Radiodrom

W geometrii radiodrom to krzywa pogoni , po której następuje punkt, który podąża za innym poruszającym się liniowo punktem . Termin pochodzi od greckich słów ῥᾴδιος , rhā́idios , „łatwiej” i δρόμος , dromos , 'działanie'. Klasyczna (i najbardziej znana) forma radiodromu znana jest jako „krzywa psa”; jest to ścieżka, którą podąża pies, gdy przepływa przez strumień z prądem, podążając za czymś, co zauważył po drugiej stronie. Ponieważ pies płynie z prądem, będzie musiał zmienić kurs; będzie musiał także przepłynąć dalej, niż gdyby obrał optymalny kurs. Sprawę tę opisał Pierre Bouguer w 1732 r.

Radiodrom można alternatywnie opisać jako ścieżkę, którą podąża pies goniąc zająca, przy założeniu, że zając biegnie po linii prostej ze stałą prędkością.

Ścieżka psa goniącego zająca biegnącego po pionowej linii prostej ze stałą prędkością. Pies biegnie w kierunku chwilowej pozycji zająca i będzie ciągle zmieniał swój kurs.

Analiza matematyczna

Wprowadź układ współrzędnych, którego początek znajduje się w pozycji psa w chwili zero i z osią y w kierunku, w którym zając biegnie ze stałą prędkością V _t . Pozycja zająca w chwili zero wynosi ( A _x , A _y ) przy A _x > 0 , a w chwili t jest

${\ Displaystyle (T_ {x} \, \ T_ {y}) \ =\ (A_ {x} \, \ A_ {y} + V_ {t} t) ~.}$

 

 

 

 

()

Pies biegnie ze stałą prędkością Vd w kierunku chwilowego _położenia zająca.

Równanie różniczkowe odpowiadające ruchowi psa ( x ( t ), y ( t )) ma postać

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = V_ {d} \ {\ Frac {T_ {x} -x }{\sqrt {(T_{x}-x)^{2}+(T_{y}-y)^{2}}}}}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle {\ kropka {y}} = V_ {d} \ {\ Frac {T_ {y} -y} {\ sqrt {(T_ {x} -x) ^ {2} + (T_ {y} - y)^{2}}}}~.}$

 

 

 

 

()

Możliwe jest otrzymanie zamkniętego wyrażenia analitycznego y = f ( x ) dla ruchu psa. Z ( 2 ) i ( 3 ) wynika, że

${\ Displaystyle y' (x) = {\ Frac {T_ {y} -y} {T_ {x} -x}}$ }

 

 

 

 

()

Mnożąc obie strony przez i biorąc pochodną względem x , korzystając z tego ${\ displaystyle T_ {x} -x}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dT_ {y}} {dx}} \ = \ {\ Frac {dT_ {y}} {dt}}\ {\frac {dt}}} }+1}}~,}$

 

 

 

 

()

jeden dostaje

${\ Displaystyle y'' = {\ Frac {V_ {t} \ {\ sqrt {1+ {y'} ^ {2}}} }{V_{d}(A_{x}-x)}}}$

 

 

 

 

()

Lub

${\ Displaystyle {\ Frac {y''} {\ sqrt {1+ {y'} ^ {2}}}} = {\ Frac {V_ {t}} V_ {d} (A_ {x} -x )}}~.}$

 

 

 

 

()

Z tej zależności wynika, że

${\ Displaystyle \ sinh ^ {-1} (y') = B- {\ Frac {V_ {t}} {V_{d}}}\ \ln(A_{x}-x)~,}$

 

 

 

 

()

gdzie B jest stałą całkowania określoną przez wartość początkową y ' w czasie zero, y' (0)= sinh( B - ( V _t /V _d ) ln A _x ) , tj.

${\ Displaystyle B = {\ Frac {V_ {t}} V_ {d}}} \ \ ln (A_ {x}) + \ ln \ lewo (y' (0) + {\ sqrt {{y' ( 0)}^{2}+1}}\prawo).}$

 

 

 

 

()

Z ( 8 ) i ( 9 ) po pewnych obliczeniach wynika, że

${\ Displaystyle y' = {\ Frac {1} {2}} \ lewo [\ lewo (y' (0) + {\ sqrt {{y' (0)} ^ {2} + 1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}+\left (y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right) ^{\frac {V_{t}}{V_{d}}}\right]}$ .

 

 

 

 

()

Ponadto, ponieważ y (0)=0 , z ( 1 ) i ( 4 ) wynika, że

${\ Displaystyle y' (0) = {\ Frac {A_ {y}} A_ {x}}}$ }

 

 

 

 

()

Jeśli teraz V _t ≠ V _d , relacja ( 10 ) całkuje do

${\ Displaystyle y = C- {\ Frac {A_ {x}} {2}} \ lewo [{\ frac {\ lewo (y' (0) + {\ sqrt {{y' (0)} ^ {2} +1}} \ prawo) \ lewo (1- {\ Frac {x} {A_ {x}}} \right)^{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}+{\frac {\ lewo (y' (0) - {\ sqrt {{y' (0)} ^ {2} +1}} \ prawo) \ lewo (1- {\ Frac {x} {A_ {x}}} \right)^{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\right], }$

 

 

 

 

()

gdzie C jest stałą całkowania. Ponieważ znowu y (0) = 0 , tak jest

${\ Displaystyle C = {\ Frac {A_ {x}} {2}} \ lewo [{\ Frac {y' (0) + {\ sqrt {{y' (0)} ^ {2} + 1}} } }}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\right]}$ .

 

 

 

 

()

Równania ( 11 ), ( 12 ) i ( 13 ) łącznie implikują

${\ Displaystyle y = {\ Frac {1} {2}} \ lewo \ {{\ Frac {A_ {y} + {\ sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\left[1-\left (1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}\right]+{\frac {A_{ y}-{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\lewo [1-\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}\right]\right \}}$ .

 

 

 

 

()

Jeśli V _t = V _d , relacja ( 10 ) daje zamiast tego

${\ Displaystyle y = C- {\ Frac {A_ {x}} {2}} \ lewo [\ lewo (y' (0) + {\ sqrt {{y' (0)} ^ {2 }+1}}\right)\ln \left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(y'(0) -{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{2}\right ]}$ .

 

 

 

 

()

Korzystając ponownie z y (0) = 0 , wynika to z tego

${\ Displaystyle C = {\ Frac {A_ {x}} {4}} \ lewo (y' (0) - {\ sqrt {{y' (0)} ^ {2} + 1}} \ prawo). }$

 

 

 

 

()

Równania ( 11 ), ( 15 ) i ( 16 ) łącznie implikują, że

${\ Displaystyle y = {\ Frac {1} {4}} \ lewo (A_ {y} - {\ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}} \ prawo) \ lewy[1-\lewy(1-{\frac {x}{A_{x}}}\prawy)^{2}\prawy]-{\frac {1}{2}}\lewy(A_{y} +{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}\right)\ln \left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right) }$ .

 

 

 

 

()

Jeśli V _t < V _{d , z (} 14 ) wynika, że

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do A_ {x}} y (x) = {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {A_ {y} + {\ sqrt {A_ {x} ^{2}+A_{y}^{2}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}+{\frac {A_{y}-{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\right).}$

 

 

 

 

()

Jeśli V _t ≥ V _re , mamy z ( 14 ) i ( 17 ) tego ${\ displaystyle \ lim _ {x \ do A_ {x}} y (x) = \ infty }$ , co oznacza, że ​​zając nigdy nie zostanie złapany, gdy tylko rozpocznie się pościg.

Zobacz też

• Problem z myszami

•   Nahin, Paul J. (2012), Pościgi i ucieczki: matematyka pościgu i unikania , Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12514-5 .
• Gomes Teixera, Francisco (1909), Imprensa da universidade (red.), Traité des Courbes Spéciales Remarquables , tom. 2, Coimbra, s. 2. 255