Równanie Fishera

Symulacja numeryczna równania Fishera – KPP. W kolorach: rozwiązanie u ( t , x ); w kropkach: nachylenie odpowiadające teoretycznej prędkości fali biegnącej.

Ronalda Fishera w 1913 r

W matematyce równanie Fishera (nazwane na cześć statystyka i biologa Ronalda Fishera ), znane również jako równanie Kołmogorowa – Pietrowskiego – Piskunowa (nazwane na cześć Andrieja Kołmogorowa , Iwana Pietrowskiego i Nikołaja Piskunowa ), równanie KPP lub równanie Fishera – KPP jest równaniem różniczkowym cząstkowym :

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} -D {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x ^ {2}}} = ru (1-u). \ ,}

Jest to rodzaj systemu reakcji-dyfuzji , który można wykorzystać do modelowania wzrostu populacji i propagacji fal.

Detale

Równanie Fishera należy do klasy równań reakcji-dyfuzji : w rzeczywistości jest to jedno z najprostszych półliniowych równań reakcji-dyfuzji, które ma niejednorodny wyraz

{\ Displaystyle f (u, x, t) = ru (1-u), \,}

które mogą wykazywać rozwiązania fali biegnącej, które przełączają się między stanami równowagi określonymi przez ${\ Displaystyle f (u) = 0}$ . Takie równania występują np. w ekologii , fizjologii , spalaniu , krystalizacji , fizyce plazmy i ogólnie w zagadnieniach przemian fazowych .

Fisher zaproponował to równanie w swoim artykule z 1937 r. Fala postępu korzystnych genów w kontekście dynamiki populacji, aby opisać przestrzenne rozprzestrzenianie się korzystnego allelu i zbadał rozwiązania jego fali wędrującej. Dla każdej prędkości fali $rD$ $}}}$ ( w bezwymiarowej ) dopuszcza rozwiązania fali biegnącej postaci

{\ Displaystyle u (x, t) = v (x \ pm ct) \ równoważnik v (z), \,}

gdzie rośnie i ${\ displaystyle \ textstyle v}$

{\ Displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow - \ infty} v \ lewo (z \ prawej) = 0 \ quad \ lim _{z\rightarrow \infty }v\left(z\right)=1.}

Oznacza to, że rozwiązanie przechodzi ze stanu równowagi u = 0 do stanu równowagi u = 1. Takie rozwiązanie nie istnieje dla c < 2. Kształt fali dla danej prędkości fali jest unikalny. Rozwiązania z falą podróżującą są stabilne wobec perturbacji bliskiego pola, ale nie dla perturbacji dalekiego pola, które mogą pogrubić ogon. Za pomocą zasady porównania i teorii superrozwiązań można udowodnić, że wszystkie rozwiązania o zwartych danych początkowych zbiegają się w fale z minimalną prędkością.

Dla specjalnej prędkości fali $można$ zamkniętej,

{\ Displaystyle v (z) = \ lewo (1 + C \ operatorname {exp} \ lewo (\ mp {z} / { \sqrt {6}}\right)\right)^{-2}}

gdzie jest $> 0}$ , a powyższe warunki graniczne są spełnione dla do { $\$ .

Dowód istnienia rozwiązań fali biegnącej i analiza ich właściwości jest często przeprowadzana metodą przestrzeni fazowej .

Równanie KPP

W tym samym roku (1937), kiedy Fisher, Kołmogorow, Pietrowski i Piskunow wprowadzili bardziej ogólne równanie reakcji-dyfuzji

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x ^{2}}}=F(u)}

gdzie jest wystarczająco gładką $= F (1) = 0, fa ' (0) = r> 0}$ o właściwościach, że $)$ i ${\ Displaystyle F (v)> 0, F' (v) <r}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle 0 <v<1}$ . To również ma omówione powyżej rozwiązania fali biegnącej. Równanie Fishera uzyskuje się po ustawieniu i przeskalowaniu współrzędnej o współczynnik re $} styl wyświetlania {\ sqrt {D}}}$ $(u) = ru (1-u)$ $Displaystyle$ . Bardziej ogólny przykład podaje wzór ${\ Displaystyle F (u) = ru (1-u ^ {q})}$ z ${\ Displaystyle q> 0}$ . Kołmogorow, Pietrowski i Piskunow omówili ten przykład z ${\ displaystyle q = 2}$ w kontekście genetyki populacji .