. 43–72. Astérisque, nr 32–33.

Austin, Tim (2013). „Elementy pierścienia grupy wymiernej z jądrami o wymiarze irracjonalnym”. Proceedings of London Mathematical Society . 107 (6): 1424-1448. ar Xiv : 0909.2360 . doi : 10.1112/plms/pdt029 .

Eckmann, Beno (2000). „Wprowadzenie do ${\ Displaystyle \ ell _ {2}}$ -metody w topologii: zredukowane ${\ Displaystyle \ ell _ {2}}$ -homologia, łańcuchy harmoniczne, ${\ Displaystyle \ ell _ {2}} }$ -Liczby Bettiego". Izrael Journal of Mathematics . Tom. 117. s. 183–219. doi : 10.1007/BF02773570 .