Twierdzenie Babuški – Laxa – Milgrama

W matematyce twierdzenie Babuški – Laxa – Milgrama jest uogólnieniem słynnego twierdzenia Laxa – Milgrama , które podaje warunki, w których postać dwuliniowa może zostać „odwrócona”, aby pokazać istnienie i niepowtarzalność słabego rozwiązania danego problemu z wartościami brzegowymi . Wynik został nazwany na cześć matematyków Ivo Babuški , Petera Laxa i Arthura Milgrama .

Tło

We współczesnym, funkcjonalno-analitycznym podejściu do badania równań różniczkowych cząstkowych nie podejmuje się prób bezpośredniego rozwiązania danego równania różniczkowego cząstkowego, lecz wykorzystując strukturę przestrzeni wektorowej możliwych rozwiązań, np. przestrzeń Sobolewa W ^{k , p} . Rozważmy abstrakcyjnie dwie rzeczywiste przestrzenie znormalizowane U i V z ich ciągłymi przestrzeniami podwójnymi odpowiednio U ^∗ i V ^{∗ .} W wielu zastosowaniach U jest przestrzenią możliwych rozwiązań; mając pewien operator różniczkowy cząstkowy Λ : U → V ^∗ i określony element f ∈ V ^∗ , celem jest znalezienie u ∈ U takiego , że

{\ Displaystyle \ Lambda u = f.}

Jednak w słabym sformułowaniu równanie to musi być spełnione tylko wtedy, gdy jest „testowane” względem wszystkich innych możliwych elementów V . To „testowanie” jest realizowane za pomocą funkcji dwuliniowej B : U × V → R , która koduje operator różniczkowy Λ; słabym rozwiązaniem problemu jest znalezienie u ∈ U takiego, że

{\ Displaystyle B (u, v) = \ langle f, v \ rangle {\ mbox {dla wszystkich}} v \ w V.}

Osiągnięciem Laxa i Milgrama w ich wyniku z 1954 r. było określenie wystarczających warunków, aby to słabe sformułowanie miało unikalne rozwiązanie, które zależy w sposób ciągły od określonego układu odniesienia f ∈ V ^∗ : wystarczy, że U = V jest przestrzenią Hilberta , że B jest ciągły, a B jest silnie koercyjny , tj

{\ Displaystyle | B (u, u) | \ geq c \ | u \ | ^ {2}}

dla pewnej stałej c > 0 i wszystkich u ∈ U .

Na przykład w rozwiązaniu równania Poissona na ograniczonej , otwartej domenie Ω ⊂ R ⁿ ,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} - \ Delta u (x) = f (x), & x \ w \ Omega; \\ u (x) = 0, & x \ w \ częściowe \ Omega; \ koniec {przypadków} }}

₀ przestrzeń U można by przyjąć jako przestrzeń Sobolewa H ¹ (Ω) z podwójnym H ⁻¹ (Ω); pierwsza jest podprzestrzenią przestrzeni L ^p V = L ² (Ω); postać dwuliniowa B związana z −Δ jest iloczynem wewnętrznym L ² (Ω) pochodnych:

{\ Displaystyle B (u, v) = \ int _ {\ Omega} \ nabla u (x) \ cdot \ nabla v (x) \ \ operatorname {d} x.}

Stąd słabe sformułowanie równania Poissona, przy danym f ∈ L ² (Ω), polega na znalezieniu u _f takiego, że

{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u_ {f} (x) \ cdot \ nabla v (x) \ \ operatorname {d} x = \ int _ {\ omega} f (x) v (x )\,\mathrm {d} x{\mbox{ dla wszystkich}}v\in H_{0}^{1}(\Omega).}

Stwierdzenie twierdzenia

W 1971 roku Babuška przedstawił następujące uogólnienie wcześniejszego wyniku Laxa i Milgrama, które zaczyna się od rezygnacji z wymogu, aby U i V były tą samą przestrzenią. Niech U i V będą dwiema rzeczywistymi przestrzeniami Hilberta i niech B : U × V → R będzie ciągłym funkcjonałem dwuliniowym. Załóżmy też, że B jest słabo koercyjne: dla pewnej stałej c > 0 i wszystkich u ∈ U ,