Topologia miotły całkowitoliczbowej
W topologii ogólnej , gałęzi matematyki , topologia całkowitoliczbowa miotły jest przykładem topologii na tak zwanej przestrzeni całkowitoliczbowej miotły X.
Definicja przestrzeni miotły całkowitej
Całkowitoliczbowa przestrzeń miotły X jest podzbiorem płaszczyzny R 2 . Załóżmy, że płaszczyzna jest sparametryzowana współrzędnymi biegunowymi . Miotła całkowita zawiera początek i punkty ( n , θ) ∈ R 2 takie, że n jest nieujemną liczbą całkowitą i θ ∈ {1/ k : k ∈ Z + }, gdzie Z + jest zbiorem dodatnich liczb całkowitych. Obraz po prawej stronie przedstawia ilustrację dla 0 ≤ n ≤ 5 i 1/15 ≤ θ ≤ 1 . Geometrycznie przestrzeń składa się ze zbioru ciągów zbieżnych . Dla ustalonego n mamy ciąg punktów − leżących na okręgu o środku (0, 0) i promieniu n − zbieżnym do punktu ( n , 0).
Definicja topologii miotły całkowitej
Definiujemy topologię na X za pomocą topologii produktu . Przestrzeń miotły całkowitej jest określona przez współrzędne biegunowe
Dla uproszczenia napiszmy ( n ,θ) ∈ U × V. Topologia miotły całkowitej na X jest topologią iloczynu indukowaną przez nadanie U topologii odpowiedniego rzędu , a V topologii podprzestrzeni z R.
Nieruchomości
Przestrzeń miotły całkowitej, wraz z topologią miotły całkowitej, jest zwartą przestrzenią topologiczną . Jest to przestrzeń T 0 , ale nie jest to ani przestrzeń T1 , ani przestrzeń Hausdorffa . Przestrzeń jest połączona ścieżką , podczas gdy nie jest połączona lokalnie ani połączona łukowo .