Stany powierzchniowe

Stany powierzchniowe to stany elektronowe występujące na powierzchni materiałów. Powstają w wyniku ostrego przejścia z materiału stałego, które kończy się powierzchnią i występują tylko w warstwach atomów znajdujących się najbliżej powierzchni. Zakończenie materiału powierzchnią prowadzi do zmiany struktury pasma elektronowego z materiału sypkiego na próżnię . W osłabionym potencjale na powierzchni mogą tworzyć się nowe stany elektronowe, tzw. stany powierzchniowe.

Pochodzenie na interfejsach materii skondensowanej

Rysunek 1 . Uproszczony jednowymiarowy model okresowego potencjału kryształu kończącego się na idealnej powierzchni. Na powierzchni potencjał modelu gwałtownie przeskakuje do poziomu próżni (linia ciągła). Linia przerywana przedstawia bardziej realistyczny obraz, w którym potencjał osiąga poziom próżni na pewnej odległości.

Rysunek 2 . Część rzeczywista typu rozwiązania jednowymiarowego równania Schrödingera, która odpowiada stanom masowym. Stany te mają charakter Blocha w masie, podczas gdy zanikają wykładniczo w próżni.

Rysunek 3 . Część rzeczywista typu rozwiązania jednowymiarowego równania Schrödingera, która odpowiada stanom powierzchniowym. Stany te rozpadają się zarówno do próżni, jak i do kryształu objętościowego, a zatem reprezentują stany zlokalizowane na powierzchni kryształu.

Jak stwierdza twierdzenie Blocha , stany własne jednoelektronowego równania Schrödingera z doskonale okresowym potencjałem, kryształem, są falami Blocha

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Psi _ {n {\ boldsymbol {k}}} & = \ operatorname {e} ^ {i {\ boldsymbol {k}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} u_ {n{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}}).\end{wyrównane}}}

Tutaj ${\ Displaystyle u _ {n {\ boldsymbol {k}}} ({\ boldsymbol {r}})}$ jest funkcją o tej samej okresowości co kryształ, n to indeks pasma, a k to numer fali. Dozwolone liczby falowe dla danego potencjału można znaleźć, stosując zwykłe cykliczne warunki brzegowe Borna-von Karmana. Zakończenie kryształu, czyli utworzenie się powierzchni, w oczywisty sposób powoduje odchylenie od idealnej okresowości. W konsekwencji, jeśli cykliczne warunki brzegowe zostaną porzucone w kierunku normalnym do powierzchni, zachowanie elektronów będzie odbiegać od zachowania w masie i należy spodziewać się pewnych modyfikacji struktury elektronowej.

Uproszczony model potencjału kryształu w jednym wymiarze można naszkicować, jak pokazano na rysunku 1 . W krysztale potencjał ma okresowość, a , sieci, natomiast blisko powierzchni musi w jakiś sposób osiągnąć wartość poziomu próżni. Potencjał krokowy (linia ciągła) pokazany na rysunku 1 jest nadmiernym uproszczeniem, które jest najbardziej wygodne w przypadku prostych obliczeń modelowych. Na rzeczywistej powierzchni na potencjał wpływają ładunki obrazu i tworzenie dipoli powierzchniowych i wygląda to raczej tak, jak wskazuje linia przerywana.

Biorąc pod uwagę potencjał na rysunku 1 , można wykazać, że jednowymiarowe jednoelektronowe równanie Schrödingera daje dwa jakościowo różne typy rozwiązań.

Pierwszy typ stanów (patrz ryc. 2) rozciąga się w głąb kryształu i ma tam charakter Blocha. Tego typu rozwiązania odpowiadają stanom masowym, które kończą się wykładniczo zanikającym ogonem sięgającym do próżni.
Drugi typ stanów (patrz ryc. 3) zanika wykładniczo zarówno do próżni, jak i do kryształu objętościowego. Tego typu rozwiązania odpowiadają stanom powierzchniowym z funkcjami falowymi zlokalizowanymi blisko powierzchni kryształu.

Pierwszy typ rozwiązania można otrzymać zarówno dla metali , jak i dla półprzewodników . Jednak w półprzewodnikach powiązane energie własne muszą należeć do jednego z dozwolonych pasm energii. Drugi rodzaj rozwiązania występuje w przypadku przerwania energii zabronionej półprzewodników oraz w przerwach lokalnych projektowanej struktury pasmowej metali. Można wykazać, że wszystkie energie tych stanów mieszczą się w paśmie wzbronionym. W konsekwencji w krysztale stany te charakteryzują się wyimaginowaną liczbą falową prowadzącą do zaniku wykładniczego do masy.

Stany Shockley i stany Tamm

Omawiając stany powierzchniowe, ogólnie rozróżnia się stany Shockleya i stany Tamma, nazwane na cześć amerykańskiego fizyka Williama Shockleya i rosyjskiego fizyka Igora Tamma . Nie ma ścisłego fizycznego rozróżnienia między tymi dwoma typami stanów, ale charakter jakościowy i podejście matematyczne stosowane do ich opisu są różne.

Historycznie stany powierzchni, które powstają jako rozwiązania równania Schrödingera w ramach przybliżenia prawie swobodnych elektronów dla czystych i idealnych powierzchni, nazywane są stanami Shockleya . Stany Shockleya są zatem stanami, które powstają w wyniku zmiany potencjału elektronowego związanego wyłącznie z zakończeniem kryształu. To podejście jest odpowiednie do opisywania normalnych metali i niektórych półprzewodników z wąską szczeliną . Rysunek 3 pokazuje przykład stanu Shockleya, wyprowadzonego przy użyciu przybliżenia prawie swobodnego elektronu. W krysztale stany Shockleya przypominają rozkładające się wykładniczo fale Blocha.
Stany powierzchni, które są obliczane w ramach ściśle wiążącego modelu, są często nazywane stanami Tamma . W podejściu z ciasnym wiązaniem elektroniczne funkcje falowe są zwykle wyrażane jako liniowe kombinacje orbitali atomowych (LCAO). W przeciwieństwie do modelu prawie swobodnych elektronów używanego do opisu stanów Shockleya, stany Tamma nadają się również do opisu metali przejściowych i półprzewodników z szeroką przerwą . Jakościowo stany Tamma przypominają zlokalizowane orbitale atomowe lub molekularne na powierzchni.

Topologiczne stany powierzchniowe

Wszystkie materiały można sklasyfikować według jednej liczby, niezmiennika topologicznego; jest to zbudowane z masowych elektronicznych funkcji falowych, które są zintegrowane w strefie Brillouina, w podobny sposób, w jaki rodzaj jest obliczany w topologii geometrycznej . W niektórych materiałach niezmiennik topologiczny można zmienić, gdy pewne masowe pasma energii odwrócą się z powodu silnego sprzężenia spinowo-orbitalnego. Na styku izolatora o nietrywialnej topologii, tak zwanego izolatora topologicznego, i izolatora o trywialnej topologii, interfejs musi stać się metaliczny. Co więcej, stan powierzchni musi mieć liniową dyspersję podobną do Diraca z punktem przecięcia, który jest chroniony przez symetrię odwrócenia czasu. Przewiduje się, że taki stan będzie stabilny w warunkach nieporządku i dlatego nie można go łatwo zlokalizować.

Stany Shockleya

Stany powierzchniowe w metalach

₀ Prostym modelem wyprowadzania podstawowych właściwości stanów na powierzchni metalu jest pół-nieskończony okresowy łańcuch identycznych atomów. W tym modelu zakończenie łańcucha reprezentuje powierzchnię, na której potencjał osiąga wartość V próżni w postaci funkcji skokowej , rysunek 1 . W krysztale zakłada się, że potencjał jest okresowy z okresowością sieci . Stany Shockleya są następnie znajdowane jako rozwiązania jednowymiarowego równania Schrödingera z pojedynczym elektronem

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo [- {\ Frac {\ hbar ^ {2 }}{2m}}{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+V(z)\right]\Psi(z)&=&E\Psi(z),\end{wyrównane }}}

z potencjałem okresowym

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} V (z) = \ lewo \ {{\ rozpocząć {tablica} {cc }P\delta (z+la),&{\textrm {for}}\quad z<0\\V_{0},&{\textrm {for}}\quad z>0\end{tablica}}\ prawo.,\end{wyrównane}}}

gdzie l jest liczbą całkowitą, a P jest współczynnikiem normalizacji. Rozwiązanie należy otrzymać niezależnie dla dwóch dziedzin z <0 iz>0 , gdzie na granicy dziedzin (z=0) są zastosowane zwykłe warunki ciągłości funkcji falowej i jej pochodnych. Ponieważ potencjał jest okresowy głęboko w krysztale, elektroniczne funkcje falowe muszą być tutaj falami Blocha . Roztwór w krysztale jest zatem liniową kombinacją fali przychodzącej i fali odbitej od powierzchni. dla Z >0 rozwiązanie będzie musiało zmaleć wykładniczo do próżni

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Psi (z) & = & \ lewo \ {{\ rozpocząć {tablica} cc} Bu_ {-k} e ^ {-ikz} + Cu_ {k} e ^ {ikz },&{\textrm {for}}\quad z<0\\A\exp \left[-{\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\frac {z}{\hbar }} \right],&{\textrm {for}}\quad z>0\end{array}}\right.,\end{aligned}}}

Funkcja falowa dla stanu na powierzchni metalu jest jakościowo pokazana na rysunku 2 . Jest to rozszerzona fala Blocha w krysztale z rozkładającym się wykładniczo ogonem na zewnątrz powierzchni. Konsekwencją ogona jest niedobór gęstości ładunku ujemnego tuż wewnątrz kryształu i wzrost gęstości ładunku ujemnego tuż na zewnątrz, co prowadzi do powstania podwójnej warstwy dipolowej . Dipol zaburza potencjał na powierzchni, prowadząc np. do zmiany funkcji pracy metalu .

Stany powierzchniowe w półprzewodnikach

Rysunek 4 . Struktura pasm elektronowych w prawie swobodnym obrazie elektronowym. Z dala od granicy strefy Brillouina funkcja falowa elektronu ma charakter fali płaskiej, a relacja dyspersji jest paraboliczna. Na granicy strefy Brillouina funkcja falowa jest falą stojącą złożoną z fali przychodzącej i fali odbitej przez Bragga. To ostatecznie prowadzi do powstania pasma wzbronionego.

Przybliżenie prawie swobodnych elektronów można wykorzystać do wyprowadzenia podstawowych właściwości stanów powierzchniowych dla półprzewodników z wąską szczeliną. W tym przypadku przydatny jest również półnieskończony model łańcucha liniowego. Jednak teraz zakłada się, że potencjał wzdłuż łańcucha atomowego zmienia się jako funkcja cosinus

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w {2} V (z) & = V \ lewo [\ exp \ lewo (i {\ Frac {2 \ pi z} {a}} \ prawej) + \ exp \ lewo ( -i{\frac {2\pi z}{a}}\right)\right]\\&=2V\cos \left({\frac {2\pi z}{a}}\right),\\ \end{wyrównanydat}}}$

₀ podczas gdy na powierzchni potencjał jest modelowany jako funkcja skokowa wysokości V . Rozwiązania równania Schrödingera należy otrzymać oddzielnie dla dwóch domen z < 0 i z > 0. W sensie przybliżenia prawie swobodnego elektronu rozwiązania otrzymane dla z < 0 będą miały płaski charakter falowy dla wektorów falowych oddalonych od $jak$ strefy Brillouina relacja dyspersji będzie paraboliczna, 4 . Na granicach stref Brillouina następuje odbicie Bragga, w wyniku którego powstaje a fala stojąca składająca $k$ z fali z falowym wektorem falowym ${\ Displaystyle k = - \ pi$ a

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Psi (z) & = Ae ^ {ikz} + Be ^ {i [k- (2 \ pi / a)] z}. \ koniec {wyrównane}}}

Tutaj ${\ Displaystyle G = 2 \ pi / a}$ jest wektorem kratowym sieci odwrotnej (patrz rysunek 4 ). Ponieważ interesujące rozwiązania znajdują się blisko granicy strefy Brillouina, ustawiamy ${\ Displaystyle k _ {\ perp} = {\ bigl (} \ pi / a {\ bigr)} + \ kappa }$ , gdzie κ jest małą wielkością. Dowolne stałe A , B można znaleźć przez podstawienie do równania Schrödingera. Prowadzi to do następujących wartości własnych

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E & = {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2 m}} \ lewo ({\ Frac {\ pi }{a}}+\kappa \right)^{2}\pm |V|\left[-{\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\pm { \sqrt {\left({\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\right)^{2}+1}}\right]\end{wyrównane}}}

demonstrując rozszczepienie pasma na krawędziach strefy Brillouina , gdzie szerokość zabronionej przerwy jest określona przez 2V. Fala elektronowa działa głęboko wewnątrz kryształu, przypisana różnym pasmom podanym przez

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Psi _ {i} & = Ce ^ {i \ kappa z} \ lewo (e ^ {i \ pi z/a} + \ lewo [- {\ Frac {\ hbar ^ {2}\pi \kappa }{ma|V|}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\right)^ {2}+1}}\right]e^{-i\pi z/a}\right)\end{wyrównane}}}

Gdzie C jest stałą normalizacji. W pobliżu powierzchni przy z = 0 rozwiązanie masowe musi być dopasowane do rozwiązania rozkładającego się wykładniczo, które jest kompatybilne ze stałym potencjałem V ₀ .

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ psi _ {0} i = D \ exp \ lewo [- {\ sqrt {{\ Frac { 2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}z\right]\end{wyrównane}}}

Można wykazać, że warunki dopasowania mogą być spełnione dla każdej możliwej wartości własnej energii , która leży w dozwolonym paśmie. Podobnie jak w przypadku metali, ten typ rozwiązania reprezentuje stojące fale Blocha rozciągające się w głąb kryształu, które rozlewają się do próżni na powierzchni. Jakościowy wykres funkcji falowej pokazano na rysunku 2.

weźmiemy pod uwagę wartości urojone κ , tj. κ = - i·q dla z ≤ 0 i zdefiniujemy

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ sin (2 \ delta) i = - ja {\ Frac {\ hbar ^ {2} \ pi q}{mV}}\end{wyrównane}}}

otrzymuje się rozwiązania o zanikającej amplitudzie w krysztale

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Psi _ {i} (z \ równoważnik 0) & = Fe ^ {qz} \ lewo [\ exp \ lewo [i \ lewo ({\ Frac {\ pi}} }z\pm \delta \right)\right]\pm \exp \left[-i\left({\frac {\pi }{a}}z\pm \delta \right)\right]\right]e ^{\mp i\delta}\end{wyrównane}}}

Wartości własne energii są podane przez

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E & = {\ Frac {\ hbar ^ {2 }}{2m}}\left[\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{2}-q^{2}\right]\pm V{\sqrt {1-\left ({\frac {\hbar ^{2}\pi q}{maV}}\right)^{2}}}\end{wyrównane}}}

E jest rzeczywiste dla dużego ujemnego z, zgodnie z wymaganiami. ≤ ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik q \ równoważnik q_ {max} = {\ Frac {maV} {\ hbar ^ {2} \ pi}}$ wszystkie energie stanów powierzchniowych wpadają w zakazaną lukę. Całkowite rozwiązanie ponownie znajduje się, dopasowując roztwór masowy do rozkładającego się wykładniczo roztworu próżniowego. Rezultatem jest stan zlokalizowany na powierzchni, rozpadający się zarówno do kryształu, jak i do próżni. Wykres jakościowy przedstawiono na figurze 3 .

Stany powierzchniowe trójwymiarowego kryształu

Rysunek 5 . Atomowe jak orbitale atomu Pt. Pokazane orbitale są częścią zestawu bazowego podwójnego zeta używanego w obliczeniach funkcjonału gęstości. Orbitale są indeksowane według zwykłych liczb kwantowych (n, l, m).

Wyniki dla stanów powierzchniowych jednoatomowego łańcucha liniowego można łatwo uogólnić na przypadek trójwymiarowego kryształu. Ze względu na dwuwymiarową okresowość sieci powierzchniowej twierdzenie Blocha musi obowiązywać dla translacji równoległych do powierzchni. W rezultacie stany powierzchniowe można zapisać jako iloczyn fal Blocha o wartościach k ${\ Displaystyle {\ textbf {k}} _ {||} = (k_ {x}, k_ {y})}$ równolegle do powierzchni i funkcji reprezentującej jednowymiarowy stan powierzchni

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Psi _ {0} ({\ textbf {r}}) & = & \ psi _ {0} (z) u _ {{\ textbf {k}} _ {||} }({\textbf {r}}_{||})e^{-i{\textbf {r}}_{||}\cdot {\textbf {k}}_{||}}\end{ wyrównany}}}

Energię tego stanu zwiększa się o człon ${\ displaystyle E_ {||}}$ tak, że mamy

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E_ {s} = E_ {0} + {\ Frac {\ hbar ^ {2} {\ textbf {k}} _ {||} ^ {2} }{2m^{*}}},\end{wyrównane}}}

gdzie m ^* jest efektywną masą elektronu. Warunki dopasowania na powierzchni kryształu, tj. przy z=0, muszą być spełnione dla każdego ${\ Displaystyle {\ textbf {k}} _ {||}}$ osobno i dla każdego ${\ displaystyle {\ textbf {k}} _ {||}}$ Otrzymuje się pojedynczy, ale ogólnie inny poziom energii dla stanu powierzchni.

Rzeczywiste stany powierzchniowe i rezonanse powierzchniowe

Stan powierzchni jest opisany energią $i$ falowym ${\ Displaystyle {\ textbf {k}} _ {||}}$ równolegle do powierzchni, podczas gdy stan masowy charakteryzuje się zarówno ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {||}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ perp}}$ liczby fal. W dwuwymiarowej strefie Brillouina powierzchni, dla każdej wartości ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {||}}$ $.$ pręt rozciąga do trójwymiarowej strefy Brillouina masy Masowe pasma energii , które są przecinane przez te pręty, pozwalają na stany, które wnikają głęboko w kryształ. Dlatego ogólnie rozróżnia się rzeczywiste stany powierzchniowe i rezonanse powierzchniowe. Prawdziwe stany powierzchniowe charakteryzują się pasmami energii, które nie są zdegenerowane z pasmami energii masowej. Stany te istnieją tylko w zabronionej przerwie energetycznej i dlatego są zlokalizowane na powierzchni, podobnie jak na rysunku 3 . Przy energiach, w których powierzchnia i stan masowy są zdegenerowane, powierzchnia i stan masowy mogą się mieszać, tworząc rezonans powierzchniowy. Taki stan może rozprzestrzeniać się w głąb masy, podobnie jak fale Blocha , zachowując jednocześnie zwiększoną amplitudę blisko powierzchni.

Stany Tamma

Stany powierzchni, które są obliczane w ramach modelu ściśle wiążącego, są często nazywane stanami Tamma. W podejściu z ciasnym wiązaniem elektroniczne funkcje falowe są zwykle wyrażane jako liniowa kombinacja orbitali atomowych (LCAO), patrz rysunek 5. Na tym rysunku łatwo zrozumieć, że istnienie powierzchni spowoduje powstanie stanów powierzchniowych z energie różnią się od energii stanów masowych: Ponieważ atomy znajdujące się w najwyższej warstwie powierzchniowej nie mają partnerów wiążących po jednej stronie, ich orbitale w mniejszym stopniu pokrywają się z orbitalami sąsiednich atomów. Rozszczepienie i przesunięcie poziomów energetycznych atomów tworzących kryształ jest zatem mniejsze na powierzchni niż w masie.

za wiązanie chemiczne odpowiada konkretny orbital , np. hybryda sp ³ w Si lub Ge, to jest on silnie uzależniony od obecności powierzchni, wiązania ulegają zerwaniu, a pozostałe płaty orbitalu wystają z powierzchni. Nazywa się je zwisającymi wiązaniami . Oczekuje się, że poziomy energetyczne takich stanów znacznie przesuną się od wartości masowych.

W przeciwieństwie do modelu prawie swobodnych elektronów używanego do opisu stanów Shockleya, stany Tamma nadają się również do opisu metali przejściowych i półprzewodników o szerokim paśmie wzbronionym .

Zewnętrzne stany powierzchniowe

Stany powierzchni pochodzące z czystych i dobrze uporządkowanych powierzchni są zwykle nazywane wewnętrznymi . Do stanów tych należą stany pochodzące z rekonstruowanych powierzchni, gdzie dwuwymiarowa symetria translacyjna powoduje powstanie struktury pasmowej w przestrzeni k powierzchni.

Zewnętrzne stany powierzchni są zwykle definiowane jako stany, które nie pochodzą z czystej i dobrze uporządkowanej powierzchni. Powierzchnie, które pasują do kategorii zewnętrznych to:

Powierzchnie z defektami, gdzie translacyjna symetria powierzchni jest złamana.
Powierzchnie z adsorbatami
Interfejsy między dwoma materiałami, takie jak interfejs półprzewodnik-tlenek lub półprzewodnik-metal
Granice faz między fazami stałymi i ciekłymi.

Ogólnie rzecz biorąc, zewnętrzne stany powierzchniowe nie mogą być łatwo scharakteryzowane pod względem ich właściwości chemicznych, fizycznych lub strukturalnych.

Obserwacja eksperymentalna

Kątowa rozdzielcza spektroskopia fotoemisyjna

Eksperymentalną techniką pomiaru dyspersji stanów powierzchniowych jest kątowa spektroskopia fotoemisyjna ( ARPES ) lub kątowa spektroskopia fotoelektronów w ultrafiolecie (ARUPS).

Skaningowa mikroskopia tunelowa

Dyspersję stanu powierzchni można zmierzyć za pomocą skaningowego mikroskopu tunelowego ; w tych eksperymentach okresowe modulacje gęstości stanu powierzchniowego, które powstają w wyniku rozpraszania zanieczyszczeń powierzchniowych lub krawędzi stopni, są mierzone za pomocą końcówki STM przy danym napięciu polaryzacji. Wektor falowy a odchylenie (energia) elektronów w stanie powierzchniowym można dopasować do modelu elektronów swobodnych z efektywną masą i energią początku stanu powierzchniowego.

Ostatnio nowa teoria

Niedawna nowa teoria próbuje zrozumieć stany elektronowe w idealnych kryształach o skończonej wielkości w oparciu o matematyczną teorię okresowych równań różniczkowych. Teoria ta zapewnia pewne fundamentalne nowe rozumienie stanów powierzchniowych.

Jednowymiarowy skończony kryształ z dwoma końcami w ${\ Displaystyle \ tau}$ i ( ${\ Displaystyle Na + \ tau}$ ( ${\ Displaystyle a}$ : potencjalny okres, $za {\ Displaystyle N}$ : dodatnia liczba całkowita) zawsze ma jeden i tylko jeden $wzbronionego .$ , którego energia i właściwości zależą od $pasma wzbronionego,$ ale nie od każdego pasma Ten stan jest albo stanem krawędzi pasma, albo stanem powierzchni w paśmie wzbronionym. Dlatego:

Obcięcie okresowego potencjału sieci może, ale nie musi, prowadzić do stanu powierzchniowego w paśmie wzbronionym.
Idealny jednowymiarowy kryształ o skończonej długości $tylko$ może mieć co najwyżej jeden stan powierzchni na jednym końcu w każdym paśmie wzbronionym
Podstawową właściwością stanu powierzchniowego jest to, że jego istnienie i właściwości zależą od położenia obcięcia okresowości.

Idealny prosty trójwymiarowy skończony kryształ może mieć stany podobne do wierzchołków, krawędzi, powierzchni i masy. Właściwości i energia każdego stanu podobnego do wierzchołka zależą od trzech $)$ granica w kierunku , ale ani od jednego, ani od $displaystyle$ $\ tau _ {i}} }$ (rozmiar w kierunku ${\ displaystyle i}$ ); Właściwości i energia każdego stanu krawędziowego zależą od dwóch i drugiego ${\ displaystyle \ tau _ {i}}$ ${\ Displaystyle N_ {i}}$ , ale ani jeden z dwóch odpowiadających, $Displaystyle$ τ $\ tau _ {i}}$ ; Właściwości i energia każdego stanu podobnego do powierzchni zależą od jednego $od$ pozostałych , ale ani odpowiadającego $}}$ ${\ displaystyle$ ani pozostałe dwa ${\ Displaystyle \ tau _ {i}}$ ; Właściwości i energia każdego stanu przypominającego masę zależą od trzech $i}}$ ale ani od jednego. $\ displaystyle N_ {$ .

Dla takich trójwymiarowych skończonych kryształów, między tymi stanami z tego samego pasma energii objętościowej, istnieją następujące ogólne zależności:

Energia każdego stanu podobnego do wierzchołka > Energia każdego stanu podobnego do krawędzi > Energia każdego odpowiedniego stanu podobnego do powierzchni > Energia każdego odpowiedniego stanu podobnego do masy.

Dlatego stan powierzchni jest zawsze w paśmie wzbronionym jest ważny tylko dla przypadków jednowymiarowych.

Późniejsze badania potwierdziły wiele fundamentalnych założeń nowej teorii.