Ranga rzeczywista (C*-algebry)

W matematyce rzeczywisty rząd C * -algebry jest nieprzemiennym odpowiednikiem wymiaru Lebesgue'a . Pojęcie to zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Lawrence'a G. Browna i Gerta K. Pedersena.

Definicja

₀₀ Rzeczywisty rząd jednostkowej C*-algebry A jest najmniejszą nieujemną liczbą całkowitą n , oznaczoną jako RR( A ), taką, że dla każdej ( n + 1)-krotki ( x , x ₁ , ... , x _n ) z samosprzężonych elementów A i każdego ε > 0 istnieje ( n + 1)-krotka ( y , y ₁ , ... , y _n ) samosprzężonych elementów A takie, że ${\ Displaystyle \ lVert \ suma _ {i = 0} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2} \ rVert <\ varepsilon}$ i ‖ $\ suma _ {i = 0}$ { . Jeśli taka liczba całkowita nie istnieje, to rzeczywisty rząd A jest nieskończony. Rzeczywisty rząd niejednostkowej C*-algebry jest zdefiniowany jako rzeczywisty stopień jej unitalizacji.

Porównania z wymiarem

₀ Jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa , to RR( C ( X )) = dim ( X ), gdzie dim jest wymiarem pokrywającym Lebesgue'a dla X . W rezultacie ranga rzeczywista jest uważana za nieprzemienne uogólnienie wymiaru, ale ranga rzeczywista może być raczej inna w porównaniu z wymiarem. Na przykład większość nieprzemiennych torusów ma rzeczywistą rangę zero, mimo że jest nieprzemienną wersją dwuwymiarowego torusa . Dla lokalnie zwartych przestrzeni Hausdorffa, które są zerowymiarowe jest równoznaczne z całkowitym odłączeniem . Analogiczna zależność zawodzi w przypadku algebr C*; podczas gdy AF-algebry mają rzeczywistą rangę zero, odwrotność jest fałszywa. Wzory, które dotyczą wymiaru, mogą nie uogólniać na rzeczywistą rangę. Na przykład Brown i Pedersen przypuszczali, że RR( A ⊗ B ) ≤ RR( A ) + RR( B ), ponieważ prawdą jest, że dim( X × Y ) ≤ dim( X ) + dim( Y ). Udowodnili szczególny przypadek, że jeśli A jest AF i B ma rzeczywistą rangę zero, to A ⊗ B ma rzeczywistą rangę zero. Ale generalnie ich hipoteza jest fałszywa, istnieją C*-algebry A i B z rzeczywistą rangą zerową taką, że A ⊗ B ma rzeczywistą rangę większą od zera.

Prawdziwa ranga zerowa

Szczególnie interesujące są C*-algebry z rzeczywistym stopniem zerowym. Z definicji, jednostkowa C*-algebra ma rzeczywisty rząd zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy odwracalne samosprzężone elementy A są gęste w samosprzężonych elementach A . Ten warunek jest równoważny wcześniej badanym warunkom:

(FS) Samosprzężone elementy A o skończonym widmie są gęste w samosprzężonych elementach A .
(HP) Każda dziedziczna C*-podalgebra A ma przybliżoną tożsamość składającą się z rzutów .

Ta równoważność może być wykorzystana do podania wielu przykładów algebr C* z rzeczywistym stopniem zerowym, w tym algebr AW* , algebr Bunce’a – Deddensa i algebr von Neumanna . Mówiąc szerzej, proste jednostkowe, czysto nieskończone algebry C * mają rzeczywistą rangę zero, w tym algebry Cuntza i algebry Cuntza-Kriegera. Ponieważ proste C*-algebry grafowe są albo AF, albo czysto nieskończone, każda prosta C*-algebra grafowa ma rzeczywisty rząd zerowy.

Posiadanie rangi rzeczywistej zero jest własnością zamkniętą przy przyjmowaniu bezpośrednich granic , dziedzicznych C*-subalgebr i silnej ekwiwalencji Mority . W szczególności, jeśli A ma rzeczywistą rangę zero, to M _n ( A ), algebra macierzy n × n nad A , ma rzeczywistą rangę zero dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1.