Tangloidy

Tangloids to gra matematyczna dla dwóch graczy stworzona przez Pieta Heina do modelowania rachunku różniczkowego spinorów .

Aparat tangloidów

Opis gry pojawił się w książce „Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American” autorstwa Martina Gardnera z 1996 roku w części poświęconej matematyce splatania .

Dwa płaskie bloki drewna, każdy z trzema małymi otworami, są połączone trzema równoległymi sznurkami. Każdy gracz trzyma jeden z drewnianych klocków. Pierwszy gracz nadal trzyma jeden klocek drewna, podczas gdy drugi gracz obraca drugi klocek drewna, wykonując dwa pełne obroty. Płaszczyzna obrotu jest prostopadła do strun, gdy nie są splątane. Struny zachodzą teraz na siebie. Następnie pierwszy gracz próbuje rozplątać sznurki bez obracania żadnego kawałka drewna. Dozwolone są tylko tłumaczenia (przesuwanie elementów bez obracania). Następnie gracze odwracają role; wygrywa ten, kto najszybciej rozwiąże sznurki. Wypróbuj tylko z jednym obrotem. Sznurki oczywiście znowu zachodzą na siebie, ale nie da się ich rozplątać bez obrócenia jednego z dwóch drewnianych klocków.

Sztuczka z kubkiem balijskim , pojawiająca się w balijskim tańcu ze świecami , jest inną ilustracją tej samej idei matematycznej. Mechanizm zapobiegający skręcaniu jest urządzeniem mającym na celu uniknięcie takich splątań orientacyjnych . Matematyczną interpretację tych idei można znaleźć w artykule na temat kwaternionów i rotacji przestrzennej .

Artykulacja matematyczna

Ta gra służy wyjaśnieniu poglądu, że obroty w przestrzeni mają właściwości, których nie można intuicyjnie wyjaśnić, biorąc pod uwagę tylko obrót pojedynczego sztywnego obiektu w przestrzeni. Rotacja wektorów nie obejmuje wszystkich właściwości abstrakcyjnego modelu rotacji podanego przez grupę rotacji . Właściwość ilustrowana w tej grze jest formalnie określana w matematyce jako „ podwójne pokrycie SO (3) przez SU(2) ”. To abstrakcyjne pojęcie można z grubsza naszkicować w następujący sposób.

Obroty w trzech wymiarach można wyrazić jako macierze 3x3 , blok liczb, po jednej dla x,y,z. Jeśli weźmie się pod uwagę arbitralnie małe obroty, dochodzi się do wniosku, że obroty tworzą przestrzeń , ponieważ jeśli każdy obrót jest traktowany jako punkt , to zawsze istnieją inne pobliskie punkty, inne pobliskie obroty, które różnią się tylko o niewielką wartość. W małych dzielnicach ten zbiór pobliskich punktów przypomina przestrzeń euklidesową . W rzeczywistości przypomina trójwymiarową przestrzeń euklidesową, ponieważ istnieją trzy różne możliwe kierunki nieskończenie małych obrotów: x, y i z. To właściwie opisuje strukturę grupy rotacyjnej w małych dzielnicach. Jednak w przypadku sekwencji dużych obrotów model ten się załamuje; na przykład skręcenie w prawo, a następnie położenie się, to nie to samo, co położenie się najpierw, a następnie skręcenie w prawo. Chociaż grupa rotacji ma strukturę przestrzeni 3D w małej skali, to nie jest jej struktura w dużej skali. Nazywa się systemy, które zachowują się jak przestrzeń euklidesowa w małej skali, ale prawdopodobnie mają bardziej skomplikowaną strukturę globalną rozmaitości . Słynne przykłady rozmaitości obejmują sfery : globalnie są okrągłe, ale lokalnie wydają się i wyglądają na płaskie, ergo „ płaska Ziemia ”.

$punktami$ ma ona strukturę -kuli ze zidentyfikowanymi przeciwległymi . Oznacza to, że dla każdego obrotu w rzeczywistości istnieją dwa różne, odrębne biegunowo przeciwne punkty na 3-sferze, które opisują ten obrót. Ilustrują to tangloidy. Ilustracja jest całkiem sprytna. Wyobraź sobie, że wykonujesz obrót o 360 stopni o jeden stopień na raz, jako zestaw małych kroków. Te kroki zaprowadzą cię na ścieżkę, w podróż po tej abstrakcyjnej rozmaitości, tej abstrakcyjnej przestrzeni rotacji. Po zakończeniu tej 360-stopniowej podróży nie wraca się do domu, ale zamiast tego do przeciwnego bieguna. I ktoś tam utknął - nie można właściwie wrócić do miejsca, w którym się zaczęło, dopóki nie wyruszy się w kolejną, drugą podróż o 360 stopni.

Struktura tej abstrakcyjnej przestrzeni, 3-sfery ze zidentyfikowanymi biegunowymi przeciwieństwami, jest dość dziwna. Technicznie rzecz biorąc, jest to przestrzeń rzutowa . Można spróbować wyobrazić sobie branie balonu, wypuszczanie całego powietrza, a następnie sklejanie przeciwległych biegunów. Jeśli spróbuje się tego w prawdziwym życiu, szybko odkryje się, że nie da się tego zrobić globalnie. Lokalnie, dla każdej małej łatki, można wykonać kroki odwrócenia i przyklejenia; po prostu nie można tego zrobić globalnie. (Pamiętaj, że balon to $2 {\ displaystyle S ^ {2}}$ kula; to nie jest 3-kula obrotów). Aby jeszcze bardziej uprościć, można zacząć od ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ , koło i próba sklejenia biegunowych przeciwieństw; wciąż dostaje się nieudany bałagan. Najlepsze, co można zrobić, to narysować linie proste przez początek układu współrzędnych, a następnie oświadczyć, że bieguny przeciwne są tym samym punktem. Jest to podstawowa konstrukcja każdej przestrzeni rzutowej.

Tak zwane „podwójne pokrycie” odnosi się do idei, że to sklejanie się biegunowych przeciwieństw może zostać rozwiązane. Można to wyjaśnić stosunkowo prosto, choć wymaga to wprowadzenia pewnej notacji matematycznej. Pierwszym krokiem jest wyrzucenie z siebie " algebry kłamstw ". Jest to przestrzeń wektorowa obdarzona tą właściwością, że można pomnożyć dwa wektory. Dzieje się tak, ponieważ niewielki obrót wokół x , po którym następuje niewielki obrót wokół osi y -axis to nie to samo, co odwrócenie kolejności tych dwóch; są różne, a różnica polega na niewielkim obrocie wzdłuż osi Z. Formalnie tę nierówność można zapisać jako $i$ , że y z nie są obrotami. Nie dojeżdżają .

Można wtedy zapytać: „co jeszcze zachowuje się w ten sposób?” Cóż, oczywiście macierze rotacji 3D tak; w końcu chodzi o to, że robią poprawnie, doskonale matematycznie opisują obroty w przestrzeni 3D. Tak się jednak składa, że istnieją również macierze 2x2, 4x4, 5x5, ... które również mają tę właściwość. Można rozsądnie zapytać „OK, więc jaki jest kształt ich rozmaitości?”. W przypadku 2x2 algebra Liego nazywa się su(2) , a rozmaitość nazywa się SU(2) i co ciekawe, rozmaitość SU(2) to 3-sfera (ale bez rzutowej identyfikacji biegunowych przeciwieństw) .

To pozwala teraz na odrobinę sztuczki. Weź wektor ${\ Displaystyle {\ vec {v}} = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}$ w zwykłej przestrzeni 3D (nasza przestrzeń fizyczna) i zastosuj do $niej$ macierz . Otrzymuje się obrócony wektor ${\ displaystyle R {\ vec {v}}}$ . Jest to wynikiem zastosowania zwykłego, „zdroworozsądkowego” obrotu do ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ . Ale ma się też macierze Pauliego ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$ ; są to złożone macierze 2x2, które mają właściwość algebry Liego, że ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} - \ sigma _ {2} \ sigma _ { 1}=\sigma _{3}}$ i tak modelują one ${\ displaystyle xy-yx = z}$ zachowanie nieskończenie małych obrotów. Rozważmy więc iloczyn ${\ Displaystyle {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {v}} = v_ {1} \ sigma _{1}+v_{2}\sigma _{2}+v_{3}\sigma _{3}}$ . „Podwójne pokrycie” to właściwość polegająca na tym, że istnieje nie jedna, ale dwie macierze 2x2 takie, że ${\ displaystyle S}$

{\ Displaystyle S ^ {- 1} ({\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {v}}) S = R {\ vec { v}}}

Tutaj ${\ Displaystyle S ^ {- 1}}$ oznacza odwrotność $- 1 {\ displaystyle S}$ ; to znaczy ${\ Displaystyle S ^ {- 1} S = SS ^ {- 1} = 1.}$ $jest$ elementem SU ( 2 $S$ , więc dla każdej macierzy $SO$ (3) istnieją dwie odpowiadające obie i $załatwi$ $_$ _ Te dwa są przeciwieństwami biegunowymi, a projekcja sprowadza się po prostu do trywialnej obserwacji, że ${\ Displaystyle (-1) \ razy (-1) = + 1. }$ Gra tangeloidalna ma na celu zilustrowanie, że obrót o 360 stopni prowadzi na ścieżkę od ${\ displaystyle + S}$ do ${\ displaystyle -S}$ . Jest to dość $S}$ : można rozważyć sekwencję małych obrotów i odpowiadający im ruch $displaystyle$ ; wynik zmienia znak. Jeśli chodzi o kąty obrotu ${$ macierz będzie miała w sobie ${\ Displaystyle \ cos \ theta}$ $,$ ale dopasowanie miało $displaystyle S}$ za ${\ displaystyle \ cos \ theta / 2}$ w nim. Dalsze wyjaśnienie wymaga faktycznego spisania tych formuł.

Szkic można uzupełnić kilkoma uwagami ogólnymi. Po pierwsze, algebry Liego są ogólne i dla każdej z nich istnieje jedna lub więcej odpowiadających im grup Liego . W fizyce obroty 3D normalnych obiektów 3D są oczywiście opisywane przez $grupę$ rotacji , która jest grupą Liego macierzy . Jednak spinory , cząstki o spinie 1/2 , obracają się zgodnie z macierzami ${\ displaystyle S}$ w SU(2). Macierze 4x4 opisują obrót cząstek o spinie 3/2, a macierze 5x5 opisują obroty cząstek o spinie 2 i tak dalej. Reprezentacja grup Liego i algebr Liego jest opisana przez teorię reprezentacji . Reprezentacja spin-1/2 należy do reprezentacji podstawowej , a spin-1 jest reprezentacją sprzężoną . Użyte tu pojęcie podwójnego pokrycia jest zjawiskiem ogólnym, opisywanym przez pokrywanie map . Szczególnym przypadkiem wiązek światłowodowych są z kolei mapy pokrycia . Klasyfikacja map pokrywających odbywa się za pomocą teoria homotopii ; w tym przypadku formalnym wyrazem podwójnego pokrycia jest stwierdzenie, że podstawową grupą jest $}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (SO (3)) = \ mathbb {$ $_$ gdzie grupa _ obroty powyżej. ${\ displaystyle + S}$ i ${\ displaystyle -S}$ W tym sensie grupa rotacyjna stanowi bramę, klucz do królestwa rozległych obszarów wyższej matematyki.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Tangloidy , YouTube