Silna subaddytywność entropii kwantowej

W teorii informacji kwantowej silna subaddytywność entropii kwantowej ( SSA ) to związek między entropiami von Neumanna różnych podsystemów kwantowych większego układu kwantowego składającego się z trzech podsystemów (lub jednego układu kwantowego o trzech stopniach swobody). Jest to podstawowe twierdzenie we współczesnej kwantowej teorii informacji . Przypuszczali to DW Robinson i D. Ruelle w 1966 r. oraz OE Lanford III i DW Robinson w 1968 r., a udowodnili w 1973 r. EH Lieb i MB Ruskai , opierając się na wynikach uzyskanych przez Lieba w jego dowodzie hipotezy Wignera-Yanase-Dysona.

Klasyczna wersja SSA była od dawna znana i ceniona w klasycznej teorii prawdopodobieństwa i teorii informacji. Dowód tej zależności w przypadku klasycznym jest dość łatwy, ale przypadek kwantowy jest trudny ze względu na nieprzemienność macierzy o zredukowanej gęstości opisujących podukłady kwantowe.

Niektóre przydatne odniesienia tutaj obejmują:

„Obliczenia kwantowe i informacje kwantowe”
„Entropia kwantowa i jej zastosowanie”
Śledź nierówności i entropia kwantowa: kurs wprowadzający

Definicje

Używamy następującej notacji w następujących miejscach: Przestrzeń Hilberta jest oznaczona przez i $H$ $})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {$ oznacza ograniczone operatory liniowe na ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ . Produkty tensorowe są oznaczane indeksami górnymi, np. ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {12} = {\ mathcal {H}} ^ {1} \ otimes {\ mathcal {H }}^{2}}$ . Ślad jest oznaczony przez ${\ displaystyle {\ rm {Tr}}}$ .

Macierz gęstości

Macierz gęstości jest hermitowską , dodatnią półokreśloną macierzą śladowej jedynki. Pozwala na opis układu kwantowego w stanie mieszanym . Macierze gęstości na produkcie tensorowym są oznaczane indeksami górnymi, np. jest macierzą gęstości na ${\ mathcal {H}} ^$ ${\ Displaystyle$ .

Entropia

Entropia kwantowa von Neumanna macierzy gęstości wynosi ${\ displaystyle \ rho}$

{\ Displaystyle S (\ rho): = - {\ rm {Tr}} (\ rho \ log \ rho)}

.

Względna entropia

Kwantowa względna entropia Umegakiego dwóch macierzy gęstości i wynosi ${\ displaystyle \ rho}$ i ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ Displaystyle S (\ rho ||\ sigma) = {\ rm {Tr}} (\ rho \ log \ rho - \rho \log \sigma )\geq 0}

.

Wspólne wklęsłość

funkcja dwóch $zmiennych$ jest łącznie wklęsła, jeśli dla dowolnego zachodzi $displaystyle g}$ :

{\ Displaystyle g (\ lambda A_ {1} + (1- \ lambda) A_ {2}, \ lambda B_ {1} + (1- \ lambda) B_ {2}) \ geq \ lambda g (A_ {1 },B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}

Subaddytywność entropii

$przestrzeni$ $.$ tylko dwóch i macierzy Twierdzi, że

{\ Displaystyle S (\ rho ^ {12}) \ równoważnik S (\ rho ^ {1}) + S (\ rho ^ {2}) }

Ta nierówność jest oczywiście prawdziwa w klasycznej teorii prawdopodobieństwa, ale ta ostatnia zawiera również twierdzenie, że entropie warunkowe ${\ Displaystyle S (\ rho ^{12}|\rho ^{1})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})}$ i ${\ Displaystyle S (\ rho ^ {12} | \ rho ^ {2}) = S (\ rho ^ {12}) -S (\ rho ^ {2})}$ nie są oba -negatywny. Jednak w przypadku kwantowym oba mogą być ujemne, np. S $Displaystyle$ $^ {12}$ . Niemniej jednak górna granica subaddytywności na ${\ Displaystyle S (\ rho ^ {12})}$ nadal się utrzymuje. Najbliższą $_$ _ nierówność

{\ Displaystyle S (\ rho ^ {12}) \ geq | S (\ rho ^ {1}) -S (\ rho ^ {2}) |}

który wywodzi się z subaddytywności za pomocą techniki matematycznej znanej jako oczyszczanie .

Silna subaddytywność (SSA)

Załóżmy, że przestrzeń Hilberta układu jest iloczynem tensorowym trzech przestrzeni: ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} ^ {1} \ otimes {\ mathcal {H}} ^ {2} \ otimes {\ mathcal {H}} ^ {3}.}$ . Fizycznie te trzy przestrzenie można interpretować jako przestrzeń trzech różnych układów lub jako trzy części lub trzy stopnie swobody jednego układu fizycznego.

Biorąc pod uwagę macierz gęstości na $\ mathcal {H}}}$ ${\ Displaystyle$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {1} \ otimes {\ mathcal {H}} ^ {2}}$ , definiujemy macierz gęstości H $Displaystyle \ rho ^ {12}}$ jako częściowy ślad : ${\ Displaystyle \ rho ^{12}={\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{3}}\rho ^{123}}$ . Podobnie możemy zdefiniować macierze gęstości: ${\ Displaystyle \ rho ^ {23}}$ , ${\ Displaystyle \ rho ^ {13}}$ , ${\ Displaystyle \ rho ^ {1}}$ , ${ \ Displaystyle \ rho ^ {2}}$ , ${\ Displaystyle \ rho ^ {3}}$ .

Oświadczenie

Dla każdego stanu trójstronnego obowiązuje zasada ${\ Displaystyle \ rho ^ {123}}$

{\ Displaystyle S (\ rho ^ {123}) + S (\ rho ^ {2}) \ równoważnik S (\ rho ^{12})+S(\rho ^{23})}

,

gdzie ${\ Displaystyle S (\ rho ^ {12}) = - {\ rm {Tr}} _ {{\ mathcal {H}} ^ { 12}}\rho ^{12}\log \rho ^{12}}$ , na przykład.

Równoważnie stwierdzenie można przekształcić w kategoriach entropii warunkowych , aby pokazać, że dla stanu trójdzielnego ${\ displaystyle \ rho ^ {ABC}}$

{\ Displaystyle S (A \ mid BC) \ równoważnik S (A \ mid B)}

.

Można to również przedstawić w kategoriach wzajemnej informacji kwantowej ,

{\ Displaystyle I (A: pne) \ geq I (A: B)}

.

Stwierdzenia te są równoległe do klasycznej intuicji, z wyjątkiem tego, że kwantowe entropie warunkowe mogą być ujemne, a kwantowe informacje wzajemne mogą przekraczać klasyczną granicę entropii krańcowej.

Silna nierówność subaddytywności została poprawiona w następujący sposób przez Carlena i Lieba

{\ Displaystyle S (\ rho ^ {12}) + S (\ rho ^ {23}) -S (\ rho ^ {123}) -S (\ rho ^ {2}) \ geq 2 \ max \ {S (\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13}),0\}}

,

z optymalną stałą ${\ displaystyle 2}$ .

J. Kiefer udowodnił w 1959 r. Wynik wypukłości peryferyjnej, który jest następstwem nierówności operatora Schwarza, udowodnionej przez EHLieba i MBRuskai. Jednak wyniki te są stosunkowo proste, a dowody nie wykorzystują wyników artykułu Lieba z 1973 r. Na temat wypukłych i wklęsłych funkcjonałów śladowych. To właśnie ten artykuł dostarczył matematycznych podstaw dowodu SSA Lieba i Ruskai. Rozszerzenie od ustawienia przestrzeni Hilberta do ustawienia algebry von Neumanna, w którym stany nie są dane przez macierze gęstości, zostało dokonane przez Narnhofera i Thirringa.

Twierdzenie można również uzyskać, dowodząc wielu równoważnych stwierdzeń, z których niektóre podsumowano poniżej.

Przypuszczenie Wignera – Yanase – Dysona

EP Wigner i MM Yanase zaproponowali inną definicję entropii, którą uogólnił Freeman Dyson .

Informacje o skośności p Wignera – Yanase – Dysona

Wigner – Yanase – Dyson $skośne$ informacje o macierzy gęstości ${\ displaystyle \ rho}$ . w odniesieniu do operatora jest ${\ displaystyle K}$

{\ Displaystyle I_ {p} (\ rho, K) = {\ Frac {1} {2} }}{\rm {Tr}}[\rho ^{p},K^{*}][\rho ^{1-p},K],}

gdzie ${\ Displaystyle [A, B] = AB-BA}$ jest komutatorem, ${\ Displaystyle K ^ {*}}$ jest sprzężeniem z ${\ Displaystyle K}$ i ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik p \ równoważnik 1}$ jest naprawiony.

Wklęsłość informacji o p -skośności

$skośności jest wklęsła$ $\równik 1}$ przypuszczali, że informacja funkcja macierzy gęstości stałej $\ rho}$ $\ Displaystyle$ .

Ponieważ termin jest wklęsły (jest liniowy) ${\ Displaystyle - {\ tfrac {1} {2}} {\ rm {Tr}} \ rho KK ^ {*}}$ przypuszczenie sprowadza się do problemu wklęsłości ${\ Displaystyle Tr \ rho ^ {p} K ^ {*} \ rho ^ {1-p} K}$ . $implikuje$ w, to przypuszczenie (dla wszystkich SSA i zostało udowodnione ${1} {2}}}$ $tfrac$ w i dla wszystkich następującej bardziej ogólnej formie dwóch zmiennych macierzowych

{\ Displaystyle A, B \ mapsto {\ rm {Tr}} A ^ {r} K ^ {*} B ^ {p} K}

()

jest łącznie wklęsły w i $\ Displaystyle$ $B,}$ kiedy ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik r \ równoważnik 1}$ i ${\ Displaystyle p + r \ równoważnik 1 }$ .

Twierdzenie to jest istotną częścią dowodu SSA w.

W swoim artykule EP Wigner i MM Yanase również przypuszczali subaddytywność $displaystyle$ o skośności dla , co zostało obalone przez Hansena przez $p = {\ tfrac {1} {2}}}$ podanie kontrprzykładu.

Pierwsze dwie instrukcje równoważne SSA

Zwrócono uwagę, że pierwsze poniższe stwierdzenie jest równoważne SSA i A. Ulhmann wykazał równoważność między drugim poniższym stwierdzeniem a SSA.

${\ Displaystyle S (\ rho ^ {1}) + S (\ rho ^ {3}) -S (\ rho ^ {12}) -S (\ rho ^ {23}) \ równoważnik 0.}$ Zauważ, że entropie warunkowe ${\ Displaystyle S (\ rho ^ {12} | \ rho ^{1})}$ i ${\ Displaystyle S (\ rho ^ {23} | \ rho ^ {3})}$ nie muszą być zarówno nieujemne.
ρ $\ Displaystyle \ rho ^ {12} \ mapsto S (\ rho ^ {1}) -S (\ rho ^ {12})$ {

Oba te stwierdzenia zostały bezpośrednio udowodnione w.

Wspólna wypukłość entropii względnej

Jak zauważyli Lindblad i Uhlmann, jeśli w równaniu ( 1 ) bierze się ${\ Displaystyle K = 1}$ i ${\ Displaystyle r = 1-p, A = \ rho }$ i $B = \ sigma}$ $Displaystyle p = 0}$ i różnicuje się w p $\$ , otrzymuje się wspólną wypukłość względnej entropii : tj. jeśli ${\ Displaystyle \ rho = \ suma _ {k} \ lambda _ {k} \ rho _ {k}}$ i ${\ Displaystyle \ sigma = \ suma _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}}$ , zatem

{\ Displaystyle S {\ Bigl (} \ suma _ {k} \ lambda _ {k}\rho _{k}||\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k}\lambda _{k}S( \rho _{k}||\sigma _{k}),}

()

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda _ {k} \ geq 0}$ z ${\ Displaystyle \ suma _ {k} \ lambda _ {k} = 1}$ .

Monotoniczność względnej entropii kwantowej

Względna entropia maleje monotonicznie w operacjach całkowicie dodatniego zachowania śladu (CPTP) na macierzach gęstości, ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$

${\ Displaystyle S ({\ mathcal {N}} (\ rho) \ | {\ mathcal {N}} (\ sigma)} \ leq S(\rho \|\sigma )}$ .

Ta nierówność nazywana jest Monotonicznością względnej entropii kwantowej. Dzięki twierdzeniu o faktoryzacji Stinespringa nierówność ta jest konsekwencją określonego wyboru mapy CPTP - częściowej mapy śledzenia opisanej poniżej.

Najważniejszą i podstawową klasą map CPTP jest operacja częściowego śledzenia ${\ Displaystyle T: {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {H}} ^ {12 }) \ rightarrow {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {H}} ^ {1})}$ , podane przez ${\ Displaystyle T = 1 _ {{\ mathcal {H. }}^{1}}\otimes \mathrm {Tr} _{{\mathcal {H}}^{2}}}$ . Następnie

{\ Displaystyle S (T \ rho || T \ sigma) \ równoważnik S (\ rho ||\ sigma),}

()

co nazywamy Monotonicznością względnej entropii kwantowej przy częściowym śladzie .

Aby zobaczyć, jak to wynika z łącznej wypukłości względnej entropii, zauważ, że można zapisać w reprezentacji Uhlmanna jako ${\ displaystyle T}$

{\ Displaystyle T (\ rho ^ {12}) = N ^ { -1}\suma _{j=1}^{N}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\czasami U_{j})\rho ^{12}(1_{{\mathcal { H}}^{1}}\czasami U_{j}^{*}),}

dla pewnego $i$ pewnego zbioru macierzy unitarnych na (alternatywnie, całkuj $.$ Haara ) Ponieważ ślad (a więc względna entropia) jest jednostkowo niezmienny, nierówność ( 3 ) wynika teraz z ( 2 ). To twierdzenie pochodzi od Lindblada i Uhlmanna, których dowód jest podany tutaj.

SSA uzyskuje się z ( 3 ) z zastąpionym przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {1}} i$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {12}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {2}}$ zastąpiono ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {3}}$ . ρ ${\ Displaystyle \ rho = \ rho ^ {123},$ ${\ Displaystyle \ sigma = \ rho ^ {1} \ czasami \ rho ^ {23},}$ ${\ Displaystyle T = 1 _ {{\ mathcal {H}} ^ {12} }\oraz Tr_{{\mathcal {H}}^{3}}}$ . Wtedy ( 3 ) staje się

{\ Displaystyle S (\ rho ^ {12} || \ rho ^ {1} \ otimes \ rho ^ {2}) \ równoważnik S (\ rho ^ {123} || \ rho ^ {1} \ otimes \ rho ^{23}).}

Dlatego,

{\ Displaystyle S (\ rho ^ {123} || \ rho ^ {1} \ czasami \ rho ^ {23}) -S (\ rho ^ {12} || \ rho ^ {1} \ czasami \ rho ^ {2})=S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 0,}

czyli SSA. Tak więc monotoniczność względnej entropii kwantowej (wynikająca z ( 1 ) implikuje SSA.

Zależność między nierównościami

Wszystkie powyższe ważne nierówności są sobie równoważne i można je również udowodnić bezpośrednio. Następujące są równoważne:

Monotoniczność względnej entropii kwantowej (MONO);
Monotoniczność względnej entropii kwantowej w częściowym śladzie (MPT);
Silna subaddytywność (SSA);
Wspólna wypukłość kwantowej entropii względnej (JC);

Następujące implikacje pokazują równoważność tych nierówności.

MONO ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ MPT: wynika z tego, że MPT jest szczególnym przypadkiem MONO;
MPT ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ MONO: został pokazany przez Lindblada, używając reprezentacji map stochastycznych jako częściowego śladu w systemie pomocniczym;
MPT ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ SSA: następuje poprzez konkretny wybór stanów trójdzielnych w MPT, opisanych w powyższej sekcji „Monotoniczność względnej entropii kwantowej”;
SSA ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$ MPT: wybierając przekątną bloku, można pokazać $, że SSA$ że mapa

jest wypukła. ${\ Displaystyle \ rho _ {12} \ mapsto S (\ rho _ {1}) -S (\ rho _ {12})}$ Zaobserwowano, że ta wypukłość daje MPT;

MPT ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$ ${\ Displaystyle \ Sigma _ {12}$ : jak wspomniano powyżej, wybierając i podobnie, ) jako blok $}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {k} \ rho _ {k}}$ (i $k}}$ { ), częściowe ślad jest sumą bloków, więc ${\ Displaystyle \ rho: = \ rho _ {2} = \ suma _ {k} \ lambda _ {k} \ rho _ {k}}$ , więc z MPT można uzyskać JC;
JC ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ SSA: używając „procesu oczyszczania”, Araki i Lieb zauważyli, że ze znanych można uzyskać nowe użyteczne nierówności. Oczyszczając można wykazać, że SSA jest równoważne z $rho _ {123}}$ 123 $\$

{\ Displaystyle S (\ rho _ {4}) + S (\ rho _ {2}) \ równoważnik S (\ rho _ {12}) + S (\ rho _ {14}).}

Ponadto, jeśli jest czysty, to $\ Displaystyle S (\ rho _ {2}) = S (\ rho _$ ${$ $_$ i _ Ponieważ skrajne punkty wypukłego zbioru macierzy gęstości są stanami czystymi, SSA wynika z JC;

Zobacz, do dyskusji.

Sprawa równości

Równość w monotoniczności kwantowej względnej nierówności entropii

W D. Petz wykazał, że jedynym przypadkiem równości w relacji monotoniczności jest posiadanie odpowiedniego kanału „powrotu”:

Dla wszystkich stanów ${$ wszystkich $kwantowych$ w przestrzeni Hilberta $\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$ i wszystkich operatorów kwantowych ${ \ Displaystyle T: {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {H}}) \ rightarrow {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}})}$ ,

{\ Displaystyle S (T \ rho || T \ sigma) = S (\ rho ||\ sigma),}

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje operator kwantowy taki, że ${\ displaystyle {\ hat {T}}}$

{\ Displaystyle {\ hat {T}} T \ sigma = \ sigma,}

i

{\ Displaystyle {\ kapelusz {T}} T \ rho = \ rho.}

$wzór$ , można wyraźnie

{\ Displaystyle {\ kapelusz {T}} \ omega = \ sigma ^ {1/2}T^{*}{\Bigl (}(T\sigma )^{-1/2}\omega (T\sigma )^{-1/2}{\Bigr )}\sigma ^{ 1/2},}

gdzie jest przyległą mapą $^ {*}}$ $displaystyle$ .

D. Petz podał również inny warunek równości w Monotoniczności względnej entropii kwantowej: pierwsze stwierdzenie poniżej. Różniczkując to w ${\ displaystyle t = 0}$ mamy drugi warunek. Co więcej, MB Ruskai dał kolejny dowód drugiego stwierdzenia.

$:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$ wszystkich $→$ i wszystkich $operatorów$ $kwantowych$ T $H$ ,

{\ Displaystyle S (T \ rho || T \ sigma) = S (\ rho ||\ sigma),}

wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące równoważne warunki:

${\ Displaystyle T ^ {*} (T (\ rho) ^ {to} T (\ sigma) ^ {to }) = \ rho ^ {to} \ sigma ^ {- to}}$ dla wszystkich rzeczywistych ${\ displaystyle t}$ .
${\ Displaystyle \ log \ rho - \ log \ sigma = T ^ {*} {\ Bigl (} \ log T (\ rho) - \ log T (\ sigma) {\ Bigr)}.}$

gdzie jest przyległą mapą $^ {*}}$ $displaystyle$ .

Równość w silnej nierówności podaddytywności

P. Hayden , R. Jozsa, D. Petz i A. Winter opisali stany, dla których zachodzi równość w SSA.

stan $do$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {A} \ otimes$ mathcal spełnia mocną subaddytywność z równością wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rozkład drugiego systemu jako

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {B} = \ bigoplus _ {j} {\ mathcal {H}} ^ {B_ {j} ^ { L}}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}}

na bezpośrednią sumę iloczynów tensorowych, taką, że

{\ Displaystyle \ rho ^ {ABC} = \ bigoplus _ {j} q_ {j} \ rho ^ {AB_ {j} ^ {L}}\oraz \rho ^{B_{j}^{R}C},}

ze stanami ${\ Displaystyle \ rho ^ {AB_ {j} ^ {L}}}$ na ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} ^ {B_ {j} ^ {L}}}$ i ${\ Displaystyle \ rho ^ {B_ {j} ^ {R} C}}$ na ${ \ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {B_ {j} ^ {R}} \ otimes {\ mathcal {H}} ^ {C}}$ i rozkład prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle \ {q_ {j} \}}$ .

Rozszerzenie Carlena-Lieba

EH Lieb i EA Carlen znaleźli wyraźny błąd w nierówności SSA, a mianowicie:

${\ Displaystyle S (\ rho ^ {12}) + S (\ rho ^ {23}) -S (\ rho ^ {123}) -S (\ rho ^ {2}) \ geq 2 \ max \ {0 ,S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\}}$

S ${\ Displaystyle S (\ rho ^ {1}) -S (\ rho ^ {13}) \ równoważnik 0$ } ${\ Displaystyle S (\ rho ^ {3}) -S (\ rho ^ {13}) \ leq 0}$ , jak zawsze w przypadku klasycznej entropii Shannona, ta nierówność nie ma nic do powiedzenia. Z drugiej strony, w przypadku entropii kwantowej jest całkiem możliwe, że entropie warunkowe spełniają ${\ Displaystyle -S (\ rho ^ {13} | \ rho ^ {1}) = S (\ rho ^ {1} )-S(\rho ^{13})>0}$ lub ${\ Displaystyle -S (\ rho ^ {13} | \ rho ^ {3}) = S (\ rho ^ {3}) -S (\ rho ^ {13})> 0}$ (ale nigdy oba!). Następnie, w tym „wysoce kwantowym” reżimie, ta nierówność dostarcza dodatkowych informacji.

Stała 2 jest optymalna w tym sensie, że dla dowolnej stałej większej niż 2 można znaleźć stan, dla którego ta stała narusza nierówność.

Operatorowe rozszerzenie silnej subaddytywności

W swoim artykule I. Kim badał operatorowe rozszerzenie silnej subaddytywności, udowadniając następującą nierówność:

Dla stanu trójdzielnego (matryca gęstości) ${\ Displaystyle \ rho ^ {123}}$ na ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {1} \ otimes {\ mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}}$ ,

{\ Displaystyle Tr_ {12} {\ Bigl (}\rho ^{123}(-\log(\rho ^{12})-\log(\rho ^{23})+\log(\rho ^{2})+\log(\rho ^{ 123})){\Duży}}\geq 0.}

Dowód tej nierówności opiera się na twierdzeniu Effrosa , dla którego wybiera się poszczególne funkcje i operatory, aby wyprowadzić powyższą nierówność. MB Ruskai szczegółowo opisuje tę pracę i omawia, jak udowodnić dużą klasę nowych nierówności macierzowych w przypadkach trójdzielnych i dwudzielnych, wykonując częściowy ślad po wszystkich przestrzeniach z wyjątkiem jednej.

Rozszerzenia silnej subaddytywności pod względem odzyskiwalności

Istotne wzmocnienie subaddytywności silnej wykazano w 2014 r., które następnie uległo poprawie w i. W 2017 roku wykazano, że kanał odzyskiwania można uznać za oryginalną mapę odzyskiwania Petz. Te ulepszenia silnej subaddytywności mają fizyczne interpretacje w kategoriach odzyskiwalności, co oznacza, że jeśli warunkowa informacja wzajemna ${\ Displaystyle I (A; B | E) = S (AE) + S (BE) -S (E) -S (ABE)}$ trójdzielnego stanu kwantowego $} jest prawie równa$ ${ \ displaystyle \ rho _ {ABE$ $z$ wykonanie kanału systemu E do AE) takie, że ${\ Displaystyle \ rho _ {ABE} \ około {\ mathcal {R}} _ {E \ do AE} (\ rho _ {BE})}$ . Wyniki te uogólniają zatem dokładne warunki równości wspomniane powyżej.

Zobacz też