Rozdzielczy sześcienny

Wykres funkcji wielomianu

x 4 + x 3 - x 2 - 7 x /4 - 1/2

(kolor zielony) wraz z wykresem jego resolwenta sześciennego

R 4 (y)

(kolor czerwony). Widoczne są również pierwiastki obu wielomianów.

W algebrze resolwentowy sześcienny jest jednym z kilku odrębnych, chociaż powiązanych wielomianów sześciennych zdefiniowanych na podstawie wielomianu monicznego stopnia czwartego :

{\ Displaystyle P (x) = x ^ {4} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0}.}

W każdej sprawie:

Współczynniki resolwenta sześciennego można uzyskać ze współczynników $P (x)$ stosując jedynie sumy, odejmowania i mnożenia.
Znajomość pierwiastków resolwenta sześciennego $P (x)$ jest przydatna do znalezienia pierwiastków samego $P (x) .$ Stąd nazwa „rozdzielczy sześcienny”.
Wielomian $P (x)$ ma pierwiastek wielokrotny wtedy i tylko wtedy, gdy jego sześcienny resolwent ma pierwiastek wielokrotny.

Definicje

Załóżmy, że współczynniki $P (x)$ należą do ciała $k$ , którego charakterystyka jest różna od $2$ . Innymi słowy, pracujemy w dziedzinie, w której $1 + 1 \neq 0$ . Ilekroć wspomina się o pierwiastkach z $P (x) , należą one do pewnego$ rozszerzenia $K$ z $k$ takiego, że $P (x)$ rozkłada się na czynniki liniowe w $K [x]$ . Jeśli $k$ jest ciałem $Q$ liczb wymiernych, to $K$ może być ciałem $C$ liczb zespolonych lub ciałem $Q$ liczb algebraicznych .

W niektórych przypadkach pojęcie resolwenta sześciennego jest definiowane tylko wtedy, gdy $P (x)$ jest kwartą w formie depresyjnej - to znaczy, gdy $a 3 = 0$ .

Zauważ, że czwarta i piąta definicja poniżej również mają sens i że związek między tymi sześciennymi resolwentami a $P (x)$ jest nadal ważny, jeśli charakterystyka $k$ jest równa $2$ .

Pierwsza definicja

Załóżmy, że $P (x)$ jest depresyjnym kwartykiem — to znaczy, że $a 3 = 0$ . Możliwa definicja resolwenta sześciennego $P (x)$ to:

{\ Displaystyle R_ {1} (y) = 8y ^ {3} + 8a_ {2}y ^ {2} + (2 {a_ {2}} ^ {2} -8a_ {0}) y- {a_ { 1}}^{2}.}

Źródłem tej definicji jest zastosowanie metody Ferrari do znalezienia pierwiastków $P (x)$ . Być bardziej dokładnym:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P (x) = 0 & \ Longleftrightarrow x ^ {4} + a_ {2} x ^ {2} = - a_ {1} xa_ {0} \\& \ Longleftrightarrow \ left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}\right)^{2}=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2} }^{2}}{4}}.\end{wyrównane}}}

Dodaj nową niewiadomą, $y$ , do $x 2 + a 2 /2$ . Teraz masz:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo (x ^ {2} + {\ Frac {a_ {2}} {2}} + y \ prawo) ^ {2} i = - a_ {1} x-a_ {0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+2x^{2}y+a_{2}y+y^{2}\\&=2yx^{2 }-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}.\end{wyrównane} }}

Jeśli to wyrażenie jest kwadratem, może to być tylko kwadrat

{\ Displaystyle {\ sqrt {2y}} \, x - {\ Frac {a_ {1}} {2 {\ sqrt {2y}}}}.}

Ale równość

{\ Displaystyle \ lewo ({\ sqrt {2y}} \, x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}\right)^{2}=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}}

jest równa

{\ Displaystyle {\ Frac {{a_ {1}} ^ {2}} {8y}} = - a_ {0} + {\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}{\text{,}}}

$, R1 (y)$ co twierdzenie, że = 0.

Jeśli $y 0$ jest pierwiastkiem z $R 1 (y)$ , to konsekwencją powyższych obliczeń jest to , że pierwiastki z $P (x)$ są pierwiastkami wielomianu

{\ Displaystyle x ^ {2} - {\ sqrt {2y_ {0}}} \, x + {\ Frac {a_ {2}} { 2}}+y_{0}+{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}}

razem z pierwiastkami wielomianu

{\ Displaystyle x ^ {2} + {\ sqrt {2y_ {0}}} \, x + {\ Frac {a_ {2}} {2}} + y_ {0} - {\ Frac {a_ {1}} {2{\sqrt {2y_{0}}}}}.}

$0$ Oczywiście nie ma to sensu, jeśli $0 y = 0$ , ale ponieważ stałym wyrazem $R 1 (y)$ jest $- a 12$ , jest pierwiastkiem $R 1 (y)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a 1 = 0$ , i w tym przypadku pierwiastki $P (x)$ można znaleźć za pomocą wzoru kwadratowego .

Druga definicja

Inną możliwą definicją (wciąż zakładając, że $P (x)$ jest depresyjnym kwartykiem) jest

{\ Displaystyle R_ {2} (y) = 8y ^ {3} -4a_ {2} y ^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}}

Geneza tej definicji jest podobna do poprzedniej. Tym razem zaczynamy od wykonania:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P (x) = 0 & \ Longleftrightarrow x ^ {4} = - a_ {2} x ^ {2} -a_ {1} xa_ {0} \\& \ Longleftrightarrow ( x^{2}+y)^{2}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}+2yx^{2}+y^{2}\end{wyrównane }}}

a obliczenie podobne do poprzedniego pokazuje, że to ostatnie wyrażenie jest kwadratem wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle 8y ^ {3} -4a_ {2} y ^ {2} -8a_ {0} y + 4a_ {2} a_ {0} - {a_ {1}} ^ {2} = 0 {\ tekst { .}}}

Pokazuje to prosty rachunek

{\ Displaystyle R_ {2} \ lewo (y + {\ Frac {a_ {2}} {2}} \ prawo) = R_ {1} (y).}

Trzecia definicja

Inną możliwą definicją (ponownie, zakładając, że $P (x)$ jest depresyjną kwartą) jest

{\ Displaystyle R_ {3} (y) = y ^ {3} + 2a_ {2} y ^ {2} + ({a_ {2}} ^ {2} -4a_ {0}) y- {a_ {1 }}^{2}{\tekst{.}}}

Geneza tej definicji tkwi w innej metodzie rozwiązywania równań kwartalnych, a mianowicie w metodzie Kartezjusza . Jeśli spróbujesz znaleźć pierwiastki z $P (x)$ wyrażając je jako iloczyn dwóch monicznych wielomianów kwadratowych $x 2 + αx + β$ i $x 2 - αx + γ$ , to

{\ Displaystyle P (x) = (x ^ {2} + \ alfa x + \ beta) (x ^ {2} - \ alfa x + \ gamma) \ Longleftrightarrow \ lewo \ {{\ rozpocząć {tablica} {l} \ beta +\gamma -\alpha ^{2}=a_{2}\\\alpha (-\beta +\gamma )=a_{1}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{tablica} }\Prawidłowy.}

Jeśli istnieje rozwiązanie tego systemu z $α \neq 0$ (zauważ, że jeśli $a 1 \neq 0$ , to jest to automatycznie prawdziwe dla każdego rozwiązania), poprzedni system jest równoważny

{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {tablica} {l} \ beta + \ gamma = a_ {2} + \ alfa ^ {2} \\- \ beta + \ gamma = {\ frac {a_ {1} }{\alpha }}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.}

Wynika to z dwóch pierwszych równań

{\ Displaystyle \ beta = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (a_ {2} + \ alfa ^ {2} - {\ Frac { a_{1}}{\alpha}}\right)}

I

{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (a_ {2} + \ alfa ^ {2} + {\ Frac {a_ {1}} {\ alfa}} \ prawo).}

Po zastąpieniu w trzecim równaniu $β$ i $γ$ tymi wartościami otrzymujemy to

{\ Displaystyle \ lewo (a_ {2} + \ alfa ^ {2} \ prawo) ^ {2} - {\ Frac {{a_ { 1}}^{2}}{\alfa ^{2}}}=4a_{0}{\text{,}}}

i jest to równoważne stwierdzeniu, że $α 2$ jest pierwiastkiem z $R 3 (y)$ . Więc znowu, znajomość pierwiastków z $R 3 (y)$ pomaga określić pierwiastki z $P (x)$ .

Zauważ to

{\ Displaystyle R_ {3} (y) = R_ {1} \ lewo ({\ Frac {y} {2}} \ prawo) {\ tekst {.}}}

Czwarta definicja

Jeszcze inna możliwa definicja to

{\ Displaystyle R_ {4} (y) = y ^ {3} -a_ {2} y ^ {2} + (a_ {1} a_ {3} -4a_ {0}) y + 4a_ {0} a_ { 2}-{a_{1}}^{2}-a_{0}{a_{3}}^{2}.}

W rzeczywistości, jeśli korzenie $P (x)$ to $α 1, α 2, α 3$ i $α 4$ , to

{\ Displaystyle R_ {4} (y) = {\ bigl (} y - (\ alfa _ {1} \ alfa _ {2} + \ alfa _ {3} \ alfa _ {4}) {\ bigr)} {\bigl (}y-(\alpha_{1}\alpha_{3}+\alpha_{2}\alpha_{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha_ {1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}}

fakt wynika ze wzorów Vieta . Innymi słowy, R ₄ ( y ) jest wielomianem monicznym, którego pierwiastki to $α 1 α 2 + α 3 α 4$ , $α 1 α 3 + α 2 α 4$ i $α 1 α 4 + α 2 α 3$ .

Łatwo to zauważyć

{\ Displaystyle \ alfa _ {1} \ alfa _ { 2}+\alpha_{3}\alpha_{4}-(\alpha_{1}\alpha_{3}+\alpha_{2}\alpha_{4})=(\alpha_{1 }-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}}

{\ Displaystyle \ alfa _ {1} \ alfa _ {3} +\alpha _{2}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}- \alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{,}}}

{\ Displaystyle \ alfa _ {1} \ alfa _ {2} + \ alfa _ {3} \ alfa _ {4} - (\ alfa _ {1} \ alfa _ {4} + \ alfa _ {2} \ alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{.}}}

Zatem $P (x)$ ma pierwiastek wielokrotny wtedy i tylko wtedy, gdy $R4 (y) ma$ pierwiastek wielokrotny. Dokładniej, $P (y) mają$ $(x) i$ R4 ten sam wyróżnik .

Należy zauważyć, że jeśli $P (x)$ jest wielomianem depresyjnym, to

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R_ {4} (y) & = y ^ {3} -a_ {2} y ^ {2} -4a_ {0} y + 4a_ {0} a_ {2} - { a_{1}}^{2}\\&=R_{2}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{wyrównane}}}

Piąta definicja

Jeszcze inna definicja to

{\ Displaystyle R_ {5} (y) = y ^ {3} -2a_ {2} y ^ {2} + ({a_ {2}} ^ {2} + a_ {3} a_ {1} -4a_ { 0})y+{a_{1}}^{2}-a_{3}a_{2}a_{1}+{a_{3}}^{2}a_{0}{\text{.}}}

Jeśli, jak wyżej, pierwiastkami $P (x)$ są $α 1, α 2, α 3$ i $α 4$ , to

{\ Displaystyle R_ {5} (y) = {\ bigl (} y - (\ alfa _ {1} + \ alfa _ {2}) (\ alfa _ {3} + \ alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4}){\ bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3}){\bigr )}{\text{, }}}

ponownie jako konsekwencja formuł Vieta . Innymi słowy, $R 5 (y)$ jest wielomianem monicznym, którego pierwiastki to $(α 1 + α 2) (α 3 + α 4)$ , $(α 1 + α 3) (α 2 + α 4)$ i $(α 1 + α 4)(α 2 + α 3)$ .

Łatwo to zauważyć

{\ Displaystyle ( ( \alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{ 2}+\alpha _{4})=-(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}}

{\ Displaystyle (\ alfa _ {1} + \ alfa _ {2}) (\ alfa _ {3} + \ alfa _ {4}) - (\ alfa _ {1} + \ alfa _ {4}) ( \alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{ ,}}}

{\ Displaystyle (\ alfa _ {1} + \ alfa _ {3}) (\ alfa _ {2} + \ alfa _ {4}) - (\ alfa _ {1} + \ alfa _ {4}) ( \alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{ .}}}

Dlatego, jak to się dzieje z $R 4 (y)$ , $P (x)$ ma pierwiastek wielokrotny wtedy i tylko wtedy, gdy $R 5 (y)$ ma pierwiastek wielokrotny. Dokładniej, $P (y) mają$ $(x) i$ R5 ten sam wyróżnik. Jest to również konsekwencją faktu, że $R 5 (y + a 2)$ = $-_R4 (-y)$ .

Zauważ, że jeśli $P (x)$ jest wielomianem depresyjnym, to

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R_ {5} (y) & = y ^ {3} -2a_ {2} y ^ {2} + ({a_ {2}} ^ {2} -4a_ {0} )y+{a_{1}}^{2}\\&=-R_{3}(-y)\\&=-R_{1}\left(-{\frac {y}{2}}\right ){\text{.}}\end{wyrównane}}}

Aplikacje

Rozwiązywanie równań kwartalnych

Powyżej wyjaśniono, w jaki sposób $(y) mogą R1$ $jeśli (y),$ R2 $. (y) i$ R3 być użyte do znalezienia pierwiastków $P (x) ,$ ten wielomian jest obniżony W ogólnym przypadku wystarczy znaleźć pierwiastki obniżonego wielomianu $P (x - a 3 /4)$ . Dla każdego pierwiastka $x 0$ tego wielomianu $0 x - a 3/4 z$ jest pierwiastkiem $P (x)$ .

Rozkład wielomianów kwartalnych na czynniki

Jeśli wielomian kwadratowy $P (x)$ jest redukowalny do $k [x]$ , to jest iloczynem dwóch wielomianów kwadratowych lub iloczynem wielomianu liniowego przez wielomian sześcienny. Ta druga możliwość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy $P (x)$ ma pierwiastek z $k$ . Aby ustalić, czy $P (x)$ można wyrazić jako iloczyn dwóch wielomianów kwadratowych, załóżmy dla uproszczenia, że $P (x)$ jest obniżonym wielomianem. Następnie widać było powyżej , że jeśli resolwent sześcienny $R 3 (y)$ ma niezerowy pierwiastek postaci $α 2$ , dla pewnego $α \in k$ , to taki rozkład istnieje.

Można to wykorzystać do udowodnienia, że w $R [x]$ każdy wielomian kwartalny bez pierwiastków rzeczywistych można wyrazić jako iloczyn dwóch wielomianów kwadratowych. Niech $P (x)$ będzie takim wielomianem. Możemy założyć bez utraty ogólności, że $P (x)$ jest moniczne. Możemy również przyjąć bez utraty ogólności, że jest to wielomian zredukowany, ponieważ $P (x)$ można wyrazić jako iloczyn dwóch wielomianów kwadratowych wtedy i tylko wtedy, gdy $P (x - a 3 /4)$ może i ten wielomian jest wielomianem zredukowanym. Wtedy $R 3 (y)$ = $0 y 3 + 2 za 2 y 2 + (za 22 - 4 za) y - za 12$ . Istnieją dwa przypadki:

Jeśli $za 1 \neq 0$ to $R 3 (0)$ = $- za 12 < 0$ . Ponieważ $R 3 (y) > 0 ,$ jeśli $y$ jest wystarczająco duże, to zgodnie z twierdzeniem o wartości pośredniej $R 3 (y)$ ma pierwiastek $y 0$ z $0 y > 0$ . Możemy więc przyjąć $α$ = $\sqrt y 0$ .
$0$ $0$ Jeśli $za 1$ = , to $R 3 (y)$ = $0 y 3 + 2 za 2 y 2 + (za 22 - 4 za) y$ . Pierwiastki tego wielomianu to i pierwiastki wielomianu kwadratowego $y 2 + 2 a 2 y + a 22 - 4 a 0$ . Jeśli $0$ $0$ $a 22 - 4 0 a < 0$ , to iloczyn dwóch pierwiastków tego wielomianu jest mniejszy niż, a zatem ma pierwiastek większy niż (którym jest $- a 2 + 2 \sqrt a 0$ ) i możemy przyjąć $α$ jako pierwiastek kwadratowy z tego pierwiastka . W przeciwnym razie $0 a 22 - 4 a \geq 0$ i wtedy,

{\ Displaystyle P (x) = \ lewo (x ^ {2} + {\ Frac {a_ {2} + {\ sqrt {{a_ {2}} ^ {2} -4a_ {0}}}} {2 }}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\ dobrze){\text{.}}}

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli $k$ jest rzeczywistym ciałem zamkniętym , to każdy wielomian kwartalny bez pierwiastków w $k$ można wyrazić jako iloczyn dwóch wielomianów kwadratowych w $k [x]$ . Rzeczywiście, to stwierdzenie można wyrazić w logice pierwszego rzędu , a każde takie stwierdzenie, które obowiązuje dla $R$ , dotyczy również dowolnego rzeczywistego ciała zamkniętego.

Podobne podejście można zastosować, aby uzyskać algorytm określający, czy wielomian kwartalny $P (x) \in Q [x]$ jest redukowalny, a jeśli tak, to jak go wyrazić jako iloczyn wielomianów mniejszego stopnia. Ponownie załóżmy, że $P (x)$ jest moniczne i przygnębione. Wtedy $P (x)$ jest redukowalne wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi co najmniej jeden z następujących warunków:

Wielomian $P (x)$ ma pierwiastek wymierny (można to wyznaczyć za pomocą twierdzenia o pierwiastku wymiernym ).
Sześcienny resolwent $R 3 (y)$ ma pierwiastek postaci $α 2$ , dla pewnej niezerowej liczby wymiernej $α$ (znowu można to wyznaczyć za pomocą twierdzenia o pierwiastku wymiernym ).
$0$ Liczba $a 22 - 4 a 0$ jest kwadratem liczby wymiernej i $a 1$ = .

Rzeczywiście:

Jeśli $P (x)$ ma pierwiastek wymierny $r$ , to $P (x)$ jest iloczynem $x - r$ wielomianu sześciennego w $Q [x]$ , który można wyznaczyć przez wielomianowy podział długi lub regułę Ruffiniego .
Jeśli istnieje liczba wymierna $α \neq 0$ taka , że $α 2$ jest pierwiastkiem z $R 3 (y)$ , pokazano powyżej , jak wyrazić $P (x)$ jako iloczyn dwóch wielomianów kwadratowych w $Q [x]$ .
Wreszcie, jeśli zachodzi trzeci warunek i jeśli $δ \in Q$ jest takie, że $δ 2$ = $a 22 - 4 a 0$ , to $P (x)$ = $(x 2 + (a 2 + δ)/2) (x 2 + (a 2 - δ)/2)$ .

Grupy Galois nierozkładalnych wielomianów kwartalnych

Rozdzielczość sześcienna nierozkładalnego wielomianu kwarcowego $P (x)$ może być wykorzystana do określenia jego grupy Galois $G$ ; to znaczy grupa Galois pola rozdzielającego $P (x)$ . Niech $m$ będzie stopniem nad $k$ pola rozszczepienia resolwenta sześciennego (może to być $R 4 (y)$ lub $R 5 (y)$ ; mają to samo pole podziału). $S4 Wtedy$ grupa $G$ jest podgrupą grupy symetrycznej . Dokładniej:

Jeśli $m = 1$ (to znaczy, jeśli rozkład sześcienny rozkłada się na czynniki liniowe w $k$ ), to $G$ jest grupą ${e, (12) (34), (13) (24), (14) (23) }$ .
Jeśli $m = 2$ (to znaczy, jeśli resolwent sześcienny ma jeden i do krotności tylko jeden pierwiastek z $k$ ), to w celu wyznaczenia $G$ można określić, czy $P (x)$ jest nadal nieredukowalny po przyleganiu do pola $k$ pierwiastków sześciennego rezolwenta. Jeśli nie, to $G$ jest grupą cykliczną rzędu 4; dokładniej, jest to jedna z trzech cyklicznych podgrup $S4 generowanych$ przez którąkolwiek z jej sześciu $4$ -cykle. Jeśli nadal jest nieredukowalny, to $G$ jest jedną z trzech podgrup $S 4$ rzędu $8$ , z których każda jest izomorficzna z grupą dwuścienną rzędu $8$ .
Jeśli $m = 3$ , to $A4 G$ $jest$ grupą naprzemienną .
Jeśli $m = 6$ , to $G$ jest całą grupą $S 4$ .

Zobacz też

Resolvent (teoria Galois)