Zasada Harnacka

W dziedzinie matematycznej równań różniczkowych cząstkowych zasada Harnacka lub twierdzenie Harnacka jest następstwem nierówności Harnacka , która dotyczy zbieżności ciągów funkcji harmonicznych .

Dany jest ciąg $Rn funkcji$ harmonicznych $u 1, u 2, ...$ na otwartym połączonym podzbiorze $G$ przestrzeni euklidesowej , które są punktowo monotonicznie niemalejące w tym sensie, że

{\ Displaystyle u_ {1} (x) \ równoważnik u_ {2} (x) \ równoważnik \ kropki}

dla każdego punktu $x$ z $G$ , to granica

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} u_ {n} (x)}

automatycznie istnieje na rozszerzonej osi liczb rzeczywistych dla każdego $x$ . Twierdzenie Harnacka mówi, że granica albo jest nieskończona w każdym punkcie G $,$ albo jest skończona w każdym punkcie $G.$ W tym drugim przypadku zbieżność jest jednostajna na zbiorach zwartych , a granicą jest funkcja harmoniczna na $G$ .

Twierdzenie jest następstwem nierówności Harnacka. Jeśli $u n (y)$ jest ciągiem Cauchy'ego dla dowolnej określonej wartości $y$ , to nierówność Harnacka zastosowana do funkcji harmonicznej $u m - u n$ implikuje dla dowolnego zbioru zwartego $D$ zawierającego $y$ , że $sup D | u m - u n |$ jest dowolnie mały dla wystarczająco dużego $m$ i $n$ . To jest dokładnie definicja zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych. Innymi słowy, nierówność Harnacka jest narzędziem, które bezpośrednio propaguje właściwość Cauchy'ego sekwencji funkcji harmonicznych w jednym punkcie do właściwości Cauchy'ego we wszystkich punktach.

Po ustaleniu jednostajnej zbieżności na zbiorach zwartych, harmoniczność granicy jest bezpośrednim następstwem faktu, że właściwość wartości średniej (automatycznie zachowywana przez jednostajną zbieżność) w pełni charakteryzuje funkcje harmoniczne wśród funkcji ciągłych.

Dowód jednostajnej zbieżności na zbiorach zwartych równie dobrze sprawdza się dla dowolnego liniowego eliptycznego równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu , pod warunkiem, że jest ono liniowe tak, że $u m - u n$ rozwiązuje to samo równanie. Jedyna różnica polega na tym, że bardziej ogólna nierówność Harnacka należy zastosować trzymanie dla rozwiązań eliptycznego PDE drugiego rzędu, a nie tylko dla funkcji harmonicznych. Po ustaleniu jednolitej zbieżności na zbiorach zwartych właściwość wartości średniej nie jest dostępna w tym bardziej ogólnym ustawieniu, dlatego dowód zbieżności do nowego rozwiązania musi zamiast tego wykorzystywać inne narzędzia, takie jak oszacowania Schaudera .

Źródła

Courant, R .; Hilbert, D. (1962). Metody fizyki matematycznej. Tom II: Równania różniczkowe cząstkowe . Nowy Jork – Londyn: Wydawcy Interscience . doi : 10.1002/9783527617234 . ISBN 9780471504399 . MR 0140802 . Zbl 0099.29504 .
Gilbarg, Dawid ; Trudinger, Neil S. (2001). Eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu . Classics in Mathematics (Przedruk z 1998 r.). Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-61798-0 . ISBN 3-540-41160-7 . MR 1814364 . Zbl 1042.35002 .
Protter, Murray H .; Weinberger, Hans F. (1984). Maksymalne zasady w równaniach różniczkowych (poprawiony przedruk oryginalnego wydania z 1967 r.). Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4612-5282-5 . ISBN 0-387-96068-6 . MR 0762825 . Zbl 0549.35002 .

Linki zewnętrzne

Kamynin, LI (2001) [1994], „Twierdzenie Harnacka” , Encyklopedia matematyki , EMS Press