Rozprzestrzenianie się macierzy

W matematyce , a dokładniej w teorii macierzy , rozpiętość macierzy to największa odległość na płaszczyźnie zespolonej między dowolnymi dwiema wartościami własnymi macierzy.

Definicja

Niech $będzie$ macierzą kwadratową o wartościach własnych $\ ldots, \ lambda _ {n}}$ . Oznacza to, że te wartości $}$ liczbami zespolonymi takimi, $i}$ istnieje wektor, na który działa przez mnożenie przez skalar : ${\ displaystyle$

${\ Displaystyle Av_ {i} = \ lambda _ {i} v_ {i}.}$

Wtedy rozpiętość jest liczbą $nieujemną$ _

${\ Displaystyle s (A) = \ max \ {| \ lambda _ {i} - \ lambda _ {j} |: i, j = 1, \ ldots n \}.}$

Przykłady

• Dla macierzy zerowej i macierzy tożsamości rozrzut wynosi zero. Macierz zerowa ma tylko zero jako wartości własne, a macierz tożsamości ma tylko jedną jako wartości własne. W obu przypadkach wszystkie wartości własne są równe, więc żadne dwie wartości własne nie mogą znajdować się w odległości niezerowej od siebie.
• W projekcji jedynymi wartościami własnymi są zero i jeden. Macierz projekcji ma $zatem$ rozpiętość, która wynosi albo $jeśli$ wszystkie wartości własne są równe), albo (jeśli istnieją dwie różne wartości własne).
• Wszystkie wartości własne macierzy unitarnej leżą na okręgu jednostkowym ${\ displaystyle A}$ . Dlatego w tym przypadku spread jest co najwyżej równy średnicy koła, czyli liczbie 2.
• Rozrzut macierzy zależy tylko od widma macierzy (jej wielozbioru wartości własnych). Jeśli druga macierz $odwracalna$ samego rozmiaru jest $}$ to ma takie samo widmo $A$ . Dlatego ma również taki sam spread jak ${\ displaystyle A}$ .

Zobacz też

• Pole wartości

•   Marvin Marcus i Henryk Minc, Przegląd teorii macierzy i nierówności macierzowych , Dover Publications , 1992, ISBN 0-486-67102-X . Rozdział III.4.