Rama (algebra liniowa)

W algebrze liniowej układ wewnętrznej przestrzeni iloczynu jest uogólnieniem bazy przestrzeni wektorowej na zbiory, które mogą być liniowo zależne . W terminologii przetwarzania sygnałów ramka zapewnia redundantny, stabilny sposób reprezentacji sygnału . Ramki są używane do wykrywania i korygowania błędów oraz projektowania i analizy banków filtrów , a bardziej ogólnie w matematyce stosowanej , informatyce i inżynieria .

Definicja i motywacja

Motywujący przykład: obliczanie bazy ze zbioru liniowo zależnego

$, że$ $Displaystyle \ mathbf { v} \ w V}$ zbiór wektorów w przestrzeni wektorowej V i wyrazić dowolny element jako liniowa kombinacja wektorów $,$ to znaczy chcemy znaleźć współczynniki $k}}$ ${\ displaystyle c_$ takie, że

\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ suma _ {k} c_ {k} \ mathbf {e} _ {k}}

Jeśli zbiór nie obejmuje ${\ Displaystyle V}$ $,$ to takie współczynniki nie istnieją dla każdego takiego ${ v} }$ . Jeśli rozciąga się na V $Displaystyle V}$ \ $i$ jest również , ten zestaw stanowi podstawę i ${\ Displaystyle V}$ współczynniki ${\ displaystyle c_ {k}}$ są jednoznacznie określone przez ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ . Jeśli jednak rozciąga się ${ \ mathbf {e} _ {k$ ale nie jest liniowo niezależny, pytanie, jak określić współczynniki, staje się mniej oczywiste, { mi k } { $\}}$ w szczególności, jeśli $.$ nieskończony wymiar

Biorąc pod uwagę, że $on$ się i jest liniowo zależny, jedną ze strategii jest usuwanie wektorów ze zbioru, aż $się$ stanowi podstawę. Z tym planem są pewne problemy:

Usunięcie dowolnych wektorów ze zbioru może spowodować, że nie będzie on w stanie rozciągnąć się, $zanim$ się liniowo niezależny.
Nawet jeśli możliwe jest wymyślenie określonego sposobu usuwania wektorów ze zbioru, dopóki nie stanie się on bazą, podejście to może stać się niewykonalne w praktyce, jeśli zbiór jest duży lub nieskończony.
W niektórych aplikacjach korzystne może być użycie większej liczby wektorów niż jest to konieczne $przedstawienia$ . Oznacza to $k} \}}$ że chcemy znaleźć współczynniki $} {\ Displaystyle \ {\ mathbf {e} _$ usuwania elementów w . Współczynniki nie będą już jednoznacznie określane przez $}$ $displaystyle \ mathbf {v}$ . Dlatego wektor ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $można$ jako kombinację liniową jeden sposób

Definicja formalna

Niech V będzie wewnętrzną przestrzenią iloczynu i ${e} _ {k} \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ \ Displaystyle \ {\ ${\ displaystyle V}$ . Wektory $te$ spełniają ramki jeśli istnieją dodatnie liczby rzeczywiste B takie , że dla ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ w V ,

{\ Displaystyle A \ lewo \|\ mathbf {v} \ prawo \ | ^ {2} \ równoważnik \ suma _ {k \ in \ mathbb {N}} \ lewo | \ langle \ mathbf {v} \ mathbf { e} _{k}\rangle \right|^{2}\równoważnik B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}

Zbiór wektorów, który spełnia warunek ramki, jest ramą dla przestrzeni wektorowej.

Liczby A i B nazywane są odpowiednio dolną i górną granicą ramy . Granice ramek nie są unikalne, ponieważ liczby mniejsze niż A i większe niż B są również prawidłowymi granicami ramek. Optymalna dolna granica to górna granica wszystkich dolnych granic, a optymalna górna granica to dolna granica wszystkich górnych granic.

Ramkę nazywamy przepełnioną (lub redundantną ), jeśli nie jest ona bazą dla przestrzeni wektorowej.

Operator analizy

Odwzorowanie operatora $_$ sekwencję współczynników nazywa się $_$ _ Jest to określone przez:

{\ Displaystyle \ mathbf {T}: V \ do \ ell ^ {2}, \ quad \ mathbf { v} \mapsto \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N}},\quad c_{k}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle }

Korzystając z tej definicji, możemy przepisać warunek ramki jako

{\ Displaystyle A \ lewo \ | \ mathbf {v} \ prawo \ | ^ {2} \ równoważnik \ lewo \ | \ mathbf {T} \ mathbf {v} \right\|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}}

$a$ $norma$ oznaczają normę, środkowa norma normą

Operator syntezy

Operator sprzężony operatora analizy nazywany $jest$ operatorem .

{\ Displaystyle \ mathbf {T} ^ {*}: \ ell ^ {2} \ do V \ quad \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\mapsto \mathbf {v} ,\quad \mathbf {v} =\suma _{k}c_{k}\mathbf {e } _{k}}

Motywacja dla dolnej granicy ramki

Chcemy, aby dowolny wektor ${\ Displaystyle \ {\ langle v, \ mathbf {e} _$ zrekonstruować ze współczynników ${$ . $Displaystyle$ , jeśli istnieje taka stała, dla wszystkich ZA $A> 0 }$

{\ Displaystyle A \ | xy \| ^ {2} \ równoważnik \| Tx-Ty \ | ^ {2}}

Ustawiając i stosując liniowość operatora analizy, otrzymujemy, że warunek ten jest równoważny: ${\ displaystyle v = xy}$

{\ Displaystyle A \ | v \| ^ {2} \ równoważnik \| TV \ | ^ {2}}

dla wszystkich $.$ dokładnie dolnym warunkiem ograniczenia ramki

Historia

Ze względu na różne składniki matematyczne otaczające ramy, teoria ram ma swoje korzenie w analizie harmonicznej i funkcjonalnej , teorii operatorów , algebrze liniowej i teorii macierzy .

Transformata Fouriera była używana od ponad wieku jako sposób rozkładania i rozszerzania sygnałów. Jednak transformata Fouriera maskuje kluczowe informacje dotyczące momentu emisji i czasu trwania sygnału. W 1946 roku Dennis Gabor był w stanie rozwiązać ten problem za pomocą techniki, która jednocześnie zredukowała szumy, zapewniła odporność i stworzyła kwantyzację , jednocześnie obejmując ważne cechy sygnału. Odkrycie to było pierwszym wspólnym wysiłkiem w kierunku teorii ram.

Warunek ramy został po raz pierwszy opisany przez Richarda Duffina i Alberta Charlesa Schaeffera w artykule z 1952 roku na temat nieharmonicznych szeregów Fouriera jako sposób obliczania współczynników w liniowej kombinacji wektorów liniowo zależnego zbioru rozpinającego (w ich terminologii „przestrzeń Hilberta rama"). W latach 80. Stéphane Mallat , Ingrid Daubechies i Yves Meyer używali ramek do analizy falek . Obecnie ramki kojarzone są z falkami, przetwarzaniem sygnału i obrazu i kompresji danych .

Stosunek do baz

Ramka spełnia uogólnienie tożsamości Parsevala , a mianowicie warunek ramki, przy jednoczesnym zachowaniu normowej równoważności między sygnałem a jego sekwencją współczynników.

Jeśli zbiór $_$ ramką V . _ W przeciwnym razie istniałby co najmniej jeden niezerowy, $Displaystyle$ byłby ortogonalny do wszystkich. $\ mathbf {e} _ {k}}$ . Jeśli wstawimy $ramki$ otrzymamy

{\ Displaystyle A \ lewo \|\ mathbf {v} \ prawo \|^ {2} \ równoważnik 0 \ równoważnik B \ lewo \|\ mathbf {v} \ prawo \ | ^ {2};}

zatem , $.$ jest naruszeniem początkowych założeń dotyczących dolnej granicy

Jeżeli zbiór wektorów rozciąga się na V , nie jest to warunek wystarczający do nazwania tego zbioru ramką. $Displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {k }\}}$ przykład rozważmy $}$ i nieskończonym zbiorem mi podane przez

{\ Displaystyle \ lewo \ {(1,0), \, (0,1), \, \ lewo (0, {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ prawo), \, \ lewo (0,{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),\dotsc \right\}.}

Ten zbiór obejmuje V , ale ponieważ ${\ Displaystyle \ suma _ {k} \ lewo | \ langle \ mathbf {e} _ {k}, (0,1) \ rangle \ prawo | ^ { 2}=0+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb =\infty }$ , nie możemy wybrać skończonej górnej granicy ramki B . W konsekwencji zbiór ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {k} \}}$ nie jest ramką.

Aplikacje

W przetwarzaniu sygnału każdy wektor jest interpretowany jako sygnał. W tej interpretacji wektor wyrażony jako liniowa kombinacja wektorów ramek jest nadmiarowym . Za pomocą ramki można stworzyć prostszą, bardziej rzadką reprezentację sygnału w porównaniu z rodziną sygnałów elementarnych (to znaczy reprezentacja sygnału ściśle z zestawem liniowo niezależnych wektorów może nie zawsze być najbardziej zwartą formą) . Ramy zapewniają zatem solidność . Ponieważ zapewniają one sposób tworzenia tego samego wektora w przestrzeni, sygnały mogą być kodowane na różne sposoby. To ułatwia odporność na uszkodzenia i odporność na utratę sygnału. Wreszcie, redundancja może być wykorzystana do złagodzenia szumu , co jest istotne dla przywracania, wzmacniania i rekonstrukcji sygnałów.

W przetwarzaniu sygnałów często przyjmuje się, że przestrzeń wektorowa jest przestrzenią Hilberta .

Przypadki specjalne

Ciasne ramy

Rama jest ciasną ramą , jeśli A = B ; innymi słowy, rama spełnia uogólnioną wersję tożsamości Parsevala . Na przykład suma k rozłącznych ortonormalnych baz przestrzeni wektorowej jest ścisłym układem z A = B = k . Ciasna ramka to ramka Parsevala (czasami nazywana ramką znormalizowaną ), jeśli A = B = 1. Każda baza ortonormalna jest ramką Parsevala, ale sytuacja odwrotna nie zawsze jest prawdziwa.

Rama ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {k} \} _ {k \ in \ mathbb {N}}} dla$ V $\ Displaystyle V}$ ciasna z oprawą A wtedy i tylko wtedy gdy

{\ Displaystyle v = {\ Frac {1} {A}} \ suma _ {k} \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {e} _ { k}\rangle \mathbf {e} _{k}}

dla wszystkich ${\ Displaystyle v \ w V}$ .

Równa rama normy

Ramka jest $jednolitą$ klatką normalną (czasami nazywaną lub klatką znormalizowaną , jeśli istnieje stała taka , że dla każdego Układ równych norm jest układem norm jednostkowych , jeśli c = 1. Układ norm jednostkowych Parsevala (lub ścisłych) jest bazą ortonormalną; taka rama spełnia tożsamość Parsevala .

Ramki równoramienne

Rama jest równokątna, jeśli istnieje stała c taka, że ${\ Displaystyle |\ langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle | = c}$ dla każdego odrębnego ja i j .

Dokładne ramy

Rama jest dokładną ramą , jeśli żaden właściwy podzbiór ramki nie obejmuje wewnętrznej przestrzeni produktu. Każda podstawa dla wewnętrznej przestrzeni produktu jest dokładną ramą dla przestrzeni (więc podstawa jest szczególnym przypadkiem ramy).

Uogólnienia

Sekwencja Bessela to zbiór wektorów, który spełnia tylko górną granicę warunku ramki.

Ciągła klatka

Załóżmy, że H jest przestrzenią Hilberta, X lokalnie zwartą przestrzenią , a lokalnie skończoną $miarą$ Borela na X. Wtedy zbiór wektorów w H , $displaystyle \ { f_ {x} \} _ {x \ in X}}$ $z miarą$ mówi , że jest to klatka ciągła , jeśli istnieją stałe, ${\ Displaystyle 0 <A \ równoważnik B}$ takie, że ${\ Displaystyle A || f || ^ {2} \ równoważnik \ int _ {X} | \ langle f, f_ {x} \ rangle | ^ {2} d \ mu (x) \ równoważnik B || f ||^ {2}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle f \ w H.}$ .

Przykład

$Displaystyle$ zbiór dyskretny i miarę $\$ $_ {\ Lambda} }$ Displaystyle jest miarą Diraca , a następnie właściwością ramki ciągłej

{\ Displaystyle A || f || ^ {2} \ równoważnik \ int _ {X} | \ langle f, f_ {x} \ rangle | ^ {2} d \ mu (x) \ równoważnik B || f ||^{2}}

zmniejsza się do

{\ Displaystyle A || f || ^ {2} \ równoważnik \ suma _ {\ lambda \ w \ Lambda} | \ langle f, f _ {\ lambda} \ rangle | ^ {2} \ równoważnik B || f ||^{2}}

.

i widzimy, że układy ciągłe są rzeczywiście naturalnym uogólnieniem układów wspomnianych powyżej.

Podobnie jak w przypadku dyskretnym, możemy zdefiniować analizę, syntezę i operatory ramek, gdy mamy do czynienia z ramkami ciągłymi.

Operator analizy ciągłej

${ f_ {x} \} _ {x \ in X}}$ pod uwagę ramkę ciągłą, $analizy$ jest operator { do sekwencji współczynników ${\ Displaystyle \ langle f, f_ {x} \ rangle _ {x \ in X}}$ .

Jest zdefiniowany w następujący sposób:

{\ Displaystyle T: H \ mapsto L ^ {2} (X, \ mu)}

przez

{\ Displaystyle f \ do \ kąt f,f_{x}\rangle _{x\w X}}

.

Operator syntezy ciągłej

Operatorem sprzężonym operatora analizy ciągłej jest operator syntezy ciągłej , którym jest mapa

{\ Displaystyle T ^ {*}: L ^ {2} (X, \ mu) \ mapsto H}

przez

{\ Displaystyle a_ {x} \ do \ int _ {X} a_ {x} f_ {x} d \ mu (x)}

.

Ciągły operator ramki

Złożenie operatora analizy ciągłej i operatora syntezy ciągłej jest znane jako operator ramki ciągłej . Dla ciągłej klatki jest ona zdefiniowana w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ {f_ {x} \} _ {x \ in X}}$

{\ Displaystyle S: H \ mapsto H}

przez

{\ Displaystyle Sf: = \ int _ {X} \ langle f ,f_{x}\rangle f_{x}d\mu (x)}

.

Ciągła podwójna klatka

Biorąc pod uwagę ciągłą ramkę ${\ Displaystyle \ {f_ {x} \} _ {x \ w X}}$ i kolejną ciągłą klatkę ${\ Displaystyle \ {g_ {x } \} _ {x \ in X}}$ , wtedy mówi się, że ${\ Displaystyle \ {g_ {x} \} _ {x \ in X}}$ jest to ciągła podwójna ramka ${\ Displaystyle \ {f_ {x} \}}$ jeśli spełnia następujący warunek dla wszystkich ${\ displaystyle f, h \ in H}$ :

{\ Displaystyle \ langle f, h \ rangle = \ int _ {X} \ langle f, f_ {x} \rangle \langle g_{x},h\rangle d\mu (x)}

.

Podwójne ramki

$ramek$ istnienie zestawu podwójnych wektorów z

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ suma _ {k} \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {\tylda {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tylda {e}} _ {k}}

dla dowolnego ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in V.}$ Oznacza to, że ramka wraz z jej ramką podwójną ma taką samą właściwość jak podstawa i jej podstawa podwójna pod względem rekonstrukcji wektora z iloczynów skalarnych.

Aby skonstruować ramkę podwójną, najpierw potrzebujemy odwzorowania liniowego zwanego operatorem ramki , zdefiniowanym jako ${\ Displaystyle \ mathbf {S}: V \ rightarrow V}$

{\ Displaystyle \ mathbf {S} \ mathbf {v} = \ suma _ {k} \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {e} _ {k} \ rangle \ mathbf {e} _ {k} = \ mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} \mathbf {v} .}

Z tej definicji i liniowości w pierwszym argumencie iloczynu wewnętrznego ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$

{\ Displaystyle \ langle \ mathbf {S} \ mathbf {v} \ mathbf {v} \ rangle = \ suma _ {k} \ lewo | \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {e} _ { k}\rangle \right|^{2},}

co po podstawieniu w warunek ramowy daje nierówność

{\ Displaystyle A \ lewo \ | \ mathbf {v} \ prawo \ | ^ {2} \ równoważnik \ langle \ mathbf {S} \ mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \równoważnik B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2},}

dla każdego ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ w V.}$

Operator ramki $.$ samosprzężony , dodatnio określony i ma dodatnie górne i dolne granice Odwrotność istnieje i również jest samosprzężona, dodatnio określona i ma dodatnią górę i dół S $\ Displaystyle \ mathbf {S} ^ {-1$ $}$ miedza.

Podwójna ramka jest definiowana przez odwzorowanie każdego elementu ramki za pomocą ${\ Displaystyle \ mathbf {S} ^ {- 1}}$ :

{\ Displaystyle {\ tylda {\ mathbf {e}}} _ {k} = \ mathbf {S} ^ {- 1} \ mathbf {e} _ {k}}

Aby zobaczyć, że to ma sens, niech $\ mathbf {v}}$ elementem i niech ${\ displaystyle$

{\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ suma _ {k} \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {e} _ {k} \ rangle {\ tylda {\ mathbf {e}}} _ {k}. }

Zatem

{\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ suma _ {k} \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {e} _ {k} \ rangle (\ mathbf {S} ^ {-1} \ mathbf {e} _{k})=\mathbf {S} ^{-1}\left(\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _ {k}\right)=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {v} ,}

co tego dowodzi

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ suma _ {k} \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {e} _ {k} \ rangle {\ tylda {\ mathbf {e}}} _ {k}. }

Ewentualnie możemy pozwolić

{\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ suma _ {k} \ langle \ mathbf {v} {\ tylda {\ mathbf {e}}} _ {k} \ rangle \ mathbf {e} _ {k}. }

Wstawiając powyższą definicję i stosując właściwości i jej odwrotność, ${\ Displaystyle {\ tylda {\ mathbf {e}}} _ {k$ $}$

{\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ suma _ {k} \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {S} ^ {-1} \ mathbf {e} _ {k} \ rangle \ mathbf {e} _ {k}=\suma _{k}\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\ mathbf {S} (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} )=\mathbf {v}}

co na to wskazuje

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ suma _ {k} \ langle \ mathbf {v} {\ tylda {\ mathbf {e}}} _ {k} \ rangle \ mathbf {e} _ {k}. }

Liczby ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {v} {\ tylda {\ mathbf {e}}} _ {k} \ rangle}$ nazywane są współczynnikami ramki . To wyprowadzenie podwójnej ramy jest podsumowaniem sekcji 3 w artykule Duffina i Schaeffera. Używają terminu rama sprzężona dla tego, co tutaj nazywa się ramą podwójną.

Podwójna ramka nazywana jest kanoniczną podwójną ramką { $\$ $} _{k}\}}$ $\ mathbf {$ , ponieważ działa podobnie jak podstawa podwójna do podstawy.

Kiedy ramka jest przepełniona, wektor $e} _ {k} \$ zapisać jako kombinację liniową { ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {k} \}}$ $\ mathbf {$ na więcej niż jeden sposób. istnieją różne wybory współczynników takie $.$ ${\ textstyle \ mathbf {v} = \ suma _ {k} c_ {k} \ mathbf {e} _ {k}.} Daje nam to pewną swobodę w doborze współczynników {$ c $Displaystyle \ {c_ {k}\}}$ inny niż ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {v} , {\ tylda {\ mathbf {e}}} _ {k} \ rangle.}$ Konieczne jest, aby ramka $\ Displaystyle \ {\ mathbf {e} _{k}\}}$ jest przepełniony dla innych takich współczynników ${\ displaystyle \ {c_ {k} \}}$ istnieć. Jeśli tak, to istnieją ramki ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {g} _ {k} \} \ neq \ {{\ tylda {\ mathbf {e}}} _ { k}\}}$ dla którego

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ suma _ {k} \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {g} _ {k} \ rangle \ mathbf {e } _{k}}

dla wszystkich ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ w V.}$ Nazywamy podwójną ramką ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {g} _ {k} \}}$ podwójną ramką ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {k} \}.}$

$\ Displaystyle \ {\ mathbf {\ tylda {e}} _$ relacją wzajemności, tj. Jeśli ramka $\}}$ kanoniczną ramką podwójną następnie ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {k} \}}$ jest kanoniczną podwójną ramką ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {\ tylda {e}} _ {k} \}.}$

Zobacz też

Notatki

Casazza, Piotr ; Kutyniok, Gitta ; Filip, Friedrich (2013). „Wprowadzenie do teorii ram skończonych”. Ramy skończone: teoria i zastosowania . Berlin: Birkäuser. s. 1–53. ISBN 978-0-8176-8372-6 .
Christensen, Ole (2003). Wprowadzenie do ramek i podstaw Riesz . Stosowana i numeryczna analiza harmoniczna. Birkäuser. doi : 10.1007/978-0-8176-8224-8 . ISBN 978-1-4612-6500-9 . MR 1946982 .
Duffin, Richard James ; Schaeffer, Albert Charles (1952). „Klasa nieharmonicznych szeregów Fouriera” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 72 (2): 341–366. doi : 10.2307/1990760 . JSTOR 1990760 . MR 0047179 .
Kovačević, Jelena; Chebira, Amina (2008). „Wprowadzenie do ramek” (PDF) . Podstawy i trendy w przetwarzaniu sygnałów . 2 (1): 1–94. doi : 10.1561/2000000006 .
Kovacević, Jelena; Dragotti, Pier Luigi; Goyal, Vivek (2002). „Filtruj rozszerzenia ramek banku z wymazywaniem” (PDF) . Transakcje IEEE dotyczące teorii informacji . 48 (6): 1439-1450. CiteSeerX 10.1.1.661.2699 . doi : 10.1109/TIT.2002.1003832 .
Mallat, Stéphane (2009). Wycieczka falkowa po przetwarzaniu sygnału: rzadka droga (PDF) (wyd. 3). Prasa akademicka. ISBN 978-0-12-374370-1 . Źródło 2020-08-01 .