Standardowy formularz Frénicle'a
Kwadrat magiczny jest w standardowej formie Frénicle'a , nazwany na cześć Bernarda Frénicle'a de Bessy'ego , jeśli spełnione są następujące dwa warunki:
- element na pozycji [1,1] (lewy górny róg) jest najmniejszym z czterech elementów narożnych; I
- element na pozycji [1,2] (górna krawędź, drugi od lewej) jest mniejszy niż element w [2,1].
W 1693 roku Frénicle opisał wszystkie 880 zasadniczo różnych magicznych kwadratów rzędu 4.
Nieruchomości
Ta standardowa forma została wymyślona, ponieważ magiczny kwadrat pozostaje „zasadniczo podobny”, jeśli zostanie obrócony, transponowany lub odwrócony tak, że kolejność rzędów jest odwrócona. Istnieje 8 różnych magicznych kwadratów o jednej standardowej formie. Na przykład następujące magiczne kwadraty są zasadniczo podobne, a tylko ostatni kwadrat jest w standardowej formie Frénicle:
8 1 6 8 3 4 4 9 2 4 3 8 6 7 2 6 1 8 2 9 4 2 7 6 3 5 7 1 5 9 3 5 7 9 5 1 1 5 9 7 5 3 7 5 3 9 5 1 4 9 2 6 7 2 8 1 6 2 7 6 8 3 4 2 9 4 6 1 8 4 3 8
Uogólnienia
Dla każdej grupy magicznych kwadratów można zidentyfikować odpowiednią grupę automorfizmów , grupę przekształceń zachowujących szczególne właściwości tej grupy magicznych kwadratów. W ten sposób można określić liczbę różnych klas magicznych kwadratów .
Z punktu widzenia teorii Galois najdoskonalsze magiczne kwadraty (wymienione w OEIS : A051235 ) nie są rozróżnialne, ponieważ wielkość powiązanej grupy Galois wynosi 1.