Rozwiązania równań pola Einsteina

Rozwiązania równań pola Einsteina to metryki czasoprzestrzeni wynikające z rozwiązania równań pola Einsteina (EFE) ogólnej teorii względności . Rozwiązanie równań pola daje rozmaitość Lorentza . Rozwiązania są ogólnie klasyfikowane jako dokładne lub niedokładne .

Równania pola Einsteina są

\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} \, = \ kappa T_ {\ mu \ nu},

gdzie jest $tensorem$ , jest stałą kosmologiczną $}$ czasami dla uproszczenia przyjmowaną jako zero), $Displaystyle$ $g_ {$ \ $tensorem$ jest metrycznym , $jest$ stałą i jest tensorem naprężenia

Równania pola Einsteina wiążą tensor Einsteina z tensorem naprężenia-energii, który reprezentuje rozkład energii, pędu i naprężenia w rozmaitości czasoprzestrzeni. Tensor Einsteina składa się z tensora metrycznego i jego pochodnych cząstkowych; tak więc, biorąc pod uwagę tensor naprężenia i energii, równania pola Einsteina są układem dziesięciu równań różniczkowych cząstkowych , w których można rozwiązać tensor metryczny.

W stosownych przypadkach w tym artykule będzie używana notacja indeksu abstrakcyjnego .

Rozwiązywanie równań

Ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że same równania pola Einsteina nie wystarczą do określenia ewolucji układu grawitacyjnego w wielu przypadkach. Zależą one od tensora energii i naprężenia , który zależy od dynamiki materii i energii (takich jak trajektorie poruszających się cząstek), która z kolei zależy od pola grawitacyjnego. Jeśli ktoś interesuje się tylko granicą słabego pola teorii, dynamikę materii można obliczyć za pomocą specjalnych metod teorii względności i / lub newtonowskich praw grawitacji, a następnie wynikowy tensor naprężenia i energii można podłączyć do równań pola Einsteina. Ale jeśli wymagane jest dokładne rozwiązanie lub rozwiązanie opisujące silne pola, ewolucję metryki i tensora energii naprężenia należy rozwiązać razem.

Aby uzyskać rozwiązania, odpowiednimi równaniami są cytowane powyżej EFE (w dowolnej postaci) plus równanie ciągłości (w celu określenia ewolucji tensora naprężenia i energii):

{\ Displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} \ = 0 \,.}

To zdecydowanie za mało, ponieważ istnieje tylko 14 równań (10 z równań pola i 4 z równania ciągłości) dla 20 niewiadomych (10 składowych metrycznych i 10 składowych tensora energii naprężenia). Brakuje równań stanu . W najbardziej ogólnym przypadku łatwo zauważyć, że wymaganych jest co najmniej 6 równań więcej, być może więcej, jeśli istnieją wewnętrzne stopnie swobody (takie jak temperatura), które mogą zmieniać się w czasoprzestrzeni.

W praktyce zwykle można uprościć problem, zastępując pełny zestaw równań stanu prostym przybliżeniem. Niektóre typowe przybliżenia to:

Próżnia :

{\ Displaystyle T_ {ab} \ = 0}

Doskonały płyn :

{\ Displaystyle T_ {ab} \, = ( \rho + p) u_ {a} u_ {b} + pg_ {ab}}

gdzie

{\ Displaystyle u ^ {a} u_ {a} = -1}

Tutaj jest $gęstością masy i$ mierzoną w chwilowej, współporuszającej się ramie, $polem$ wektorowym płynu o 4 prędkościach i jest $displaystyle p}$ presja.

Pył niewchodzący w interakcje (szczególny przypadek płynu doskonałego):

{\ Displaystyle T_ {ab} \, = \ rho u_ {a} u_ {b}}

$uzyskać$ $doskonały płyn,$ należy dodać inne równanie stanu dotyczące gęstości ciśnienia To równanie często zależy od temperatury, więc wymagane jest równanie wymiany ciepła lub postulat, że wymianę ciepła można pominąć.

Następnie zauważ, że tylko 10 z pierwotnych 14 równań jest niezależnych, ponieważ równanie ciągłości ${\ displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} = 0}$ jest konsekwencją równań Einsteina. Odzwierciedla to fakt, że system jest niezmiennikiem cechowania (ogólnie rzecz biorąc, przy braku symetrii, jakikolwiek wybór krzywoliniowej siatki współrzędnych w tym samym układzie odpowiadałby numerycznie różnemu rozwiązaniu). Potrzebne jest „ustalenie miernika”, tj. musimy nałożyć 4 (dowolne) ograniczenia na układ współrzędnych w celu uzyskania jednoznacznych wyników. Te ograniczenia są znane jako warunki współrzędnych .

Popularnym wyborem miernika jest tak zwany „wskaźnik De Dondera”, znany również jako stan harmoniczny lub miernik harmoniczny

{\ Displaystyle g ^ {\ mu \ nu} \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ mu \ nu} = 0 \,.}

W numerycznej teorii względności preferowanym miernikiem jest tak zwana „dekompozycja 3+1”, oparta na formalizmie ADM . W tym rozkładzie metryka jest zapisywana w formie

{\ Displaystyle ds ^ {2} \ ,=(-N+N^{i}N^{j}\gamma _{ij})dt^{2}+2N^{i}\gamma _{ij}dtdx^{j}+\gamma _{ ij}dx^{i}dx^{j}}

, gdzie

{\ Displaystyle i, j = 1 \ kropki 3 \,.}

${\ displaystyle N}$ i ${\ displaystyle N ^ {i}}$ są funkcjami współrzędnych czasoprzestrzeni i mogą być wybrane dowolnie w każdym punkcie. $Pozostałe$ fizyczne stopnie swobody są zawarte w $reprezentuje$ metrykę Riemanna na 3- . Na przykład naiwny wybór ${\ displaystyle N = 1}$ , ${\ displaystyle N_ {i} = 0}$ , odpowiadałoby tak zwanemu synchronicznemu układowi współrzędnych: takiemu $trajektorii$ w którym współrzędna t pokrywa się z czasem właściwym dla dowolnego zbliżającego się obserwatora (cząstka poruszająca się po ustalonej )

Po wybraniu równań stanu i ustaleniu miernika można rozwiązać cały zestaw równań. Niestety, nawet w najprostszym przypadku pola grawitacyjnego w próżni (zanikający tensor naprężenia i energii) problem jest zbyt złożony, aby można go było dokładnie rozwiązać. Aby uzyskać wyniki fizyczne, możemy albo skorzystać z metod numerycznych , spróbować znaleźć dokładne rozwiązania, narzucając symetrie , albo spróbować podejść pośrednich, takich jak metody perturbacyjne lub liniowe przybliżenia tensora Einsteina .

Dokładne rozwiązania

Dokładne rozwiązania to metryki Lorentza , które są zgodne z fizycznie realistycznym tensorem naprężenia-energii i które są uzyskiwane przez rozwiązanie EFE dokładnie w postaci zamkniętej .

Zewnętrzne odniesienia

Artykuł w Scholarpedia na ten temat napisany przez Malcolma MacCalluma

Niedokładne rozwiązania

Rozwiązania, które nie są dokładne, nazywamy rozwiązaniami niedokładnymi . Takie rozwiązania wynikają głównie z trudności rozwiązania EFE w postaci zamkniętej i często przybierają postać przybliżeń do układów idealnych. Wiele niedokładnych rozwiązań może być pozbawionych treści fizycznej, ale służą jako przydatne kontrprzykłady dla przypuszczeń teoretycznych.

Al Momin argumentuje, że rozwiązania tych równań Kurta Gödla nie opisują naszego wszechświata i dlatego są przybliżeniami.

Aplikacje

Istnieją zarówno praktyczne, jak i teoretyczne przesłanki do badania rozwiązań równań pola Einsteina.

Z czysto matematycznego punktu widzenia interesująca jest znajomość zbioru rozwiązań równań pola Einsteina. Niektóre z tych rozwiązań są sparametryzowane jednym lub kilkoma parametrami.

Zobacz też

JA Wheelera; C. Misnera; KS Thorne (1973). Grawitacja . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0 .
JA Wheelera; I. Ciufoliniego (1995). Grawitacja i bezwładność . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton . ISBN 978-0-691-03323-5 .
RJA Lambourne (2010). Teoria względności, grawitacja i kosmologia . Uniwersytet Otwarty , Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13138-4 .