Rezonansowa interakcja

W układach nieliniowych oddziaływanie rezonansowe to oddziaływanie trzech lub więcej fal , zwykle, choć nie zawsze, o małej amplitudzie. Oddziaływania rezonansowe zachodzą, gdy spełniony jest prosty zestaw kryteriów łączących wektory falowe i równanie dyspersji . Prostota kryteriów sprawia, że ​​technika jest popularna w wielu dziedzinach. Jego najbardziej znane i dobrze rozwinięte formy pojawiają się w badaniu fal grawitacyjnych , ale znajdują także liczne zastosowania, od astrofizyki i biologii po inżynierię i medycynę. Teoretyczna praca nad cząstkowe równania różniczkowe dostarczają wglądu w teorię chaosu ; istnieją ciekawe powiązania z teorią liczb . Interakcje rezonansowe pozwalają falom (elastycznie) rozpraszać się , rozpraszać lub stać się niestabilne . Procesy dyfuzji są odpowiedzialne za ostateczną termalizację większości układów nieliniowych; niestabilności oferują wgląd w wielowymiarowy chaos i turbulencje .

Dyskusja

Podstawowa koncepcja polega na tym, że gdy suma energii i pędu kilku modów wibracyjnych sumuje się do zera, mogą one swobodnie się mieszać ze sobą poprzez nieliniowość w badanym układzie. Mody, w których energia i pęd nie sumują się do zera, nie mogą oddziaływać na siebie, ponieważ oznaczałoby to naruszenie zasady zachowania energii/pędu. $że$ pęd fali jest określony przez jej wektor falowy $a$ jej energia wynika z zależności dyspersji układu.

Na przykład dla trzech fal w ośrodku ciągłym warunek rezonansowy jest tradycyjnie zapisywany jako wymaganie, że ${\ displaystyle k_ {1} \ pm k_ {2} \ pm k_ {3} = 0 }$ i także ${\ Displaystyle \ omega _ {1} \ pm \ omega _ {2} \ pm \ omega _ {3} = 0}$ , przy czym znak minus jest brany w zależności od sposobu redystrybucji energii pomiędzy falami. W przypadku fal w ośrodkach dyskretnych, na przykład w symulacjach komputerowych na siatce lub w (nieliniowych) układach półprzewodnikowych , wektory falowe są kwantowane, a mody normalne można nazwać fononami . Strefa Brillouina definiuje górną granicę wektora falowego, a fale mogą oddziaływać na siebie, gdy sumują się do całkowitych wielokrotności wektorów Brillouina ( rozpraszanie Umklappa ).

Chociaż układy trójfalowe zapewniają najprostszą formę oddziaływań rezonansowych w falach, nie we wszystkich układach występują oddziaływania trójfalowe. Na przykład równanie fal głębinowych, czyli układ ośrodków ciągłych, nie uwzględnia interakcji trójfalowej. Fermiego – Pasty – Ulama – Tsingou , system z mediami dyskretnymi, nie ma interakcji trójfalowej. Występuje czterofalowa interakcja, ale to nie wystarczy do termalizacji systemu; wymaga to interakcji sześciofalowej. W rezultacie ostateczny czas termalizacji jest równy odwrotności ósmej potęgi sprzężenia - oczywiście jest to bardzo długi czas w przypadku słabego sprzężenia - umożliwiając w ten sposób dominację słynnych powtórzeń FPUT w „normalnych” skalach czasu.

Sformułowanie Hamiltona

W wielu przypadkach badany system można łatwo wyrazić w formalizmie Hamiltona . Gdy jest to możliwe, można zastosować zestaw manipulacji w postaci uogólnionej, nieliniowej transformaty Fouriera . Manipulacje te są ściśle powiązane z metodą odwrotnego rozpraszania .

Szczególnie prosty przykład można znaleźć w leczeniu fal głębinowych. $sformułowanego$ w postaci współrzędnych . Aby $uniknąć nieporozumień w$ napisz dla tych dwóch mają one być zmiennymi sprzężonymi spełniającymi równanie Hamiltona. Należy je rozumieć jako funkcje współrzędnych przestrzeni konfiguracyjnej. ${\ displaystyle {\ vec {x}}, t}$ , czyli funkcje przestrzeni i czasu. Korzystając z transformaty Fouriera , napisz

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ psi}} ({\ vec {k}}) = \ int e ^ {- i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\;\psi ({\vec {x}})\;dx}$

i podobnie dla ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ phi}} ({\ vec {k}})$ } Tutaj jest wektorem falowym $vec {k}}} Kiedy$ \ $dyspersji$ „na powłoce”, jest to powiązane z częstotliwością kątową poprzez relację . Operatorzy drabiny postępują w sposób kanoniczny:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ phi}} ({\ vec {k}}) = {\ sqrt {2f (\ omega )}}\;\;\left(a_{k}+a_{-k}^{*}\right)}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ psi}} ({\ vec {k}}) = - ja {\ sqrt {\ Frac {2} {f (\ omega)}}} \; \; \ lewo (a_ { k}-a_{-k}^{*}\right)}$

z $_$ _ Odpowiadają normalnym $_$ _ _ Hamiltonian (energię) można teraz zapisać w kategoriach operatorów podnoszenia i opuszczania (czasami nazywanych „ zmiennymi gęstości działania ”) jako

${\ Displaystyle H = H_ {0} (a, a ^ {*}) + \ epsilon H_ {1} (a, a ^ { *})}$

$^ {*})}$ pierwszy wyraz jest kwadratowy w reprezentuje $H_ {0} (a,$$postaci$ gdy nieliniowości są uchwycone wyższego

Biorąc powyższe za punkt wyjścia, system jest następnie rozkładany na tryby „wolny” i „związany”. Mody związane nie mają własnej niezależnej dynamiki; na przykład wyższe harmoniczne solitonu są powiązane z modą podstawową i nie mogą oddziaływać. Można to rozpoznać po tym, że nie podlegają one relacji dyspersji i nie wchodzą w interakcje rezonansowe. W tym przypadku przekształcenia kanoniczne , których celem jest wyeliminowanie terminów nie oddziałujących na siebie, pozostawiając swobodne tryby. Oznacza to, że pisze się ponownie ${\ Displaystyle a \ do a ^ {\ prime} = a + {\ mathcal {O}} (\ epsilon)}$$i$ dla i systemu w zakresie tych nowych, „darmowych” (a przynajmniej bardziej swobodnych) trybów. Prawidłowo wykonane, pozostawia to $pomocą terminów$ które rezonansowo oddziałują. Jeśli $jest$ , są to wówczas trójfalowe ; jeśli kwartalny, są to terminy czterofalowe i tak dalej. Przekształcenia kanoniczne można powtarzać w celu otrzymania wyrazów wyższego rzędu, o ile nie zostaną uszkodzone oddziaływania rezonansowe niższego rzędu i umiejętnie uniknie się problemu małego dzielnika , który pojawia się, gdy występują bliskie rezonanse. Same terminy określają szybkość lub prędkość mieszania i są czasami nazywane współczynnikami przenoszenia lub macierzą przenoszenia . Na zakończenie otrzymujemy równanie ewolucji modów normalnych w czasie, skorygowane składnikami rozpraszającymi. Wybierając jeden z trybów z całej gamy, nazwij go $poniżej ewolucja w$ ma postać rodzajową

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe a_ { 1}}{\partial t}}+i\omega _{1}=-i\int dk_{2}\cdots dk_{n}\;T_{1\cdots n}\;a_{2}^{\ pm }\cdots a_{n}^{\pm }\;\delta _{1\pm 2\pm \cdots \pm n}}$

ze ${\ Displaystyle \ delta _ {1 \ pm 2 \ pm \ cdots \ pm n} = \ delta (k_ {1} \ pm k_ {2} \ pm \ cdots \ pm k_ {n})}$ przenoszenia n $-falowej$ i uchwycenie pojęcia zachowania energii/pędu implikowanego przez oddziaływanie rezonansowe. Tutaj odpowiednio albo ${\ displaystyle a},$$albo za$ { $^ {*}}$ W przypadku fal głębinowych powyższe nazywa się równaniem Zacharowa , nazwanym na cześć Władimira E. Zacharowa .

Historia

Oddziaływania rezonansowe zostały po raz pierwszy rozważone i opisane przez Henri Poincaré w XIX wieku podczas analizy szeregów zaburzeń opisujących ruch planet 3 ciał . Wyrazy pierwszego rzędu w szeregu perturbacyjnym można rozumieć jako macierz ; wartości własne macierzy odpowiadają modom podstawowym w zaburzonym rozwiązaniu. Poincare zauważył, że w wielu przypadkach istnieją całkowite liniowe kombinacje wartości własnych, których suma wynosi zero; jest to pierwotna interakcja rezonansowa . W rezonansie transfer energii między modami może utrzymać system w stabilnym synchronizacji fazowej . Jednak przejście do drugiego rzędu jest wyzwaniem z kilku powodów. Jednym z nich jest to, że zdegenerowane rozwiązania są trudne do diagonalizacji (nie ma unikalnej bazy wektorowej dla zdegenerowanej przestrzeni). Drugą kwestią jest to, że różnice pojawiają się w mianowniku wyrazów drugiego i wyższego rzędu w szeregu zaburzeń; małe różnice prowadzą do słynnego problemu małego dzielnika . Można je interpretować jako odpowiadające zachowaniom chaotycznym. Krótko mówiąc, precyzyjne rezonanse prowadzą do rozpraszania i mieszania; przybliżone rezonanse prowadzą do chaotycznego zachowania.

Aplikacje

Interakcje rezonansowe znalazły szerokie zastosowanie w wielu obszarach. Poniżej znajduje się wybrana lista niektórych z nich, wskazująca szeroką gamę dziedzin, w których pomysły zostały zastosowane.

• W głębokiej wodzie nie ma interakcji trójfalowych pomiędzy powierzchniowymi falami grawitacyjnymi ; kształt relacji dyspersji zabrania tego. Istnieje jednak interakcja czterofalowa; bardzo dobrze opisuje zaobserwowane eksperymentalnie oddziaływanie fal poruszających się ukośnie ( tzn. bez dowolnych parametrów i dostosowań). Formalizm Hamiltona dla fal głębinowych został podany przez Zacharowa w 1968 roku
• Fale dzikie to niezwykle duże i nieoczekiwane oceaniczne fale powierzchniowe; w grę wchodzą solitony , a konkretnie interakcje rezonansowe między trzema z nich.
• Fale Rossby'ego , znane również jako fale planetarne, opisują zarówno prąd strumieniowy , jak i fale oceaniczne, które poruszają się wzdłuż termokliny . Istnieją trójfalowe oddziaływania rezonansowe fal Rossby'ego, dlatego są one powszechnie badane jako takie.
• Zaobserwowano, że rezonansowe oddziaływania fal Rossby'ego mają związek z równaniami diofantyny , zwykle uważanymi za temat teorii liczb.
• Zaobserwowano, że latem w płytkich wodach przybrzeżnych fale dźwiękowe o niskiej częstotliwości rozprzestrzeniają się w nietypowy sposób. Anomalie są zależne od czasu, anizotropowe i mogą wykazywać nienormalnie duże tłumienie . Jako źródło tych anomalii zaproponowano interakcję rezonansową między falami akustycznymi a falami wewnętrznymi solitonu .
• W astrofizyce zaproponowano nieliniowe oddziaływania rezonansowe pomiędzy wypaczeniem a oscylacjami w relatywistycznie wirującym dysku akrecyjnym wokół czarnej dziury jako źródło obserwowanych kilohercowych quasi-okresowych oscylacji w układach podwójnych rentgenowskich o małej masie . Nieliniowość zapewniająca sprzężenie wynika z ogólnej teorii względności; dyski akrecyjne w grawitacji Newtona, np. pierścienie Saturna, nie wykazują tego szczególnego rodzaju interakcji rezonansowych (wykazują jednak wiele innych rodzajów rezonansów).
• Podczas wejścia statku kosmicznego w atmosferę , duża prędkość statku kosmicznego podgrzewa powietrze do rozżarzonej do czerwoności plazmy . Plazma ta jest nieprzepuszczalna dla fal radiowych, co prowadzi do przerwy w komunikacji radiowej. Zbadano interakcje rezonansowe, które mechanicznie (akustycznie) łączą statek kosmiczny z plazmą, jako sposób na wybicie dziury lub tunelowanie fali radiowej, a tym samym przywrócenie komunikacji radiowej w krytycznej fazie lotu.
• Zaproponowano interakcje rezonansowe jako sposób na połączenie wysokiej rozdzielczości przestrzennej mikroskopów elektronowych z wysoką rozdzielczością czasową laserów , umożliwiając precyzyjną mikroskopię zarówno w przestrzeni, jak i w czasie. Oddziaływanie rezonansowe zachodzi pomiędzy wolnymi elektronami i związanymi elektronami na powierzchni materiału.
• Naładowane cząstki można przyspieszać poprzez rezonansowe oddziaływanie z falami elektromagnetycznymi. Cząstki skalarne (atomy neutralne) opisane równaniem Kleina-Gordona mogą być przyspieszane przez fale grawitacyjne ( np . te emitowane w wyniku łączenia się czarnych dziur).
• Fizyczne podstawy bioaktywności makromolekularnej — rozpoznawanie molekularne — interakcja białko -białko i białko- DNA , są słabo poznane. Wiadomo, że takie interakcje mają charakter elektromagnetyczny (oczywiście jest to „chemia”), ale poza tym są słabo poznane (nie są to „tylko wiązania wodorowe ”). Model rozpoznawania rezonansowego (RRM) opisuje takie wiązanie molekularne w kategoriach oddziaływań rezonansowych. W przypadku białka elektrony walencyjne różnych aminokwasów ulegają delokalizacji i mają pewną swobodę ruchu w obrębie białka. Ich zachowanie można modelować w stosunkowo prosty sposób za pomocą pseudopotencjału elektronowo-jonowego (EIIP), po jednym dla każdego odrębnego aminokwasu lub nukleotydu . W wyniku modelowania uzyskuje się widma , do których można uzyskać dostęp doświadczalny, potwierdzając tym samym wyniki numeryczne. Dodatkowo model zapewnia niezbędną zależność dyspersji , z której można wywnioskować oddziaływania rezonansowe. Oddziaływania rezonansowe uzyskuje się poprzez obliczenie widm krzyżowych . Ponieważ interakcje rezonansowe mieszają stany (a tym samym zmieniają entropia ), rozpoznawanie może przebiegać poprzez siły entropiczne .
• Jako metodę leczenia raka zaproponowano interakcję rezonansową między polami elektromagnetycznymi o wysokiej częstotliwości a komórkami nowotworowymi .

Zobacz też

• Równanie trójfalowe
• Metoda rozpraszania odwrotnego
• Matryca S
• Rezonans orbitalny
• Rezonans nieliniowy
• Rezonans pływowy
• Język Arnolda