Równanie trójfalowe

W układach nieliniowych równania trójfalowe , czasami nazywane trójfalowymi równaniami interakcji rezonansowej lub rezonansami triady , opisują fale o małej amplitudzie w różnych ośrodkach nieliniowych, w tym w obwodach elektrycznych i optyce nieliniowej . Są zbiorem całkowicie całkowalnych nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych . Ponieważ dostarczają najprostszego, najbardziej bezpośredniego przykładu interakcji rezonansowej , mają szerokie zastosowanie w naukach ścisłych i są całkowicie integrowalne, były intensywnie badane od lat 70. XX wieku.

Nieformalne wprowadzenie

Równanie trójfalowe powstaje w wyniku rozważenia niektórych najprostszych układów nieliniowych , jakie można sobie wyobrazić . Liniowe układy różniczkowe mają postać rodzajową

${\ Displaystyle D \ psi = \ lambda \ psi}$

dla pewnego operatora różniczkowego D . Najprostszym nieliniowym rozszerzeniem tego jest pisanie

${\ Displaystyle D \ psi - \ lambda \ psi = \ varepsilon \ psi ^ {2}.}$

Jak można to rozwiązać? Dostępnych jest kilka podejść. W kilku wyjątkowych przypadkach mogą być znane dokładne rozwiązania równań tej postaci. Ogólnie rzecz biorąc, można je znaleźć w pewien ad hoc po zastosowaniu ansatz . Drugie podejście polega na założeniu, że $do znalezienia „$ wykorzystanie teorii zaburzeń ” do zlinearyzowanej teorii Trzecie podejście polega na zastosowaniu technik z teorii macierzy rozpraszania ( macierzy S ).

W podejściu S-matrix rozważa się cząstki lub fale płaskie przychodzące z nieskończoności, oddziałujące, a następnie wychodzące do nieskończoności. Licząc od zera przypadek cząstek zerowych odpowiada próżni , składającej się wyłącznie z tła. Przypadek jednocząsteczkowy to fala, która nadchodzi z odległej przeszłości, a następnie znika w powietrzu; może się to zdarzyć, gdy tło jest absorbujące, tłumiące lub rozpraszające . Alternatywnie fala pojawia się znikąd i oddala. Dzieje się tak, gdy tło jest niestabilne i generuje fale: mówi się, że system „ promieniuje ”. Obudowa dwucząstkowa składa się z cząstki wchodzącej, a następnie wychodzącej. Jest to właściwe, gdy tło jest niejednorodne: na przykład nadchodzi akustyczna fala płaska, rozprasza się od wrogiej łodzi podwodnej, a następnie porusza się w nieskończoność. Po dokładnej analizie fali wychodzącej można wydedukować charakterystykę przestrzennej niejednorodności. Istnieją jeszcze dwie możliwości: tworzenie par i anihilacja par . W tym przypadku para fal powstaje „z powietrza” ( poprzez interakcję z jakimś tłem) lub rozpływa się w powietrzu.

Następna w tej liczbie jest interakcja trzech cząstek. Jest wyjątkowy, ponieważ nie wymaga żadnego oddziałującego tła ani próżni, ani nie jest „nudny” w sensie nieoddziałującej fali płaskiej na jednorodnym tle. Pisząc dla tych trzech fal poruszających się od / do nieskończoności, ta najprostsza interakcja kwadratowa przybiera postać ${\ Displaystyle \ psi _ {1}, \ psi _ {2}, \ psi _ {3}}$ z

${\ Displaystyle (D- \ lambda) \ psi _ {1} = \ varepsilon \ psi _ {2} \ psi _ {3}}$

i ich cykliczne permutacje. Tę ogólną formę można nazwać równaniem trójfalowym ; poniżej przedstawiono konkretny formularz. Kluczową kwestią jest to, że wszystkie kwadratowe interakcje rezonansowe można zapisać w tej postaci (przy odpowiednich założeniach). W przypadku systemów zmiennych w czasie, w których można interpretować jako energię , można napisać ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle (Di \ częściowy / \ częściowy t) \ psi _ {1} = \ varepsilon \ psi _ {2} \ psi _ {3} }$

dla wersji zależnej od czasu.

Recenzja

Formalnie równanie trójfalowe jest

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe B_ {j}} {\ częściowe t}} + v_ {j} \ cdot \ nabla B_{j}=\eta _{j}B_{\ell }^{*}B_{m}^{*}}$

gdzie ${\ Displaystyle j, \ ell, m = 1,2,3}$ cykliczny, ${\ Displaystyle v_ {j}}$ jest prędkością grupową dla fali mającej $vec {k}} _ {j}, \ omega _ {j}}$ \ jako wektor falowy i częstotliwość kątowa oraz gradient ${\ Displaystyle \ nabla}$ , zrobione w płaskiej przestrzeni euklidesowej w n wymiarach. η ${\ displaystyle \ eta _ {j}}$ współczynniki interakcji; przeskalowując falę, można je wziąć ${\ Displaystyle \ eta _ {j} = \ pm 1}$ . Przez permutację cykliczną istnieją cztery klasy rozwiązań. η ${\ Displaystyle \ eta = \ eta _ {1} \ eta _ {2} \ eta _ {3}$ ma ${\ Displaystyle \ eta = \ pm 1}$ . Wszystkie są równoważne w permutacji η ${\ displaystyle \ eta = -1}$$1$$;$ istnieją trzy : rozwiązania określane jako przypadki ${\ Displaystyle --+}$ , określane jako wymuszone rozproszenie wsteczne i ${\ displaystyle -+-}$ przypadek, określany jako wymiana solitonów . Odpowiadają one bardzo różnym procesom fizycznym. $v_{3}}$$,$ poruszających się z prędkością v różną od którejkolwiek z trzech prędkości . To rozwiązanie ma możliwy związek z „trzema siostrami” obserwowanymi w falach zbuntowanych , mimo że głębokie wody nie mają trójfalowej interakcji rezonansowej.

Notatki z wykładów Harveya Segura stanowią wprowadzenie.

Równania mają parę Lax , a zatem są całkowicie całkowalne . Para Laxa to para macierzy 3x3, do której można zastosować metodę rozpraszania odwrotnego , stosując techniki Fokasa . Znana jest klasa rozwiązań jednorodnych przestrzennie, które podaje eliptyczna funkcja ℘ Weierstrassa . Relacje interakcji rezonansowych są w tym przypadku nazywane relacjami Manleya-Rowe'a ; niezmienniki, które opisują, można łatwo odnieść do niezmienników modułowych i ${\ displaystyle g_ {2}}$${\ displaystyle g_ {3}.}$ To, że się pojawiają, być może nie jest do końca zaskakujące, ponieważ istnieje prosty intuicyjny argument. Odejmując jeden wektor falowy od pozostałych dwóch, otrzymujemy dwa wektory, które generują siatkę okresu . Wszystkie możliwe względne pozycje dwóch wektorów są określone przez niezmiennik Kleina j-invariant , więc należy się spodziewać, że rozwiązania będą się tym charakteryzować.

Znanych jest wiele dokładnych rozwiązań dla różnych warunków brzegowych. Niedawno podano „niemal ogólne rozwiązanie” pełnego nieliniowego PDE dla równania trójfalowego. Jest ona wyrażona za pomocą pięciu dowolnie wybranych funkcji oraz szeregu Laurenta dla szóstego parametru.

Aplikacje

Niektóre wybrane zastosowania równań trójfalowych obejmują:

• W optyce nieliniowej $( )$ lasery obejmujące szerokie spektrum częstotliwości można tworzyć przez trójfalowe w kwadratowych nieliniowych .
• Powierzchniowe fale akustyczne iw elektronicznych wzmacniaczach parametrycznych .
• Fale głębinowe same w sobie nie oddziałują trójfalowo; można tego jednak uniknąć w wielu scenariuszach:
  • Fale kapilarne w wodach głębokich są opisane równaniem trójfalowym.
  • Fale akustyczne łączą się z falami głębinowymi w interakcji trójfalowej,
  • Fale wirowe łączą się w triadę.
  • Jednolity prąd (z konieczności przestrzennie niejednorodny pod względem głębokości) ma interakcje triadowe.

Wszystkie te przypadki są naturalnie opisane równaniem trójfalowym.

• W fizyce plazmy równanie trójfalowe opisuje sprzężenie w plazmie.