Rozmaitość Frobeniusa

W matematycznej dziedzinie geometrii różniczkowej rozmaitość Frobeniusa , wprowadzona przez Dubrovina, jest płaską rozmaitością Riemanna z pewną zgodną strukturą multiplikatywną w przestrzeni stycznej . Koncepcja uogólnia pojęcie algebry Frobeniusa na wiązki styczne.

Rozmaitości Frobeniusa występują naturalnie w temacie topologii symplektycznej , a dokładniej kohomologii kwantowej . Najszersza definicja znajduje się w kategorii nadrozmaitości riemannowskich . Ograniczymy tutaj dyskusję do gładkich (rzeczywistych) rozmaitości. Możliwe jest również ograniczenie do złożonych rozmaitości.

Definicja

Niech M będzie gładką rozmaitością. Afiniczna płaska na M jest snopkiem T ^f przestrzeni wektorowych, które punktowo rozpinają TM wiązkę styczną, a nawias styczny par jej sekcji znika.

Jako lokalny przykład rozważ pola wektorów współrzędnych na wykresie M . Rozmaitość dopuszcza płaską strukturę afiniczną, jeśli można skleić ze sobą takie pola wektorowe dla obejmującej rodzinę wykresów.

Niech dalej będzie dana metryka riemannowska g na M . Jest to zgodne z płaską strukturą, jeśli g ( X , Y ) jest lokalnie stałe dla wszystkich płaskich pól wektorowych X i Y .

Rozmaitość Riemanna dopuszcza zgodną płaską strukturę afiniczną wtedy i tylko wtedy, gdy tensor krzywizny znika wszędzie.

Rodzina produktów przemiennych * w TM jest równoważna sekcji A z S ² (T ^* M ) ⊗ TM przez

${\ Displaystyle X * Y = A (X, Y). \,}$

Wymagamy dodatkowo własności

${\ Displaystyle g (X * Y, Z) = g (X, Y * Z). \,}$

Dlatego kompozycja g ^# ∘ A jest symetrycznym 3-tensorem.

Oznacza to w szczególności, że liniowa rozmaitość Frobeniusa ( M , g , *) ze stałym iloczynem jest algebrą Frobeniusa M .

Biorąc pod uwagę ( g , T ^f , A ), lokalny potencjał Φ jest lokalną funkcją gładką taką, że

${\ Displaystyle g (A (X, Y), Z) = X [Y [Z [\ Phi]]] \, }$

dla wszystkich płaskich pól wektorowych X , Y i Z .

Rozmaitość Frobeniusa ( M , g , *) jest teraz płaską rozmaitością riemannowską ( M , g ) z symetrycznym 3-tensorem A , który dopuszcza lokalny potencjał wszędzie i jest asocjacyjny.

Właściwości elementarne

Łączność iloczynu * jest równoważna następującemu kwadratowemu PDE w lokalnym potencjale Φ

$\ Displaystyle \ Phi _ {abe} g ^ {ef} \ Phi _ {cdf} = \Phi _{,ade}g^{ef}\Phi _{,bcf}\,}$

gdzie implikowana jest konwencja sum Einsteina, Φ _,a oznacza pochodną cząstkową funkcji Φ przez pole wektora współrzędnych ∂/∂ x ^a , które zakłada się, że wszystkie są płaskie. g ^ef to współczynniki odwrotności metryki.

Dlatego równanie nazywa się równaniem asocjatywności lub równaniem Wittena – Dijkgraafa – Verlinde – Verlinde (WDVV).

Przykłady

Oprócz algebr Frobeniusa przykłady wynikają z kohomologii kwantowej. Mianowicie, biorąc pod uwagę półdodatnią rozmaitość symplektyczną ( M , ω ), istnieje otwarte sąsiedztwo U równe 0 w jej parzystej kohomologii kwantowej QH ^nawet ( M , ω ) z pierścieniem Nowikowa nad C takie, że duży iloczyn kwantowy * _a dla a w U jest analityczny. Teraz U wraz z przecięciem tworzy g = <·,·> jest (zespoloną) rozmaitością Frobeniusa.

Druga duża klasa przykładów rozmaitości Frobeniusa pochodzi z teorii osobliwości. Mianowicie, przestrzeń miniwersalnych deformacji pojedynczej osobliwości ma strukturę rozmaitości Frobeniusa. Ta wieloraka struktura Frobeniusa odnosi się również do prymitywnych form Kyoji Saito .

2. Yu.I. Manin Półproste (super)rozmaitości Frobeniusa i kohomologia kwantowa Pr ^, SA Merkulov: , Topola. Metody analizy nieliniowej 9 (1997), s. 107–161