Tożsamości sum dzielników

Celem tej strony jest skatalogowanie nowych, interesujących i użytecznych tożsamości związanych z sumami $dzielników$ teorii liczb , tj. Sumami funkcji arytmetycznej po dzielnikach liczby naturalnej równoważnie splotu Dirichleta funkcja arytmetyczna ${\ Displaystyle f (n)}$ z jednym: fa ( n ) {\ displaystyle f (n)}

${\ Displaystyle g (n): = \ suma _ {d \ mid n} f (d).}$

$obejmują$ zastosowania do sum funkcji arytmetycznych tylko na właściwych dzielnikach . Definiujemy również okresowe warianty tych sum dzielników względem największego wspólnego dzielnika w postaci

${\ Displaystyle g_ {m} (n): = \ suma _ {d \ środek (m, n)} f(d),\ 1\równoważnik m\równoważnik n}$

$.$ na $wyrażenie$ funkcji w kategoriach Möbiusa Oczywiście niektóre z najciekawszych przykładów takich tożsamości pojawiają się, gdy rozważa się $($ średniego rzędu funkcji arytmetycznej jako suma dzielników innej funkcji arytmetycznej $\ styl wyświetlania g(n)}$ . Konkretne przykłady sum dzielników obejmujące specjalne funkcje arytmetyczne i specjalne sploty Dirichleta funkcji arytmetycznych można znaleźć na następujących stronach: tutaj , tutaj , tutaj , tutaj i tutaj .

Tożsamości średniej sumy zamówień

Wymiana tożsamości sumowania

Następujące tożsamości są główną motywacją do stworzenia tej strony tematów. Tożsamości te nie wydają się być dobrze znane lub przynajmniej dobrze udokumentowane i są niezwykle przydatnymi narzędziami, które można mieć pod ręką w niektórych aplikacjach. W dalszej części rozważamy, że $} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ , h, u, v : \ mathbb { sol ${\ textstyle G (x): = \ suma _ {n \ równoważnik x} g (n)}$ funkcję sumującą ${ \displaystyle g(n)}$ . Bardziej powszechny przypadek specjalny pierwszego sumowania poniżej jest wymieniony tutaj .

1. ${ \ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {x} v (n) \ suma _ {d \ mid n} h (d) u ​​\ lewo ({\ frac {n}{d}} \ prawej) = \ suma _{n=1}^{x}h(n)\suma _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor}u(k)v( nk)}$
2. ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {n = 1} ^{x}\sum _{d\mid n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)&=\sum _{n=1}^{x}f( n)G\left(\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \right)=\sum _{i=1}^{x}\left(\sum _{\left\ lceil {\frac {x+1}{i+1}}\right\rceil \leq n\leq \left\lfloor {\frac {x-1}{i}}\right\rfloor}f(n)\ prawo)G(i)+\sum _{d\mid x}G(d)f\left({\frac {x}{d}}\right)\end{wyrównane}}}$
3. ${\ Displaystyle \ suma _ {d = 1} ^ {x} f (d) \ lewo (\ suma _ {r \ środek (d, x)} g (r) h \ lewo ({{ \frac {d}{r}}\right)\right)=\sum _{r\mid x}g(r)\left(\sum _{1\równoważnik d\równoważnik x/r}h(d) f(rd)\prawo)}$
4. ${\ Displaystyle \ suma _ {m = 1}^{x}\left(\suma _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)=\suma _ {d\mid x}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\cdot {\frac {x}{d}}}$
5. ${\ Displaystyle \ suma _ {m = 1} ^ {x} \ lewo (\ suma _ {d \ środek (m, x)} f (d) g \ lewo ({\ Frac {x} {d }}\right)\right)t^{m}=(t^{x}-1)\cdot \sum _{d\mid x}{\frac {t^{d}f(d)}{t ^{d}-1}}g\lewo({\frac {x}{d}}\prawo)}$

Ogólnie rzecz biorąc, te tożsamości są zbierane z tak zwanych „ rzadkości i stron b ” zarówno dobrze ugruntowanych, jak i częściowo niejasnych notatek i technik analitycznej teorii liczb oraz artykułów i prac autorów. Same tożsamości nie są trudne do udowodnienia i są ćwiczeniem w standardowych manipulacjach inwersją szeregów i sumami dzielników. Dlatego pomijamy tutaj ich dowody.

Metoda splotu

Metoda splotu jest ogólną techniką szacowania średnich sum rzędów postaci

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ równoważnik x} f (n) \ qquad {\ tekst {lub}} \ qquad \ suma _ {\stackrel {q\leq x}{q{\text{kwadrat}}}}f(q),}$

gdzie funkcję multiplikatywną f można zapisać jako splot postaci ${\ Displaystyle f (n) = (u \ ast v) (n)}$ dla odpowiedniej aplikacji- zdefiniowane funkcje arytmetyczne u i v . Krótki przegląd tej metody można znaleźć tutaj .

Okresowe sumy dzielników

Funkcja arytmetyczna jest $n$ ) lub k jeśli $_ n\w \mathbb {N}}$ _ . $modulo$ przykładami k -okresowych liczb Dirichleta k i największego ${\ Displaystyle f (n) = (n, k)}$ ( . Wiadomo, że każda k -okresowa funkcja arytmetyczna ma reprezentację jako skończony dyskretny szereg Fouriera postaci

${\ Displaystyle f (n) = \ suma _ {m = 1} ^ {k} a_ {k} (m) e \left({\frac {mn}{k}}\right),}$

gdzie współczynniki Fouriera określone następującym równaniem są również ${k} (m)}$ m )

${\ Displaystyle a_ {k} (m) = {\ Frac {1} {k}} \ suma _ {n = 1} ^ {k} f (n) e \ lewo (- {\ Frac {mn} {k }}\Prawidłowy).}$

Interesują nas następujące k -okresowe sumy dzielników:

${\ Displaystyle s_ {k} (n): = \ suma _ {d \ mid (n, k)} f (d) g \ lewo ({\ Frac {k} {d}} \ prawej) = \ suma _ {m=1}^{k}a_{k}(m)e\lewo({\frac {mn}{k}}\prawo).}$

Faktem jest, że współczynniki Fouriera tych wariantów sumy dzielników są określone wzorem

${\ Displaystyle a_ {k} (m) = \ suma _ {d \ mid (m, k)} g (d) f \ lewo ({\ Frac {k} {d}} \ prawej) {\ Frac {d }{k}}.}$

Transformaty Fouriera GCD

Możemy również wyrazić współczynniki Fouriera w równaniu bezpośrednio powyżej w kategoriach transformaty Fouriera dowolnej funkcji h na wejściu ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {gcd} (n, k)}$ za pomocą następującego wynik gdzie jest sumą Ramanujana (por. transformata Fouriera funkcji totient ): ${\ Displaystyle c_ {q} (n)$

${\ Displaystyle F_ {h} (m, n) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} h ((k, n)) e \ lewo (- {\ Frac {km} {n}} \ prawo )=(h\ast c_{\punktor }(m))(n).}$

Tak więc, łącząc powyższe wyniki, otrzymujemy to

${\ Displaystyle a_ {k} (m) = \ suma _ {d \ mid (m, k)} g (d) f \ lewo ({\ Frac {k} {d}} \ prawej) {\ Frac {d }{k}}=\sum _{d\mid k}\sum _{r\mid d}f(r)g(d)c_{\frac {d}{r}}(m).}$

Sumy po dzielnikach pierwszych

$n$ funkcja oznacza charakterystyczną funkcję liczb pierwszych , tj. $(n) = 1}$ tylko wtedy, gdy $Displaystyle n }$ jest liczbą pierwszą iw przeciwnym razie ma wartość zero. Wtedy jako szczególny przypadek pierwszej tożsamości w równaniu (1) w powyższej sekcji zamiany tożsamości sumowania możemy wyrazić średnie sumy rzędów

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {x} \ suma _ {\ stackrel {p \ środkowy n} {p {\ tekst {liczba pierwsza}}}} f (p) = \ suma _ {p = 1 }^{x}a(p)f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor =\sum _{\stackrel {p=1}{p{\text{prim }}}}^{x}f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor .}$

Mamy również wzór całkowy oparty na sumowaniu Abela dla sum postaci

${\ Displaystyle \ suma _ {\ stackrel {p = 1} {p {\ tekst {liczba pierwsza}}}} ^ {x} f (p) = \ pi (x) f (x)-\int _{2}^{x}\pi (t)f^{\prime}(t)dt\około {\frac {xf(x)}{\log x}}-\int _ {2}^{x}{\frac {t}{\log t}}f^{\prime}(t)dt,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ pi (x) \ sim {\ Frac {x} {\ log x}}}$ oznacza funkcję liczenia liczb pierwszych . Zwykle przyjmujemy tutaj założenie, że funkcja f jest ciągła i różniczkowalna .

Niektóre mniej cenione tożsamości dzielników

Mamy następujące wzory sumy dzielników dla $n)}$ dowolnej funkcji arytmetycznej i g całkowicie multiplikatywnej jest funkcją $totientną$ Eulera i ( Funkcja Möbiusa :

1. ${\ Displaystyle \ suma _ {d \ środkowy n} f (d) \ varphi \ lewo ( {\frac {n}{d}}\right)=\sum _{k=1}^{n}f(\operatorname {gcd} (n,k))}$
2. ${\ Displaystyle \ suma _ {d \ mid n} \ mu (d) f (d) = \ prod _ {\stackrel {p\mid n}{p{\text{prim}}}}(1-f(p))}$
3. ${\ Displaystyle f (m) f (n) = \ suma _ {d \ mid (m, n)} g (d) f \ lewo ({\ Frac {mn} {d ^ {2}}} \ prawej) .}$
4. Jeśli f jest całkowicie multiplikatywne , to mnożenie punktowe ze $splotem$ Dirichleta daje ${\ Displaystyle f \ cdot (g \$ .
5. ${\ Displaystyle \ suma _ {d ^ {k} \ mid n} \ mu (d) = {\ Biggl \ {} {\ rozpocząć {tablica} {ll} 0, & {\ tekst {jeśli}} m ^ { k}\mid n{\text{ dla pewnego }}m>1;\\1,&{\text{inaczej.}}\end{tablica}}}$
6. Jeśli ${\ Displaystyle m \ geq 1}$ i n ma więcej niż m różnych czynników pierwszych , to ${\ Displaystyle \ suma _ {d \ mid n}\mu (d)\log ^{m}(d)=0.}$

Odwrotność Dirichleta funkcji arytmetycznej

${\ Displaystyle (\ varepsilon \ ast f) (n) = (f \ ast \ varepsilon) (n) = f (n)}$ notację, że $że$ oznacza multiplikatywną tożsamość splotu Dirichleta tak, dla dowolnej funkcji arytmetycznej f i ${\ displaystyle n \ geq 1}$ . Odwrotność Dirichleta funkcji f spełnia ( $\ Displaystyle (f \ ast f ^ {- 1}) (n ) = (f ^ {-1} \ ast f) (n) = \ varepsilon (n)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle n \ geq 1}$ . Istnieje dobrze znany rekurencyjny wzór splotu do obliczania odwrotności Dirichleta ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (n)}$ f przez indukcję podaną w postaci fa

${\ Displaystyle f ^ {- 1} (n) = {\ Biggl \ {} \begin{array}{ll}{\frac {1}{f(1)}},&{\text{if }}n=1;\\-{\frac {1}{f(1)}} \sum _{\stackrel {d\mid n}{d>1}}f(d)f^{-1}\left({\frac {n}{d}}\right),&{\text{ if }}n>1.\end{tablica}}}$

Dla ustalonej funkcji f , niech funkcja ${\ Displaystyle f _ {\ pm} (n): = (-1) ^ {\ delta _ {n, 1}} f (n) = {\ Biggl \ {}{\ begin{macierz}-f(1),&{\text{if }}n=1;\\f(n),&{\text{if }}n>1\end{macierz}}}$

Następnie zdefiniuj następujące dwa wielokrotne lub zagnieżdżone warianty splotu dla dowolnej ustalonej funkcji arytmetycznej f :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ widetilde {\ operatorname {ds}}} _ {j,f}(n)&:=\underbrace {\left(f_{\pm }\ast f\ast \cdots \ast f\right)} _{j{\text{razy}}}(n) \\\operatorname {ds} _{j,f}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}f_{\pm }(n),&{\text{if } }j=1;\\\sum \limits _{\stackrel {d\mid n}{d>1}}f(d)\operatorname {ds} _{j-1,f}(n/d), &{\text{if }}j>1.\end{array}}\end{aligned}}}$

Funkcja $przez$ równoważną parę wzorów sumowania w następnym równaniu jest ściśle związana funkcji f .

${\ Displaystyle D_ {f} (n): = \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ operatorname {ds} _ {2j, f} (n) = \sum _{m=1}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor}\sum _{i=0}^{2m-1}{\binom {2m-1 }{i}}(-1)^{i+1}{\widetilde {\operatorname {ds}}}_{i+1,f}(n)}$

W szczególności możemy to udowodnić

${\ Displaystyle f ^ {- 1} (n) = \ lewo (D + {\ Frac {\ varepsilon} {f (1)}} \ prawej) (n).}$

Poniżej znajduje się $Displaystyle$ wartości dla $2 \ równoważnik n \ równoważnik$ Ta tabela precyzuje zamierzone znaczenie i interpretację tej funkcji jako sumy ze znakiem wszystkich możliwych wielokrotnych k - splotów funkcji f z samą sobą.

N	${\ Displaystyle D_ {f} (n)}$	N	${\ Displaystyle D_ {f} (n)}$	N	${\ Displaystyle D_ {f} (n)}$
2	${\ Displaystyle - {\ Frac {f (2)} {f (1) ^ {2}}}}$	7	${\ Displaystyle - {\ Frac {f (7)} {f (1) ^ {2}}}}$	12	${ \ Displaystyle {\ Frac {2f (3) f (4) + 2f (2) f (6) -f (1) f (12)} {f (1) ^ {3}}} - {\ Frac {3f (2)^{2}f(3)}{f(1)^{4}}}}$
3	${\ Displaystyle - {\ Frac {f (3)} {f (1) ^ {2}}}}$	8	${\ Displaystyle {\ Frac {2f (2) f (4) - f(1)f(8)}{f(1)^{3}}}-{\frac {f(2)^{3}}{f(1)^{4}}}}$	13	${\ Displaystyle - {\ Frac {f (13)} {f (1) ^ {2}}}}$
4	${\ Displaystyle {\ Frac {f (2) ^ {2} -f (1) f (4)} {f (1) ^ {3}}}}$	9	${\ Displaystyle {\ Frac {f (3) ^ {2} -f (1) f (9)} {f (1) ^ {3}}}}$	14	${\ Displaystyle {\ Frac {2f (2) f (7) -f (1) f (14)} {f (1)^{3}}}}$
5	${\ Displaystyle - {\ Frac {f (5)} {f (1) ^ {2}}}}$	10	${\ Displaystyle {\ Frac {2f (2) f (5) -f (1) f (10)} {f (1)^{3}}}}$	15	${\ Displaystyle {\ Frac {2f (3) f (5) -f (1) f (15)} {f (1)^{3}}}}$
6	${\ Displaystyle {\ Frac {2f (2) f (3) -f (1) f (6)} {f (1)^{3}}}}$	11	${\ Displaystyle - {\ Frac {f (11)} {f (1) ^ {2}}}}$	16	${\ Displaystyle {\ Frac {f (2) ^ {4}} {f (1) ^ {5}}} - {\ Frac {3f (4) f (2) ^ {2 }}{f(1)^{4}}}+{\frac {f(4)^{2}+2f(2)f(8)}{f(1)^{3}}}-{\ ułamek {f(16)}{f(1)^{2}}}}$

Niech ${\ Displaystyle p_ {k} (n): = p (nk)}$ gdzie p jest funkcją podziału (teoria liczb) . Następnie istnieje inne wyrażenie na odwrotność Dirichleta podane w kategoriach powyższych funkcji i współczynników symbolu q-Pochhammera dla ${\ displaystyle n> 1}$ podane przez n > 1 {\ displaystyle n> 1}

${\ Displaystyle f ^ {-1} (n) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} \ lewo [(p_ {k} \ ast \ mu) (n) + (p_ {k} \ ast D_ {f}\ast \mu )(n)\right]\times [q^{k-1}]{\frac {(q;q)_{\infty}}{1-q}}.}$

Zobacz też

• Podsumowanie
• Seria dzwonków
• Lista szeregów matematycznych

Notatki

•   Apostoł T. (1976). Wprowadzenie do analitycznej teorii liczb . Nowy Jork: Springer. ISBN 0-387-90163-9 .
• Cyfrowa biblioteka funkcji matematycznych (DLMF) . NIST. 2018 . Źródło 24 kwietnia 2018 r .
• Tao, Terren. „Splot Dirichleta: co nowego?” .