Równania Fresnela

Ten artykuł dotyczy równań Fresnela opisujących odbicie i załamanie światła na jednolitych planarnych powierzchniach międzyfazowych. Aby zapoznać się z dyfrakcją światła przez aperturę, zobacz dyfrakcję Fresnela . Aby zapoznać się z technologią cienkich soczewek i luster, zobacz soczewkę Fresnela .

Częściowa transmisja i odbicie impulsu przemieszczającego się od ośrodka o niskim do wysokiego współczynnika załamania światła.

Przy częstości bliskiej wypasu interfejsy mediów wyglądają jak lustro, zwłaszcza z powodu odbicia polaryzacji s , mimo że przy normalnym padaniu są słabymi reflektorami. Spolaryzowane okulary przeciwsłoneczne blokują polaryzację , znacznie redukując odblaski od poziomych powierzchni.

Równania Fresnela (lub współczynniki Fresnela ) opisują odbicie i transmisję światła (lub ogólnie promieniowania elektromagnetycznego ), gdy pada na interfejs między różnymi ośrodkami optycznymi . Zostały / one f r eɪ n ɛ l / wydedukowane przez Augustina-Jeana Fresnela ( ), który jako pierwszy zrozumiał, że światło jest falą poprzeczną , chociaż nikt nie zdawał sobie sprawy, że „wibracje” fali to pola elektryczne i magnetyczne. Po raz pierwszy polaryzację można było zrozumieć ilościowo, ponieważ równania Fresnela prawidłowo przewidziały różne zachowanie fal polaryzacji s i p padających na interfejs materiału.

Przegląd

_między ośrodkiem o współczynniku załamania n1 a drugim ośrodkiem o współczynniku załamania n2 , może wystąpić zarówno odbicie _, jak i załamanie światła. Równania Fresnela podają stosunek pola odbitej do pola elektrycznego fali padającej oraz stosunek pola elektrycznego fali transmitowanej do pola elektrycznego fali padającej dla każdej z dwóch składowych polaryzacji. ( Magnetyczny pola można również powiązać za pomocą podobnych współczynników.) Te stosunki są na ogół złożone i opisują nie tylko względne amplitudy, ale także przesunięcia fazowe na granicy faz.

Równania zakładają, że granica między ośrodkami jest płaska, a ośrodki są jednorodne i izotropowe . Zakłada się, że padające światło jest falą płaską , co jest wystarczające do rozwiązania dowolnego problemu, ponieważ każde padające pole świetlne można rozłożyć na fale płaskie i polaryzacje.

Polaryzacje S i P

Główny artykuł: Płaszczyzna padania

Płaszczyzna padania jest określona przez wektor propagacji docierającego promieniowania i wektor normalny powierzchni.

Istnieją dwa zestawy współczynników Fresnela dla dwóch różnych składowych liniowej polaryzacji padającej fali. Ponieważ dowolny stan polaryzacji można rozłożyć na kombinację dwóch ortogonalnych polaryzacji liniowych, jest to wystarczające dla każdego problemu. Podobnie niespolaryzowane (lub „losowo spolaryzowane”) ma taką samą moc w każdej z dwóch polaryzacji liniowych.

Polaryzacja s odnosi się do polaryzacji pola elektrycznego fali prostopadłej do płaszczyzny padania ( kierunek z w poniższym wyprowadzeniu); wtedy pole magnetyczne leży w płaszczyźnie padania. Polaryzacja p odnosi się do polaryzacji pola elektrycznego w płaszczyźnie padania ( płaszczyzna xy w poniższym wyprowadzeniu); wtedy pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny padania.

Chociaż odbicie i transmisja zależą od polaryzacji, przy normalnym padaniu ( θ = 0) nie ma między nimi rozróżnienia, więc wszystkie stany polaryzacji są regulowane przez jeden zestaw współczynników Fresnela ( poniżej wymieniony jest inny przypadek szczególny , w którym to prawda ).

Współczynniki odbicia i transmisji mocy (intensywności).

Zmienne używane w równaniach Fresnela

Współczynniki mocy: powietrze do szkła

Współczynniki mocy: szkło do powietrza

Na diagramie po prawej stronie padająca płaska fala w kierunku promienia IO uderza w interfejs między dwoma ośrodkami o współczynnikach załamania światła n ₁ i n ₂ w punkcie O . Część fali odbija się w kierunku OR , a część załamuje w kierunku OT . Kąty, jakie promienie padające, odbite i załamane tworzą z normalną interfejsu, są podane jako θ _i , θ _r i θ _t odpowiednio.

Zależność między tymi kątami określa prawo odbicia :

$${\ Displaystyle \ teta _ {\ operatorname {i}} = \ teta _ {\ operatorname {r}},}$$

i prawo Snella :

$${\ Displaystyle n_ {1} \ sin \ theta _ {\ operatorname {i}} = n_ {2} \ sin \ theta _ {\ operatorname {t}}.}$$

Zachowanie światła padającego na interfejs zostało rozwiązane poprzez uwzględnienie pól elektrycznych i magnetycznych tworzących falę elektromagnetyczną oraz praw elektromagnetyzmu , jak pokazano poniżej . Otrzymuje się stosunek amplitud pola elektrycznego (lub magnetycznego) fal, ale w praktyce częściej interesują nas wzory określające mocy , ponieważ moc (lub natężenie napromienienia ) jest tym, co można zmierzyć bezpośrednio przy częstotliwościach optycznych. Moc fali jest generalnie proporcjonalna do kwadratu amplitudy pola elektrycznego (lub magnetycznego).

  Ułamek padającej mocy , który jest odbijany od interfejsu, nazywamy współczynnikiem odbicia (lub współczynnikiem odbicia lub współczynnikiem odbicia mocy ) R , a ułamek, który jest załamywany w drugim ośrodku, nazywany jest transmitancją ( lub przepuszczalnością lub współczynnikiem transmisji mocy ) . T. _ Należy zauważyć, że są to wartości mierzone po każdej stronie interfejsu i nie uwzględniają tłumienia fali w ośrodku pochłaniającym po transmisji lub odbiciu.

Współczynnik odbicia dla światła spolaryzowanego s wynosi

$${\ Displaystyle R _ {\ operatorname {s}} = \ lewo | {\ Frac {Z_ {2} \ cos \ theta _ {\ operatorname {i}} -Z_ {1} \ cos \ theta _ {\ operatorname {t} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i}}+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2},}$$

podczas gdy współczynnik odbicia dla światła spolaryzowanego p wynosi

$${\ Displaystyle R _ {\ operatorname {p}} = \ lewo | {\ Frac {Z_ {2} \ cos \ theta _ {\ operatorname {t}} -Z_ {1} \ cos \ theta _ {\ operatorname {i} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t}}+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2},}$$

gdzie Z ₁ i Z ₂ są odpowiednio impedancjami falowymi ośrodków 1 i 2.

Zakładamy, że media są niemagnetyczne (tj. μ ₁ = μ ₂ = μ ₀ ), co jest zazwyczaj dobrym przybliżeniem dla częstotliwości optycznych (i dla przezroczystych mediów przy innych częstotliwościach). Wtedy impedancje falowe są określane wyłącznie przez współczynniki załamania światła n ₁ i n ₂ :

$${\ Displaystyle Z_ {i} = {\ Frac {Z_ {0}} {n_ {i}}} \,,}$$

gdzie Z ₀ jest impedancją wolnej przestrzeni , a i = 1, 2. Dokonując tego podstawienia, otrzymujemy równania wykorzystujące współczynniki załamania światła:

$${\ Displaystyle R _ {\ operatorname {s}} = \ lewo | {\ Frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ operatorname {i}} -n_ {2} \ bo \ theta _ {\ operatorname {t } }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2}=\left| {\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i}}-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}} \sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i}}+n_{2}{\sqrt {1- \left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i}}\right)^{2}}}}}\right|^{2}\ !,}$$

$${\ Displaystyle R _ {\ operatorname {p}} = \ lewo | {\ Frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ operatorname {t}} -n_ {2} \ bo \ theta _ {\ operatorname {i } }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}=\left| {\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i}}\right)^{ 2}}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i}}}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2} }}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}\ !.}$$

Druga postać każdego równania jest wyprowadzana z pierwszej poprzez wyeliminowanie θ _t przy użyciu prawa Snella i tożsamości trygonometrycznych .

W wyniku zasady zachowania energii można znaleźć przesyłaną moc (lub dokładniej, natężenie napromienienia : moc na jednostkę powierzchni) po prostu jako część padającej mocy, która nie jest odbijana:

$${\ Displaystyle T _ {\ operatorname {s}} = 1-R _ {\ operatorname {s}}}$$

I

$${\ Displaystyle T _ {\ operatorname {p}} = 1-R _ {\ operatorname {p}}}$$

Należy zauważyć, że wszystkie takie intensywności są mierzone jako natężenie promieniowania fali w kierunku normalnym do granicy faz; jest to również mierzone w typowych eksperymentach. Liczbę tę można uzyskać z irradiancji w kierunku fali padającej lub odbitej (określonej przez wielkość wektora Poyntinga fali ) pomnożonej przez cos θ dla fali pod kątem θ do kierunku normalnego (lub równoważnie, biorąc iloczyn skalarny wektora Poyntinga z wektorem jednostkowym normalnym do interfejsu). W przypadku współczynnika odbicia tę komplikację można pominąć, ponieważ cos θ _i = cos θ _r , tak że stosunek natężenia promieniowania odbitego do padającego w kierunku fali jest taki sam jak w kierunku normalnym do granicy faz.

Chociaż te zależności opisują podstawową fizykę, w wielu praktycznych zastosowaniach dotyczy to „światła naturalnego”, które można określić jako niespolaryzowane. Oznacza to, że w polaryzacjach s i p występuje taka sama moc , więc efektywny współczynnik odbicia materiału jest tylko średnią z dwóch współczynników odbicia:

$${\ Displaystyle R _ {\ operatorname {eff}} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (R _ {\ operatorname {s}} + R _ {\ operatorname {p}} \ prawo).}$$

W przypadku zastosowań o niskiej precyzji obejmujących światło niespolaryzowane, takich jak grafika komputerowa , zamiast rygorystycznego obliczania efektywnego współczynnika odbicia dla każdego kąta, często stosuje się przybliżenie Schlicka .

Przypadki specjalne

Normalna częstość występowania

i $.$ przypadku normalnej częstości występowania i p polaryzacja. Zatem współczynnik odbicia upraszcza się do

$${\ Displaystyle R = \ lewo | {\ Frac {n_ {1} -n_ {2}} {n_ {1} + n_ {2}}} \ prawo | ^ {2} \,.}$$

W przypadku zwykłego szkła ( n ₂ ≈ 1,5) otoczonego powietrzem ( n ₁ = 1), współczynnik odbicia mocy przy normalnym padaniu można uznać za około 4% lub 8%, uwzględniając obie strony tafli szkła.

Kąt Brewstera

Główny artykuł: kąt Brewstera

Na granicy faz dielektrycznej od n ₁ do n ₂ istnieje określony kąt padania, przy którym R _p dąży do zera, a padająca fala o polaryzacji p jest całkowicie załamywana, a więc całe odbite światło jest spolaryzowane s. Kąt ten jest znany jako kąt Brewstera i wynosi około 56° dla n ₁ = 1 i n ₂ = 1,5 (typowe szkło).

Całkowite wewnętrzne odbicie

Główny artykuł: Całkowite wewnętrzne odbicie

Kiedy światło poruszające się w gęstszym ośrodku pada na powierzchnię ośrodka mniej gęstego (tj. n ₁ > n ₂ ), poza określonym kątem padania zwanym kątem krytycznym całe światło zostaje odbite i R _s = R _p = 1 . Zjawisko to, znane jako całkowite wewnętrzne odbicie , występuje przy kątach padania, dla których prawo Snella przewiduje, że sinus kąta załamania przekroczy jedność (podczas gdy w rzeczywistości sin θ ≤ 1 dla wszystkich rzeczywistych θ ). Dla szkła o n = 1,5 otoczonego powietrzem kąt krytyczny wynosi około 42°.

Zespolone amplitudowe współczynniki odbicia i transmisji

Powyższe równania odnoszące się do mocy (które można było zmierzyć na przykład za pomocą fotometru ) wyprowadzone są z równań Fresnela, które rozwiązują problem fizyczny w kategoriach złożonych amplitud pola elektromagnetycznego , tj. uwzględniają przesunięcia fazowe oprócz ich amplitud . Te podstawowe równania dostarczają ogólnie o wartościach zespolonych tych pól EM i mogą przybierać różne formy, w zależności od zastosowanego formalizmu. Zespolone współczynniki amplitudy dla odbicia i transmisji są zwykle reprezentowane przez małe litery r i t (podczas gdy współczynniki mocy są pisane wielką literą). µo _Tak jak poprzednio, zakładamy, że przenikalność magnetyczna µ obu ośrodków jest równa przepuszczalności wolnej przestrzeni , co zasadniczo dotyczy wszystkich dielektryków przy częstotliwościach optycznych.

Współczynniki amplitudy: powietrze do szkła

Współczynniki amplitudy: szkło do powietrza

W poniższych równaniach i wykresach przyjmujemy następujące konwencje. Dla s współczynnik odbicia r jest definiowany jako stosunek złożonej amplitudy pola elektrycznego fali odbitej do amplitudy fali padającej, podczas gdy dla polaryzacji p r jest stosunkiem amplitud złożonego pola magnetycznego fal (lub równoważnie, ujemna stosunek amplitud ich pola elektrycznego). Współczynnik transmisji t jest stosunkiem złożonej amplitudy pola elektrycznego transmitowanej fali do amplitudy fali padającej, dla dowolnej polaryzacji. Współczynniki r i t są na ogół różne dla polaryzacji s i p i nawet przy normalnym padaniu (gdzie oznaczenia s i p nawet nie mają zastosowania!) znak r jest odwrócony w zależności od tego, czy fala jest uważana za s czy P spolaryzowane, artefakt przyjętej konwencji znakowej (patrz wykres dla granicy faz powietrze-szkło przy padaniu 0 °).

Równania uwzględniają falę płaską padającą na interfejs płaszczyzny pod $mathrm {r}} = \ theta _ {\ operatorname {i}}}$ i $r$ θ = ja $_ {$ fala transmitowana pod kątem ${\ Displaystyle \ theta _ {\ operatorname {t}}}$ . W przypadku interfejsu z materiałem pochłaniającym (gdzie n jest złożony) lub całkowitego wewnętrznego odbicia, kąt transmisji generalnie nie jest obliczany jako liczba rzeczywista. W takim przypadku jednak sensowne wyniki można uzyskać, stosując sformułowania tych zależności, w których unika się funkcji trygonometrycznych i kątów geometrycznych; niejednorodnych fal wprowadzonych do drugiego ośrodka nie można opisać za pomocą jednego kąta propagacji.

Korzystając z tej konwencji,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} r _ {\ tekst {s}} & = {\ Frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {\ tekst {i}} -n_ {2} \ cos \ theta _ { \text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_ {\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{ 2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i }}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text {t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{wyrównane}}}$$

Widać, że t _s = r _s + 1 i n ₂ / n ₁ t _p = r _p +1 . Można napisać bardzo podobne równania odnoszące się do stosunku pól magnetycznych fal, ale porównanie pól elektrycznych jest bardziej konwencjonalne.

Ponieważ fale odbite i padające rozchodzą się w tym samym ośrodku i tworzą ten sam kąt z normalną do powierzchni, współczynnik odbicia mocy R jest po prostu kwadratem wielkości r :

$${\ Displaystyle R = | r | ^ {2}.}$$

Z drugiej strony obliczenie współczynnika transmisji mocy T jest mniej proste, ponieważ światło porusza się w różnych kierunkach w obu ośrodkach. Co więcej, impedancje fal w obu mediach różnią się; moc ( irradiancja ) wyraża się kwadratem amplitudy pola elektrycznego podzielonym przez impedancję charakterystyczną ośrodka (lub przez kwadrat pola magnetycznego pomnożony przez impedancję charakterystyczną). To skutkuje:

$${\ Displaystyle T = {\ Frac {n_ {2} \ bo \ teta _ {\ tekst {t}}} {n_ {1} \ cos \ teta _ {\ tekst {i}}}} | t | ^ {2}}$$

korzystając z powyższej definicji t . Wprowadzony współczynnik n ₂ / n ₁ jest odwrotnością stosunku impedancji falowych ośrodka. Współczynniki cos( θ ) dostosowują moce fal tak, aby były liczone w kierunku normalnym do granicy faz, zarówno dla fal padających, jak i transmitowanych, tak aby pełna transmisja mocy odpowiadała T = 1.

W przypadku całkowitego wewnętrznego odbicia, gdzie transmisja mocy T wynosi zero, t mimo to opisuje pole elektryczne (w tym jego fazę) tuż za granicą rozdziału. Jest to zanikające pole , które nie rozchodzi się jako fala (stąd T = 0), ale ma wartości niezerowe bardzo blisko granicy faz. Przesunięcie fazowe fali odbitej przy całkowitym wewnętrznym odbiciu można podobnie uzyskać z kątów fazowych r _p i r _s (których wielkości są w tym przypadku jednością). Te przesunięcia fazowe są różne dla s i p , co jest dobrze znaną zasadą, według której całkowite wewnętrzne odbicie jest wykorzystywane do przeprowadzania transformacji polaryzacji .

Formy alternatywne

W powyższym wzorze na r _s ‍ <a i=3>‍ , jeśli umieścimy ${\ Displaystyle n_ {2} = n_ {1} \ sin \ theta _ {\ tekst {i}} /\sin \theta _{\text{t}}}$ (prawo Snella) i mnożymy licznik i mianownik przez    1 / n ₁ sin θ _t ‍ <a i=28>‍ , otrzymujemy

$${\ Displaystyle r _ {\ tekst {s}} = - {\ Frac {\ sin (\ teta _ {\ tekst {i}} - \ teta _ {\ tekst {t}})} {\ sin (\ teta _ {\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

Jeśli zrobimy to samo ze wzorem na r _p ‍ <a i=3>‍ , łatwo okaże się, że wynik jest równoważny z

$${\ Displaystyle r _ {\ tekst {p}} = {\ Frac {\ tan (\ teta _ {\ tekst {i}} - \ teta _ {\ tekst {t}})} {\ tan (\ teta _ { \text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

Wzory te są znane odpowiednio jako prawo sinusoidalne Fresnela i prawo styczne Fresnela . Chociaż przy normalnej częstości występowania wyrażenia te zmniejszają się do 0/0, można zauważyć, że dają one poprawne wyniki w granicy jako ‍ θ <a i=8>i θ _→ → 0.

Wiele powierzchni

Kiedy światło powoduje wielokrotne odbicia między dwiema lub więcej równoległymi powierzchniami, wiele wiązek światła generalnie interferuje ze sobą, co skutkuje amplitudami transmisji netto i odbicia, które zależą od długości fali światła. Interferencja jest jednak widoczna tylko wtedy, gdy powierzchnie znajdują się w odległościach porównywalnych lub mniejszych niż długość koherencji światła , która dla zwykłego światła białego wynosi kilka mikrometrów; może być znacznie większy dla światła z lasera .

Przykładem interferencji odbić są opalizujące kolory widoczne w bańce mydlanej lub w cienkich warstwach oleju na wodzie. Zastosowania obejmują interferometry Fabry-Pérot , powłoki przeciwodblaskowe i filtry optyczne . Ilościowa analiza tych efektów jest oparta na równaniach Fresnela, ale z dodatkowymi obliczeniami uwzględniającymi interferencję.

Do rozwiązywania problemów wielopowierzchniowych można zastosować metodę macierzy przenoszenia lub metodę rekurencyjną Rouarda .

Historia

Dalsze informacje: Augustin-Jean Fresnel

W 1808 roku Étienne-Louis Malus odkrył, że gdy promień światła odbija się od niemetalicznej powierzchni pod odpowiednim kątem, zachowuje się jak jeden z dwóch promieni wychodzących z podwójnie refrakcyjnego kryształu kalcytu. Później ukuł termin polaryzacja , aby opisać to zachowanie. W 1815 roku David Brewster określił doświadczalnie zależność kąta polaryzacji od współczynnika załamania światła . Ale powodem tej zależności była tak głęboka tajemnica, że ​​pod koniec 1817 roku Thomas Young był poruszony, by napisać:

[T] on wielka trudność ze wszystkich, która polega na przypisaniu wystarczającego powodu odbicia lub braku odbicia spolaryzowanego promienia, prawdopodobnie długo pozostanie, aby umartwić próżność ambitnej filozofii, całkowicie nierozwiązanej przez żadną teorię.

Jednak w 1821 roku Augustin-Jean Fresnel uzyskał wyniki równoważne jego prawom sinusa i stycznej (powyżej), modelując fale świetlne jako poprzeczne fale sprężyste z wibracjami prostopadłymi do tego, co wcześniej nazywano płaszczyzną polaryzacji . Fresnel szybko potwierdził eksperymentalnie, że równania poprawnie przewidywały kierunek polaryzacji odbitej wiązki, gdy padająca wiązka była spolaryzowana pod kątem 45 ° do płaszczyzny padania, dla światła padającego z powietrza na szkło lub wodę; w szczególności równania dały prawidłową polaryzację pod kątem Brewstera. Eksperymentalne potwierdzenie zostało zgłoszone w „postscriptum” do pracy, w której Fresnel po raz pierwszy ujawnił swoją teorię, że fale świetlne, w tym fale „niespolaryzowane”, są czysto poprzeczne.

Szczegóły wyprowadzenia Fresnela, w tym współczesne formy prawa sinusoidalnego i prawa stycznego, zostały podane później we wspomnieniach odczytanych Francuskiej Akademii Nauk w styczniu 1823 r. To wyprowadzenie łączyło zachowanie energii z ciągłością drgań stycznych na granicy faz , ale nie uwzględniał żadnych warunków dotyczących normalnej składowej drgań. Pierwsze wyprowadzenie z elektromagnetycznych zostało podane przez Hendrika Lorentza w 1875 roku.

W tym samym pamiętniku ze stycznia 1823 r. Fresnel stwierdził, że dla kątów padania większych niż kąt krytyczny jego wzory na współczynniki odbicia ( r _s i r _p ) dały wartości zespolone z wielkościami jednostkowymi. Zauważywszy, że wielkość, jak zwykle, reprezentuje stosunek amplitud szczytowych, domyślił się, że argument reprezentuje przesunięcie fazowe i zweryfikował hipotezę eksperymentalnie. Weryfikacja dotyczyła

• obliczenie kąta padania, który wprowadziłby całkowitą różnicę faz 90° między składowymi s i p, dla różnej liczby całkowitych odbić wewnętrznych pod tym kątem (zwykle były dwa rozwiązania),
• poddanie światła takiej liczbie całkowitych wewnętrznych odbić pod tym kątem padania, z początkową polaryzacją liniową pod kątem 45° do płaszczyzny padania, oraz
• sprawdzając, czy końcowa polaryzacja była kołowa .

W ten sposób w końcu miał ilościową teorię tego, co obecnie nazywamy rombem Fresnela — urządzenia, którego używał w eksperymentach, w takiej czy innej formie, od 1817 r. (patrz romb   Fresnela § Historia ).

Sukces złożonego współczynnika odbicia zainspirował Jamesa MacCullagha i Augustina-Louisa Cauchy'ego , począwszy od 1836 r., do analizy odbicia od metali za pomocą równań Fresnela ze złożonym współczynnikiem załamania światła .

Cztery tygodnie przed przedstawieniem ukończonej teorii całkowitego wewnętrznego odbicia i rombu Fresnel przedstawił pamiętnik, w którym wprowadził potrzebne terminy: polaryzacja liniowa , polaryzacja kołowa i polaryzacja eliptyczna , i w którym wyjaśnił rotację optyczną jako rodzaj dwójłomności : światło spolaryzowane liniowo można rozłożyć na dwie składowe spolaryzowane kołowo obracające się w przeciwnych kierunkach, a jeśli rozchodzą się one z różnymi prędkościami, różnica faz między nimi — stąd orientacja ich wypadkowej spolaryzowanej liniowo — będzie zmieniać się w sposób ciągły wraz z odległością.

W ten sposób interpretacja Fresnela złożonych wartości jego współczynników odbicia oznaczała zbieg kilku nurtów jego badań i prawdopodobnie zasadnicze zakończenie jego rekonstrukcji optyki fizycznej na podstawie hipotezy fali poprzecznej (patrz Augustin-Jean Fresnel ) .

Pochodzenie

Tutaj systematycznie wyprowadzamy powyższe zależności z przesłanek elektromagnetycznych.

Parametry materiału

  Aby obliczyć znaczące współczynniki Fresnela, musimy założyć, że ośrodek jest (w przybliżeniu) liniowy i jednorodny . Jeśli ośrodek jest również izotropowy , cztery wektory pola <a i=8>‍ E E , B , D , H są powiązane przez

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {D} & = \ epsilon \ mathbf {E} \\\ mathbf {B} & = \ mu \ mathbf {H} \, ,\koniec {wyrównane}}}$$

₀₀ gdzie ϵ i μ są skalarami, znanymi odpowiednio jako przenikalność (elektryczna) i przepuszczalność (magnetyczna) ośrodka. Dla próżni mają one odpowiednio wartości ϵ i μ . Stąd definiujemy względną przenikalność (lub stałą dielektryczną ) ϵ _rel = ϵ / ϵ ₀ oraz względną przepuszczalność μ _rel = μ / μ ₀ .

₀ W optyce często przyjmuje się, że ośrodek jest niemagnetyczny, więc μ _rel = 1. W przypadku materiałów ferromagnetycznych przy częstotliwościach radiowych/mikrofalowych należy wziąć pod uwagę większe wartości μ _{rel .} Ale w przypadku optycznie przezroczystych mediów i wszystkich innych materiałów o częstotliwościach optycznych (z wyjątkiem możliwych _{metamateriałów} ) μrel jest rzeczywiście bardzo bliski 1; to znaczy μ ≈ μ .

W optyce zwykle znany jest współczynnik załamania światła n ośrodka, który jest stosunkiem prędkości światła w próżni ( c ) do prędkości światła w ośrodku. W analizie częściowego odbicia i transmisji interesuje nas również impedancja fali elektromagnetycznej Z , czyli stosunek amplitudy E do amplitudy H . Pożądane jest zatem wyrażenie n i Z w postaci ϵ i μ , a następnie powiązanie Z do n . Ostatnia wspomniana zależność umożliwi jednak wygodne wyprowadzenie współczynników odbicia w kategoriach addancji falowej Y , która jest odwrotnością impedancji falowej Z.

W przypadku jednorodnych płaskich fal sinusoidalnych impedancja falowa lub admitancja jest znana jako impedancja wewnętrzna lub admitancja ośrodka. W tym przypadku należy wyprowadzić współczynniki Fresnela.

Fale płaskie elektromagnetyczne

W jednolitej płaszczyźnie sinusoidalnej fali elektromagnetycznej pole elektryczne E ma postać

${\ Displaystyle \ mathbf {E_ {k}} e ^ {i (\ mathbf {k \ cdot r} - \ omega t)}}$

 

 

 

 

()

gdzie E _k jest (stałym) zespolonym wektorem amplitudy, i jest jednostką urojoną , k jest wektorem falowym (którego wielkość k jest kątową liczbą falową ), r jest wektorem położenia , ω jest częstotliwością kątową , t jest czasem, oraz rozumie się, że rzeczywistą częścią wyrażenia jest pole fizyczne. Wartość wyrażenia pozostaje niezmieniona, jeśli pozycja r zmienia się w kierunku normalnym do k ; stąd k jest normalne do czoła fali .

   Aby przyspieszyć fazę o kąt ϕ , zastępujemy ωt przez ωt+ϕ (to znaczy zastępujemy −ωt przez −ωt−ϕ ), w wyniku czego pole (zespolone) jest mnożone przez e ^−iϕ . Tak więc postęp fazy jest równoważny mnożeniu przez stałą zespoloną z ujemnym argumentem . Staje się to bardziej oczywiste, gdy ciało ( 1 ) zostanie rozłożone jako <a i=25>‍ E   E _k e ^{i k⋅r} e ^−iωt , gdzie ostatni czynnik zawiera zależność od czasu. Z tego czynnika wynika również, że różniczkowanie wrt time odpowiada mnożeniu przez −iω .

Jeśli ℓ jest składową r w kierunku   k , ciało ( 1 ) można zapisać <a i=11>‍ E  E _k e ^{i ( k ℓ − ωt )} . Jeśli argument mi ja ^{( ⋯)} ma być stały, ℓ musi rosnąć z prędkością znaną jako prędkość fazowa ( v _p ) <a i=26>‍ ω ${\ Displaystyle \ omega / k \ ,, \,}$  . To z kolei jest równe ‍ do <a i=2>/ ${\ displaystyle c/n$ . Rozwiązanie dla k daje

${\ Displaystyle k = n \ omega / c \,.}$

 

 

 

 

()

Jak zwykle odrzucamy zależny od czasu czynnik e ^−iωt , który jest rozumiany jako mnożenie każdej zespolonej wielkości ciała. Pole elektryczne dla jednolitej płaskiej fali sinusoidalnej będzie wówczas reprezentowane przez zależny od lokalizacji wskaz

${\ Displaystyle \ mathbf {E_ {k}} e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}}.}$

 

 

 

 

()

W przypadku pól tej postaci odpowiednio prawo Faradaya i prawo Maxwella-Ampère'a redukują się do

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ omega \ mathbf {B} & = \ mathbf {k} \ razy \ mathbf {E} \\\ omega \ mathbf {D} & = - \ mathbf {k} \ razy \ mathbf {H} \,.\end{wyrównane}}}$$

     ‍ Stawiając    B = μ H i    D = ϵ E <a i=11>‍ , , <a i=12>‍ jak wyżej, możemy wyeliminować B i D , aby otrzymać równania tylko dla E i H :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ omega \ mu \ mathbf {H} & = \ mathbf {k} \ razy \ mathbf {E} \\\ omega \ epsilon \ mathbf {E} & = - \ mathbf {k } \times \mathbf {H} \,.\end{wyrównane}}}$$

  Jeśli parametry materiałowe ϵ i μ są rzeczywiste (jak w bezstratnym dielektryku), równania te pokazują, że    k , E , H tworzą prawoskrętną triadę ortogonalną , tak że te same równania mają zastosowanie do wielkości odpowiednich wektorów. Biorąc równania wielkości i podstawiając z ( 2 ), otrzymujemy

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mu cH & = nE \\\ epsilon cE & = nH \, \ koniec {wyrównane}}$$

  gdzie H i E są wielkościami H i E . Mnożenie dwóch ostatnich równań daje

${\ Displaystyle n = c \, {\ sqrt {\ mu \ epsilon}} \,.}$

 

 

 

 

()

  Dzielenie (lub mnożenie krzyżowe) tych samych dwóch równań daje    H = YE <a i=5>‍ , , <a i=7>‍ gdzie where

${\ Displaystyle Y = {\ sqrt {\ epsilon / \ mu}} \,.}$

 

 

 

 

()

To jest wewnętrzna akceptacja .

    Z ( 4 ) otrzymujemy prędkość fazową $\ Displaystyle c/n = 1 {\ duży /} \! {\ sqrt {\ mu \ epsilon \,}}}$ . <a i=4>n W przypadku próżni zmniejsza się to do <a i=16>‍ c ${\ Displaystyle c = 1 {\ duży /} \! {\ sqrt {\ mu _ {0} \ epsilon _ {0}}}}$ . Dzielenie drugiego wyniku przez pierwszy daje

$${\ Displaystyle n = {\ sqrt {\ mu _ {\ tekst {rel}} \ epsilon _ {\ text {rel}}}} \,.}$$

W przypadku ośrodka niemagnetycznego (zwykły przypadek) staje się to ${\ Displaystyle n = {\ sqrt {\ epsilon _ {\ text {rel}}}}}$ .

known as the ( Biorąc odwrotność ( 5 ), stwierdzamy, że impedancja wewnętrzna wynosi ${\ textstyle Z = {\ sqrt {\ mu / \ epsilon}}}$ . W próżni przyjmuje to wartość ${\ textstyle Z_ {0} = {\ sqrt {\ mu _ {0} / \ epsilon _ {0}}} \, \ około 377 \, \ Omega \,,} ‍ znany$ <a i=25>jako impedancja wolnej przestrzeni . Przez dzielenie  ${\ textstyle Z/Z_ {0} = {\ sqrt {\ mu _ {\ text {rel}}/\ epsilon _ {\ text {rel}}}}}$ . Dla ośrodka niemagnetycznego staje się to ${\ Displaystyle Z = Z_ {0} {\ duży /} \! {\ sqrt {\ epsilon _ {\ tekst {rel}}}} = Z_ {0}/n.}$ )

Wektory falowe

Wektory fali padającej, odbitej i transmitowanej ( o _{ki ‍ , kr ‍ i k t}   <a i=4>n , _{współczynniku} ) _dla padania <a i=8>z , ośrodka załamania światła 1 _do ośrodka o współczynniku załamania światła n ₂ . Czerwone strzałki są prostopadłe do wektorów falowych.

‍ ‍ We współrzędnych kartezjańskich z ( x , y , <a i=7>‍ z ) niech region <a i=11>‍ y y  <  0 <a i=13>‍ ma współczynnik załamania n ₁ , admitancję wewnętrzną Y ₁ , itd. i niech region <a i=24>‍ y y  >  0 <a i=26>‍ ma współczynnik załamania n ₂ , admitancję wewnętrzną Y _{2 itd} . Następnie xz płaszczyzna jest interfejsem, a oś y jest normalna do interfejsu (patrz diagram). Niech i i j (pogrubioną czcionką rzymską ) będą wektorami jednostkowymi odpowiednio w kierunkach x i y . Niech płaszczyzną padania będzie xy (płaszczyzna strony), z kątem padania θ _i mierzonym od j do i . Niech kąt załamania, mierzony w tym samym kierunku, będzie równy   θ _t , gdzie indeks dolny t oznacza transmitowane (rezerwując r dla odbitego ).

W przypadku braku przesunięć Dopplera ω nie zmienia się przy odbiciu lub załamaniu . Stąd, przez ( 2 ), wielkość wektora falowego jest proporcjonalna do współczynnika załamania światła.

‍ Zatem dla danego ω , jeśli przedefiniowamy k jako wielkość wektora falowego w ośrodku odniesienia (dla którego   n = <a i=11>‍ 1 1 ), to wektor falowy ma wielkość n ₁ k w pierwszym ośrodku (region <a i=18>‍ y y  <a i=20><  0 na diagramie) i wielkość n ₂ k w drugim ośrodku. Na podstawie wielkości i geometrii stwierdzamy, że wektory falowe są

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {k} _ {\ tekst {i}} & = n_ {1} k (\ mathbf {i} \ sin \ theta _ {\ tekst {i}} + \ mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&= n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\ koniec {wyrównany}}}$$

gdzie ostatni krok wykorzystuje prawo Snella. Odpowiednimi iloczynami skalarnymi w postaci wskazówkowej ( 3 ) są

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {k} _ {\ tekst {i}} \ mathbf {\ cdot r} & = n_ {1} k (x \ sin \ theta _ {\ tekst {i}} +y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}-y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} &=k(n_ {1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}})\,.\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

Stąd:

W ${\ Displaystyle y = 0 \ ~ ~ ~ \ mathbf {k} _ {\ tekst {i}} \ mathbf {\ cdot r} = \ mathbf {k} _ {\ tekst {r}} \ mathbf {\ cdot r} =\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} =n_{1}kx\sin \theta _{\text{i}}\,.}$

 

 

 

 

()

Składniki s _

Dla polaryzacji s pole E jest równoległe do osi z i dlatego może być opisane przez jego składową w kierunku z . Niech współczynniki odbicia i przepuszczalności wynoszą odpowiednio r _s i t _s . Następnie, jeśli przyjąć, że padające pole E ma jednostkową amplitudę, postać wskazu ( 3 ) jego składowej z wynosi

${\ Displaystyle E _ {\ tekst {i}} = e ^ {i \ mathbf {k} _ {\ tekst {i}} \ mathbf {\ cdot r}},}$

 

 

 

 

()

a pola odbite i transmitowane są w tej samej formie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E _ {\ tekst {r}} & = r_ {s \,} e ^ {i \ mathbf {k} _ {\ tekst {r}} \ mathbf {\ cdot r}} \\E_{\text{t}}&=t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r}}.\end{wyrównane}} }$

 

 

 

 

()

  Zgodnie z konwencją znaków zastosowaną w tym artykule, dodatni współczynnik odbicia lub przepuszczalności to taki, który zachowuje kierunek pola poprzecznego , co oznacza (w tym kontekście) pole normalne do płaszczyzny padania. Dla s oznacza to pole E. Jeśli padające, odbite i transmitowane pola E (w powyższych równaniach) są w kierunku z („poza stroną”), to odpowiednie pola H są w kierunkach czerwonych strzałek, ponieważ        k , E ,   H tworzą prawoskrętną triadę ortogonalną. Pola H mogą zatem być opisane przez ich składowe w kierunkach tych strzałek, oznaczonych przez   Hi , H _r <a i=10>‍ , H _{t .} ,   Wtedy, ponieważ    H = YE <a i=18>‍ , ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H _ {\ tekst {i}} & = \, Y_ {1} e ^ {i \ mathbf {k} _ {\ tekst {i}} \ mathbf {\ cdot r}} \\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\ \H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r}}.\ koniec {wyrównany}}}$

 

 

 

 

()

Na granicy faz, zgodnie ze zwykłymi warunkami interfejsu dla pól elektromagnetycznych , składowe styczne pól E i H muszą być ciągłe; to jest,

${\ Displaystyle \ lewo. {\ rozpocząć {wyrównane} E _ {\ tekst {i}} + E _ {\ tekst {r}} i = E _ {\ tekst {t}} \\ H_ {\ tekst {i}} \ cos \theta _{\text{i}}-H_{\text{r}}\cos \theta _{\text{i}}&=H_{\text{t}}\cos \theta _{\text {t}}\end{wyrównane}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0\,.}$

 

 

 

 

()

Kiedy podstawiamy z równań ( 8 ) do ( 10 ), a następnie z ( 7 ), czynniki wykładnicze znoszą się, tak że warunki interfejsu redukują się do równoczesnych równań

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 1 + r _ {\ tekst {s} }&=\,t_{\text{s}}\\Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}r_{\text{s}}\cos \theta _{ \text{i}}&=\,Y_{2}t_{\text{s}}\cos \theta _{\text{t}}\,,\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

które można łatwo rozwiązać dla r _s i t _s <a i=7>‍ , , otrzymując

${\ Displaystyle r_ {\ tekst {s}} = {\ Frac {Y_ {1} \ cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2 }\cos \theta _{\text{t}}}}}$

 

 

 

 

()

I

${\ Displaystyle t _ {\ tekst {s}} = {\ Frac {2Y_ {1} \ cos \ teta _ {\ tekst {i}}} {Y_ {1} \ cos \ teta _ {\ tekst {i}} +Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

 

 

 

 

()

Przy normalnej częstości występowania <a i=3>‍ ( (   θ _i = θ _t = 0), wskazanej przez dodatkowy indeks dolny 0, wyniki te stają się

${\ Displaystyle R_ {\ tekst {s0}} = {\ Frac {Y_ {1} -Y_ {2}} {Y_ {1} + Y_ {2}} }}$

 

 

 

 

()

I

${\ Displaystyle t _ {\ tekst {s0}} = {\ Frac {2Y_ {1}} {Y_ {1} + Y_ {2}}} \,.}$

 

 

 

 

()

       Przy częstości wypasu <a i=3>‍ ( (  θ _i → 90°) mamy    cos θ _i → 0 <a i=13>‍ , , stąd    r _s → −1 i   t _s → 0 .

Składniki p _

  Dla polaryzacji p padające, odbite i transmitowane pola E są równoległe do czerwonych strzałek i dlatego mogą być opisane przez ich składowe w kierunkach tych strzałek. Niech tymi składowymi będą  ,  E _i , E _r <a i=11>‍ , E _t   (przedefiniowanie symboli dla nowego kontekstu). Niech współczynniki odbicia i transmisji będą r _p i t _p . Następnie, jeśli przyjąć, że padające E ma jednostkową amplitudę, mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E _ {\ tekst {i}} & = e ^ {i \ mathbf {k} _ {\ tekst {i}} \ mathbf {\ cdot r}} \\ E_ {\ tekst {r}}&=r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r}}\\E_{\text{t}}&=t_ {p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r}}.\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

    Jeśli pola E znajdują się w kierunkach czerwonych strzałek, to aby    k , E , H utworzyły prawoskrętną triadę ortogonalną, odpowiednie pola H muszą znajdować się w kierunku -z („na stronę”) i dlatego mogą być opisane przez ich składowe w tym kierunku. Jest to zgodne z przyjętą konwencją znakową, a mianowicie, że dodatni współczynnik odbicia lub przepuszczalności to taki, który zachowuje kierunek pola poprzecznego ( pole H w przypadku p polaryzacja ) . Zgodność drugiego pola z czerwonymi strzałkami ujawnia alternatywną definicję konwencji znaku: że dodatnie odbicie lub współczynnik transmisji to takie, dla którego wektor pola w płaszczyźnie padania wskazuje ten sam ośrodek przed i po odbiciu lub transmisji.

    Zatem dla padającego, odbitego i transmitowanego pola H niech odpowiednie składowe w kierunku −z będą  ,  H _i , H _r <a i=11>‍ , H _t   . Wtedy, ponieważ    H = YE <a i=19>‍ , ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H _ {\ tekst {i}} & = \, Y_ {1} e ^ {i \ mathbf {k} _ {\ tekst {i}} \ mathbf {\ cdot r}} \\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\ \H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r}}.\ koniec {wyrównany}}}$

 

 

 

 

()

Na styku składowe styczne pól E i H muszą być ciągłe; to jest,

${\ Displaystyle \ lewo. {\ rozpocząć {wyrównane} E _ {\ tekst {i}} \ cos \ theta _ {\ tekst {i}} -E _ {\ tekst {r}} \ cos \ theta _ {\ tekst { i}}&=E_{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}}\\H_{\text{i}}+H_{\text{r}}&=H_{\text {t}}\end{wyrównane}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0\,.}$

 

 

 

 

()

Kiedy podstawiamy z równań ( 17 ) i ( 18 ) a następnie z ( 7 ), czynniki wykładnicze ponownie się znoszą, tak że warunki interfejsu redukują się do

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ cos \ theta _ {\ tekst {i}} -r _ {\ tekst {p}} \ cos \ theta _ {\ tekst {i}} & = \, t_ {\ tekst {p}}\cos \theta _{\text{t}}\\Y_{1}+Y_{1}r_{\text{p}}&=\,Y_{2}t_{\text{p} }\,.\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

t _p <a i=7>Znajdujemy , rozwiązanie dla r _p i

${\ Displaystyle r_ {\ tekst {p}} = {\ Frac {Y_ {2} \ cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1 }\cos \theta _{\text{t}}}}}$

 

 

 

 

()

I

${\ Displaystyle t _ {\ tekst {p}} = {\ Frac {2Y_ {1} \ cos \ teta _ {\ tekst {i}}} {Y_ {2} \ cos \ teta _ {\ tekst {i}} +Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

 

 

 

 

()

Przy normalnej częstości występowania <a i=3>‍ ( (   θ _i = θ _t = 0), wskazanej przez dodatkowy indeks dolny 0, wyniki te stają się

${\ Displaystyle R _ {\ tekst {p0}} = {\ Frac {Y_ {2} -Y_ {1}} {Y_ {2} + Y_ {1}} }}$

 

 

 

 

()

I

${\ Displaystyle t _ {\ tekst {p0}} = {\ Frac {2Y_ {1}} {Y_ {2} + Y_ {1}}} \,.}$

 

 

 

 

()

       Przy częstości wypasu <a i=3>‍ ( (  θ _i → 90°) ponownie mamy    cos θ _i → 0 <a i=13>‍ , , stąd    r _p → −1 i   t _p → 0 .

Porównując ( 23 ) i ( 24 ) z ( 15 ) i ( 16 ), widzimy, że przy normalnym padaniu, zgodnie z przyjętą konwencją znaków, współczynniki transmisji dla dwóch polaryzacji są równe, podczas gdy współczynniki odbicia mają równe wielkości, ale przeciwne znaki . Chociaż to zderzenie znaków jest wadą konwencji, towarzyszącą mu zaletą jest to, że znaki zgadzają się co do wypasu .

Współczynniki mocy (odbicie i przepuszczalność)

Wektor Poyntinga dla fali to wektor, którego składową w dowolnym kierunku jest natężenie promieniowania (moc na jednostkę powierzchni) tej fali na powierzchni prostopadłej do tego kierunku. Dla płaskiej fali sinusoidalnej wektor Poyntinga to <a i=6>‍ 1/2 1 z . ‍   <a i=9>‍ Re { E × H ^∗ }, gdzie E i H wynikają tylko danej fali, a gwiazdka oznacza złożoną koniugację Wewnątrz bezstratnego dielektryka (zwykły przypadek), E i which is H są w fazie i pod kątem prostym do siebie i do wektora falowego k ; więc dla polaryzacji s, używając składowych z i xy odpowiednio E i H (lub dla polaryzacji p, używając składowych xy i -z E i H ), natężenie promieniowania w kierunku k jest określone po prostu przez EH /2 , <a i=27>‍ czyli <a i=29>‍ E E ² / 2 Z   w ośrodku o impedancji wewnętrznej Z = 1/ Y . Aby obliczyć natężenie promieniowania w kierunku normalnym do interfejsu, jak będziemy wymagać w definicji współczynnika transmisji mocy, moglibyśmy użyć tylko składnika x (zamiast pełnego składnika xy) H lub E lub , równoważnie, po prostu pomnożyć EH /2 przez odpowiedni współczynnik geometryczny, otrzymując   ( E ² / 2Z ) cos θ .

Z równań ( 13 ) i ( 21 ), przyjmując wielkości kwadratowe, stwierdzamy, że współczynnik odbicia (stosunek mocy odbitej do mocy padającej) wynosi

${\ Displaystyle R _ {\ tekst {s}} = \ lewo | {\ Frac {Y_ {1} \ cos \ teta _ {\ tekst {i}} -Y_ {2} \ cos \ teta _ {\ tekst { t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

 

 

 

 

()

dla polaryzacji s i

${\ Displaystyle R _ {\ tekst {p}} = \ lewo | {\ Frac {Y_ {2} \ cos \ teta _ {\ tekst {i}} -Y_ {1} \ cos \ teta _ {\ tekst { t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

 

 

 

 

()

   dla polaryzacji p. Należy zauważyć, że porównując moce dwóch takich fal w tym samym ośrodku i przy tym samym cos θ , impedancja i współczynniki geometryczne wspomniane powyżej są identyczne i znoszą się. Ale przy obliczaniu przenoszenia mocy (poniżej) należy wziąć pod uwagę te czynniki.

‍ Najprostszym sposobem uzyskania współczynnika transmisji mocy ( przepuszczalności , stosunku mocy przesyłanej do mocy padającej w kierunku normalnym do interfejsu , czyli w kierunku y ) jest zastosowanie R + T = 1 <a i=11>‍ ( zachowanie energii). W ten sposób znajdujemy

${\ Displaystyle T _ {\ tekst {s}} = 1-R _ {\ tekst {s}} = \, {\ Frac {4 \, {\ tekst {Re}} \ {Y_ {1} Y_ {2} \ cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2 }\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}}}$

 

 

 

 

()

dla polaryzacji s i

${\ Displaystyle T _ {\ tekst {p}} = 1-R _ {\ tekst {p}} = \, {\ Frac {4 \, {\ tekst {Re}} \ {Y_ {1} Y_ {2} \ cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1 }\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}}}$

 

 

 

 

()

dla polaryzacji p.

W przypadku interfejsu między dwoma ośrodkami bezstratnymi (dla których ϵ i μ są wartościami rzeczywistymi i dodatnimi), wyniki te można uzyskać bezpośrednio, korzystając z kwadratów wielkości współczynników transmisji amplitudy, które znaleźliśmy wcześniej w równaniach ( 14 ) i ( 22 ) . Ale dla danej amplitudy (jak wspomniano powyżej) składowa wektora Poyntinga w kierunku y jest proporcjonalna do współczynnika geometrycznego cos θ ‍ <a i=11>‍ i odwrotnie proporcjonalna do impedancji falowej Z . Stosując te poprawki do każdej fali, otrzymujemy dwa współczynniki mnożące kwadrat współczynnika transmisji amplitudy:

${\ Displaystyle T _ {\ tekst {s}} = \ lewo ({\ Frac {2Y_ {1} \ cos \ teta _ {\ tekst {i} }}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {\ ,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}= {\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{1}\cos \theta _ {\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}}$

 

 

 

 

()

dla polaryzacji s i

${\ Displaystyle T _ {\ tekst {p}} = \ lewo ({\ Frac {2Y_ {1} \ sałata \ teta _ {\ tekst {i} }}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {\ ,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}= {\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{2}\cos \theta _ {\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}}$

 

 

 

 

()

dla polaryzacji p. Dwa ostatnie równania odnoszą się tylko do dielektryków bezstratnych i tylko przy kątach padania mniejszych od kąta krytycznego (poza którym oczywiście T = 0 ).

Dla światła niespolaryzowanego:

${\ Displaystyle T = {1 \ ponad 2} (T_ {s} + T_ {p})}$

${\ Displaystyle R = {1 \ ponad 2} (R_ {s} + R_ {p})}$

gdzie ${\ Displaystyle R + T = 1}$ .

Równe współczynniki załamania światła

  ‍ Z równań ( 4 ) i ( 5 ) widzimy, że dwa różne ośrodki będą miały ten sam współczynnik załamania światła, ale różne admitancje, jeśli stosunek ich przepuszczalności jest odwrotnością stosunku ich przenikalności. W tej niezwykłej sytuacji mamy   θ _t = θ _i <a i=10>‍ ( czyli transmitowany promień nie jest odchylony), tak że cosinusy w równaniach ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ) i ( 25 ) do ( 28 ) znoszą się, a wszystkie współczynniki odbicia i transmisji stają się niezależne od kąta padania; innymi słowy, współczynniki normalnego padania mają zastosowanie do wszystkich kątów padania. Po rozszerzeniu na sferyczne odbicie lub rozpraszanie, skutkuje to efektem Kerkera dla rozpraszania Mie .

Media niemagnetyczne

Ponieważ równania Fresnela zostały opracowane dla optyki, zwykle podaje się je dla materiałów niemagnetycznych. Dzielenie ( 4 ) przez ( 5 )) daje

$${\ Displaystyle Y = {\ Frac {n} {\, c \ mu \,}} \,.}$$

₀ Dla ośrodków niemagnetycznych możemy podstawić przepuszczalność próżni μ za μ , tak że

$${\ Displaystyle Y_ {1} = {\ Frac {n_ {1}} {\, c \ mu _ {0}}} ~ ~; ~ ~ ~ Y_ {2} = {\ Frac {n_ {2}} \,c\mu _{0}}}\,;}$$

₀ to znaczy, admitancje są po prostu proporcjonalne do odpowiednich współczynników załamania światła. Kiedy dokonamy tych podstawień w równaniach ( 13 ) do ( 16 ) i równaniach ( 21 ) do ( 26 ), współczynnik cμ znosi się. Dla współczynników amplitudy otrzymujemy:

${\ Displaystyle r_ {\ tekst {s}} = {\ Frac {n_ {1} \ cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2 }\cos \theta _{\text{t}}}}}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle t _ {\ tekst {s}} = {\ Frac {2n_ {1} \ sałata \ teta _ {\ tekst{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle r_ {\ tekst {p}} = {\ Frac {n_ {2} \ cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1 }\cos \theta _{\text{t}}}}}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle t _ {\ tekst {p}} = {\ Frac {2n_ {1} \ cos \ teta _ {\ tekst {i}}} {n_ {2} \ cos \ teta _ {\ tekst {i}} +n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

 

 

 

 

()

W przypadku normalnej częstości występowania zmniejszają się one do:

${\ Displaystyle R_ {\ tekst {s0}} = {\ Frac {n_ {1} -n_ {2}} {n_ {1} + n_ {2}} }}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle t _ {\ tekst {s0}} = {\ Frac {2n_ {1}} {n_ {1} + n_ {2}}}}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle R _ {\ tekst {p0}} = {\ Frac {n_ {2} -n_ {1}} {n_ {2} + n_ {1}} }}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle t _ {\ tekst {p0}} = {\ Frac {2n_ {1}} {n_ {2} + n_ {1}}} \,.}$

 

 

 

 

()

Współczynniki odbicia mocy stają się:

${\ Displaystyle R _ {\ tekst {s}} = \ lewo | {\ Frac {n_ {1} \ cos \ teta _ {\ tekst {i}} -n_ {2} \ cos \ teta _ {\ tekst { t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle R _ {\ text {p}} = \ lewo | {\ Frac {n_ {2} \ cos \ theta _ {\ text {i}} -n_ {1} \ cos \ theta _ {\ text {t }}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}\,.}$

 

 

 

 

()

Transmisje mocy można wtedy znaleźć z T = 1 - R .

Kąt Brewstera

for for cos  θ _t <a i=33>. , ośrodki niemagnetyczne), jeśli <a i=29>θ i _i θ t _są komplementarne , możemy zastąpić <a i=10>‍ sin sin  θ _t <a i=14>‍ ‍ cos cos  θ _i <a i=20>‍ , , a <a i=23>‍ sin sin  θ _i <a i=27>‍ ‍ cos <a i=16>‍ , więc że licznik w równaniu ( 31 ) staje się <a i=38>‍ n      forn _{<a i=40>2} ‍  sin  sin θ _t − n ₁ <a i=7>‍ sin θ _i <a i=11>‍ , , czyli zero (według prawa Snella). Stąd   r _p = 0 i odbijana jest tylko składowa spolaryzowana s. To właśnie dzieje się pod kątem Brewstera . Zastępując <a i=20>‍ cos cos  θ _i <a i=24>‍ ‍ sin sin  θ _t <a i=29>‍ w prawie Snella, łatwo <a i=26>otrzymujemy ‍

${\ Displaystyle \ teta _ {\ tekst {i}} = \ arctan (n_ {2} / n_ {1})}$

 

 

 

 

()

dla kąta Brewstera.

Równe dopuszczalności

Chociaż nie spotyka się tego w praktyce, równania te można zastosować również w przypadku dwóch ośrodków o wspólnej przenikalności elektrycznej, ale różnych współczynnikach załamania światła z powodu różnych przepuszczalności. Z równań ( 4 ) i ( 5 ), jeśli ϵ jest ustalone zamiast μ , to Y staje się odwrotnie proporcjonalne do n , w wyniku czego indeksy 1 i 2 w równaniach ( 29 ) do ( 38 ) są zamienione (ze względu na dodatkowy krok mnożenia licznika i mianownika przez      n ₁ n ₂ ). Stąd w ( 29 ) i ( 31 ) wyrażenia na r _s i r _p wyrażone we współczynnikach załamania zostaną zamienione, tak że kąt Brewstera ( 39 ) da   r _s = 0 zamiast   r _p = 0 <a i=24><a i=25>‍ , ,‍ a każda wiązka odbita pod tym kątem będzie spolaryzowana p zamiast s. Podobnie prawo sinusa Fresnela będzie miało zastosowanie do polaryzacji p zamiast do polaryzacji s, a jego prawo stycznej do polaryzacji s zamiast polaryzacji p.

Ta zmiana polaryzacji ma odpowiednik w starej mechanicznej teorii fal świetlnych (patrz § Historia powyżej). Można było przewidzieć współczynniki odbicia, które zgadzały się z obserwacjami, zakładając (jak Fresnel), że różne współczynniki załamania były spowodowane różnymi gęstościami i że wibracje były normalne do tego, co wówczas nazywano płaszczyzną polaryzacji , lub zakładając (jak MacCullagh i Neumann ), że różne współczynniki załamania były spowodowane różnymi sprężystościami i wibracjami równolegle do tej płaszczyzny. Zatem warunek równych przenikalności i nierównych przepuszczalności, chociaż nierealistyczny, ma pewne znaczenie historyczne.

Zobacz też

• rachunek Jonesa
• Mieszanie polaryzacji
• Materiał zgodny z indeksem
• Wielkości pola i mocy
• Romb Fresnela , aparat Fresnela do wytwarzania światła spolaryzowanego kołowo
• Utrata odbicia
• Lustrzane odbicie
• Przybliżenie Schlicka
• Okno Snella
• Odbicie promieni rentgenowskich
• Płaszczyzna padania
• Odbicia sygnałów na liniach przewodzących

Źródła

• M. Born i E. Wolf, 1970, Principles of Optics , wyd. 4, Oxford: Pergamon Press.
•   JZ Buchwald, 1989, The Rise of the Wave Theory of Light: Optical Theory and Experiment in the Early XIX Century , University of Chicago Press, ISBN 0-226-07886-8 .
• RE Collin, 1966, Podstawy inżynierii mikrofalowej , Tokio: McGraw-Hill.
•   O. Darrigol, 2012, Historia optyki: od starożytności greckiej do XIX wieku , Oxford, ISBN 978-0-19-964437-7 .
•   A. Fresnel, 1866 (red. H. de Senarmont, E. Verdet i L. Fresnel), Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , Paryż: Imprimerie Impériale (3 tomy, 1866–70),   tom. 1 (1866) .
•   E. Hecht, 1987, Optyka , wyd. 2, Addison Wesley, ISBN 0-201-11609-X .
•   E. Hecht, 2002, Optyka , wydanie 4, Addison Wesley, ISBN 0-321-18878-0 .
•   FA Jenkins i HE White, 1976, Podstawy optyki , wyd. 4, Nowy Jork: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5 .
• H. Lloyd, 1834, „Raport o postępie i obecnym stanie optyki fizycznej” , Sprawozdanie z czwartego spotkania Brytyjskiego Stowarzyszenia Postępu Naukowego (odbyło się w Edynburgu w 1834 r.), Londyn: J. Murray, 1835, s. 295–413 .  
• W. Whewell, 1857, Historia nauk indukcyjnych: od najdawniejszych do współczesności , wyd. 3, Londyn: JW Parker & Son,   tom. 2 .
• ET Whittaker , 1910, Historia teorii eteru i elektryczności: od epoki Kartezjusza do końca XIX wieku , Londyn: Longmans, Green, & Co.

Dalsza lektura

•   Woan, G. (2010). Cambridge Handbook of Physics Formuły . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-521-57507-2 .
•   Griffiths, David J. (2017). „Rozdział 9.3: Fale elektromagnetyczne w materii”. Wprowadzenie do elektrodynamiki (wyd. 4). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-1-108-42041-9 .
•   Zespół, YB (2010). Światło i materia: elektromagnetyzm, optyka, spektroskopia i lasery . John Wiley & Synowie. ISBN 978-0-471-89931-0 .
•   Kenyon, IR (2008). The Light Fantastic – wprowadzenie do optyki klasycznej i kwantowej . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856646-5 .
• Encyclopaedia of Physics (wydanie 2) , RG Lerner , GL Trigg, wydawcy VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
•   McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (wydanie 2) , CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3

Linki zewnętrzne

• Równania Fresnela – Wolfram.
• Kalkulator równań Fresnela
• FreeSnell – bezpłatne oprogramowanie oblicza właściwości optyczne materiałów wielowarstwowych.
• Thinfilm – interfejs sieciowy do obliczania właściwości optycznych cienkich warstw i materiałów wielowarstwowych (współczynniki odbicia i transmisji, parametry elipsometryczne Psi i Delta).
• Prosty interfejs sieciowy do obliczania kątów i mocy odbicia i załamania z jednego interfejsu .
• Odbicie i transmitancja dla dwóch dielektryków – interaktywna strona internetowa Mathematica pokazująca zależności między współczynnikiem załamania a odbiciem.
• Samodzielne wyprowadzenie pierwszych zasad prawdopodobieństw transmisji i odbicia z warstwy wielowarstwowej o złożonych współczynnikach załamania światła.