Ranga Tsena

W matematyce ranga Tsena pola opisuje warunki , w których układ równań wielomianowych musi mieć rozwiązanie w polu . Koncepcja została nazwana na cześć CC Tsena , który przedstawił swoje badania w 1936 roku.

Rozważamy układ m równań wielomianowych w n zmiennych nad ciałem F . Załóżmy, że wszystkie równania mają stały wyraz zero, więc (0, 0, ..., 0) jest wspólnym rozwiązaniem. Mówimy, że F jest ciałem T _i , jeśli każdy taki układ o stopniach d ₁ , ..., d m _ma wspólne niezerowe rozwiązanie, gdy

${\ Displaystyle n> d_ {1} ^ {i} + \ cdots + d_ {m} ^ {i}. \,}$

Ranga Tsena F jest najmniejszym i takim, że F jest polem _Ti . Mówimy, że ranga Tsen funkcji F jest nieskończona, jeśli nie jest ona ciałem T _i dla dowolnego i (na przykład, jeśli jest formalnie rzeczywista ).

Nieruchomości

• Ciało ma rangę Tsen zero wtedy i tylko wtedy, gdy jest algebraicznie domknięte .
• Pole skończone ma rangę Tsena 1: to jest twierdzenie Chevalleya-Warninga .
• Jeśli F jest algebraicznie domknięta, to ciało funkcji wymiernej F ( X ) ma rangę Tsen 1.
• Jeśli F ma rangę Tsen i , to pole funkcji wymiernej F ( X ) ma rangę Tsen co najwyżej i + 1.
• Jeśli F ma rangę Tsen i , to algebraiczne rozszerzenie F ma co najwyżej rangę Tsen i .
• Jeśli F ma rangę Tsen i , to rozszerzenie F stopnia transcendencji k ma co najwyżej rangę Tsen i + k .
• Istnieją pola o randze Tsen i dla każdej liczby całkowitej i ≥ 0.

Formularz normowy

Definiujemy postać normy poziomu i na polu F jako jednorodny wielomian stopnia d w n = d ⁱ zmiennych tylko z trywialnym zerem nad F (wykluczamy przypadek n = d = 1). Istnienie formy normy na poziomie i na F implikuje, że F jest rangi Tsen co najmniej i − 1. Jeśli E jest przedłużeniem F skończonego stopnia n > 1, to postać normy ciała dla E / F jest formą normy poziomu 1. Jeśli F dopuszcza postać normy poziomu i , to pole funkcji wymiernej F ( X ) dopuszcza postać normy poziomu i + 1. Pozwala to nam wykazać istnienie pól o dowolnej randze Tsen.

wymiar diofantyczny

Wymiar diofantyczny pola jest najmniejszą liczbą naturalną k , jeśli istnieje, taką, że pole jest klasy C _k : to znaczy takie, że dowolny jednorodny wielomian stopnia d w N zmiennych ma nietrywialne zero, gdy N > dk . ^_ Pola algebraicznie zamknięte mają wymiar diofantyczny 0; quasi-algebraicznie domknięte pola o wymiarze 1.

₀₀ Oczywiście, jeśli ciałem jest T _i, to jest to Ci _, a T i C są równoważne, a każde z nich jest równoważne domknięciu algebraicznemu. Nie wiadomo, czy ranga Tsen i wymiar diofantyczny są ogólnie równe.

Zobacz też

• Twierdzenie Tsena

•   Tsen, C. (1936). "Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper". J. chińska matematyka. soc . 171 : 81–92. Zbl 0015.38803 .
•   Lorenz, Falko (2008). Algebra. Tom II: Pola ze strukturą, algebrami i tematami zaawansowanymi . Skoczek. ISBN 978-0-387-72487-4 .