Twierdzenie 2 π
W matematyce twierdzenie Gromowa i Thurstona o 2 π określa warunek wystarczający, aby wypełnienie Dehna na wierzchołkowej hiperbolicznej 3-rozmaitości dało w wyniku ujemnie zakrzywioną 3-rozmaitość.
Niech M będzie wierzchołkową hiperboliczną 3-rozmaitością. Można wybrać rozłączne horoball każdego wierzchołka. Granice tych sąsiedztw są ilorazami hosfer, a zatem mają metryki euklidesowe. Nachylenie, tj. niezorientowana klasa izotopów prostych krzywych zamkniętych na tych granicach, ma zatem dobrze określoną długość, biorąc pod uwagę minimalną długość euklidesową na wszystkich krzywych w klasie izotopów. Twierdzenie 2 π stwierdza: wypełnienie Dehna M z każdym nachyleniem wypełnienia większym niż 2 π daje w wyniku 3-rozmaitość z pełną metryką ujemnej krzywizny przekroju. W rzeczywistości ta metryka może być wybrana tak, aby była identyczna z oryginalną metryką hiperboliczną poza sąsiedztwem horoball.
Podstawową ideą dowodu jest jawne skonstruowanie ujemnie zakrzywionej metryki wewnątrz każdego sąsiedztwa horoball, która pasuje do metryki w pobliżu horosferycznej granicy. Ta konstrukcja, wykorzystująca współrzędne cylindryczne, działa, gdy nachylenie wypełnienia jest większe niż 2 π . Patrz Bleiler i Hodgson (1996) , aby uzyskać szczegółowe informacje.
Zgodnie z hipotezą geometryzacji , te ujemnie zakrzywione 3-rozmaitości muszą w rzeczywistości dopuszczać pełną metrykę hiperboliczną. Argument dotyczący upakowania horoball ze względu na Thurstona pokazuje, że na każdym wierzchołku jest co najwyżej 48 zboczy, których należy unikać, aby uzyskać hiperboliczną 3-rozmaitość. W przypadku 3-rozmaitości hiperbolicznych z jednym wierzchołkiem ulepszenie wprowadzone przez Colina Adamsa daje 24 wyjątkowe nachylenia.
Wynik ten został później niezależnie poprawiony przez Iana Agola ( 2000 ) i Marca Lackenby'ego ( 2000 ) za pomocą twierdzenia o 6 . „Twierdzenie o 6” mówi, że wypełnianie Dehna wzdłuż zboczy o długości większej niż 6 daje hiperboliczną 3-rozmaitość, tj. nieredukowalną , atoroidalną , nie -włóknistą 3-rozmaitość z nieskończoną hiperboliczną podstawową grupą słów . Jeszcze raz zakładając hipotezę geometryzacji , te rozmaitości mają pełną metrykę hiperboliczną. Z argumentu Agola wynika, że jest co najwyżej 12 wyjątkowych tras zjazdowych.
- Agol, Ian (2000), „Granice wyjątkowego wypełnienia Dehna”, Geometry & Topology , 40 : 431–449, arXiv : math / 9906183 , doi : 10.2140/gt.2000.4.431 , MR 1799796 .
- Bleiler, Steven A.; Hodgson, Craig D. (1996), „Formy przestrzeni sferycznej i wypełnienie Dehna”, Topologia , 35 (3): 809–833, doi : 10.1016/0040-9383 (95) 00040-2 , MR 1396779 .
- Lackenby, Marc (2000), „Word hiperboliczna chirurgia Dehna” , Inventiones Mathematicae , 140 (2): 243–282, arXiv : math / 9808120 , Bibcode : 2000InMat.140..243L , doi : 10.1007 / s002220000047 , MR 175 6996 .