Trajektoria (mechanika płynów)

W mechanice płynów , meteorologii i oceanografii trajektoria śledzi ruch pojedynczego punktu, często zwanego działką , w przepływie.

Trajektorie są przydatne do śledzenia zanieczyszczeń atmosferycznych, takich jak smugi dymu, oraz jako składniki symulacji Lagrange'a , takich jak adwekcja konturowa lub schematy semi-Lagrange'a .

Załóżmy, że mamy zmienne w czasie pole przepływu, ${\ Displaystyle {\ vec {v}} ({\ vec {x}}, ~ t)}$ . Ruch płynnej paczki lub trajektorii jest określony przez następujący układ równań różniczkowych zwyczajnych :

${\ Displaystyle {\ Frac {d {\ vec {x}}} {dt}} = {\ vec {v}} ({\ vec {x}} ,~t)}$

Chociaż równanie wygląda na proste, istnieją co najmniej trzy problemy przy próbie rozwiązania go numerycznie . Pierwszym z nich jest schemat integracji . Jest to zazwyczaj Runge-Kutta , chociaż inne mogą być również przydatne, na przykład żaba przeskakująca . $danej$ metoda określania wektora prędkości $.$ i czasu , t Zwykle nie jest znany we wszystkich pozycjach i czasach, dlatego niektóre metody wymagana jest interpolacja . Jeśli prędkości są ułożone w siatkę w przestrzeni i czasie, odpowiednia jest dwuliniowa , trójliniowa lub wielowymiarowa interpolacja liniowa. Bicubic , tricubic , itp., Stosowana jest również interpolacja, ale prawdopodobnie nie jest warta dodatkowego obciążenia obliczeniowego .

Pola prędkości można określić za pomocą pomiarów, np. z balonów meteorologicznych , z modeli numerycznych lub zwłaszcza z kombinacji tych dwóch, np. modeli asymilacyjnych .

Ostatnim problemem są poprawki metryczne. Są one niezbędne do geofizycznego przepływu płynów na kulistej Ziemi. Równania różniczkowe do śledzenia dwuwymiarowej trajektorii atmosferycznej we współrzędnych długość-szerokość geograficzna są następujące:

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ teta} {dt}} = {\ Frac {u} {r \ cos \ phi}}} re$

$\ styl wyświetlania {\ frac {d \ fi} {dt}} = {\ frac {v} {r}}}$

gdzie i są odpowiednio długością i szerokością geograficzną w radianach $,$ r jest promieniem Ziemi , u jest wiatrem strefowym, a jest wiatrem $.$

Jednym z problemów związanych z tym sformułowaniem jest osobliwość biegunowa: zauważ, jak mianownik w pierwszym równaniu dąży do zera, gdy szerokość geograficzna wynosi 90 stopni — plus lub minus. Jednym ze sposobów przezwyciężenia tego jest użycie lokalnie kartezjańskiego układu współrzędnych w pobliżu biegunów. Innym jest wykonanie całkowania na parze równoodległych projekcji azymutalnych — jednej dla półkuli północnej i jednej dla półkuli południowej.

Trajektorie mogą być sprawdzane przez balony w atmosferze i boje w oceanie .

Linki zewnętrzne

• ctraj : Integrator trajektorii napisany w C++.