Twierdzenie Hartmana-Grobmana

W matematyce , w badaniu układów dynamicznych , twierdzenie Hartmana – Grobmana lub twierdzenie o linearyzacji jest twierdzeniem o lokalnym zachowaniu układów dynamicznych w sąsiedztwie hiperbolicznego punktu równowagi . Twierdzi, że linearyzacja — naturalne uproszczenie systemu — jest skuteczna w przewidywaniu jakościowych wzorców zachowań. Twierdzenie zawdzięcza swoją nazwę Philipowi Hartmanowi i Davidowi M. Grobmanowi.

Twierdzenie stwierdza, że zachowanie układu dynamicznego w dziedzinie w pobliżu hiperbolicznego punktu równowagi jest jakościowo takie samo, jak zachowanie jego linearyzacji w pobliżu tego punktu równowagi, gdzie hiperboliczność oznacza, że żadna wartość własna linearyzacji nie ma części rzeczywistej równej zeru. Dlatego mając do czynienia z takimi układami dynamicznymi, można zastosować prostszą linearyzację układu do analizy jego zachowania wokół równowag.

Główne twierdzenie

${ \ displaystyle du / dt = f (u)}$ system ewoluujący w $który$ różniczkowe dla jakiejś gładkiej mapy ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Załóżmy, że mapa ma stan równowagi hiperbolicznej ${\ Displaystyle u ^ {*} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ : czyli ${\ Displaystyle f (u ^ {*}) = 0}$ i macierz jakobianu ${\ Displaystyle A = [\ częściowe f_ {i} / \ częściowe x_ {j}]}$ w stanie ${\ Displaystyle f}$ w stanie ${\ Displaystyle u ^{*}}$ nie ma wartości własnej z częścią rzeczywistą równą zeru. Wtedy istnieje sąsiedztwo równowagi i homeomorfizm. $}}$ $^$ $N$ $\ do \ mathbb {R}$ , takie, że $,$ $\ Displaystyle h (u ^ {*}) = 0}$ i że w sąsiedztwie przepływ re ${\ Displaystyle du / dt = f (u)}$ jest topologicznie sprzężony przez ciągłą mapę ${\ Displaystyle U = h (u)}$ do przepływu jego linearyzacji ${\ Displaystyle dU / dt = AU}$ .

$w przypadku$ $różniczkowalnych$ map homeomorfizm nie musi być gładki, ani nawet lokalnie Lipschitz. Okazuje się jednak, że Hölder jest ciągły , z wykładnikiem zależnym od stałej hiperboliczności ZA $\ displaystyle A}$ .

Twierdzenie Hartmana-Grobmana zostało rozszerzone na nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha, systemy nieautonomiczne ( potencjalnie stochastyczne) , ${\ Displaystyle du / dt = f (u, t)}$ oraz uwzględnienie różnic topologicznych, które występują, gdy istnieją wartości własne z zerową lub bliską zeru częścią rzeczywistą.

Przykład

Algebrę potrzebną w tym przykładzie można łatwo wykonać za pomocą usługi sieciowej, która oblicza transformaty współrzędnych postaci normalnej układów równań różniczkowych, autonomicznych lub nieautonomicznych, deterministycznych lub stochastycznych .

Rozważmy system 2D w zmiennych ewoluujący zgodnie z parą sprzężonych równań różniczkowych ${\ Displaystyle u = (y, z)}$

{\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dt}} = -3y + yz \ quad {\ tekst {i}} \ quad {\ Frac {dz} {dt}} = z + y ^ {2}.}

Z bezpośrednich obliczeń widać, że jedyna równowaga tego systemu leży u źródła, czyli ${\ displaystyle u ^ {*} = 0}$ . Transformacja współrzędnych, gdzie ${\ Displaystyle U = (Y, Z)}$ ${ -$ }

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y & \ około Y + YZ + {\ dfrac { 1}{42}}Y^{3}+{\dfrac {1}{2}}YZ^{2}\\[5pt]z&\około Z-{\dfrac {1}{7}}Y^{ 2}-{\dfrac {1}{3}}Y^{2}Z\end{wyrównane}}}

$,$ $_$ oryginalnymi a _ równowaga na początku. W nowych współrzędnych układ dynamiczny przechodzi do swojej linearyzacji

{\ Displaystyle {\ Frac {dY} {dt}} = -3Y \ quad {\ tekst {i}} \ quad {\ Frac {dZ} {dt}} = Z.}

Oznacza to, że zniekształcona wersja linearyzacji daje pierwotną dynamikę w pewnym skończonym sąsiedztwie.

Zobacz też

Dalsza lektura

Irwin, Michael C. (2001). „linearyzacja” . Gładkie układy dynamiczne . Świat naukowy. s. 109–142. ISBN 981-02-4599-8 .
Perko, Lawrence (2001). Równania różniczkowe i systemy dynamiczne (wyd. Trzecie). Nowy Jork: Springer. s. 119–127. ISBN 0-387-95116-4 .
Robinson, Clark (1995). Systemy dynamiczne: stabilność, dynamika symboliczna i chaos . Boca Raton: CRC Press. s. 156–165. ISBN 0-8493-8493-1 .

Linki zewnętrzne

Coayla-Teran, E.; Mohammed, S.; Ruffino, P. (luty 2007). „Twierdzenia Hartmana – Grobmana wzdłuż hiperbolicznych trajektorii stacjonarnych” . Dyskretne i ciągłe układy dynamiczne . 17 (2): 281–292. doi : 10.3934/dcds.2007.17.281 .
Teschl, Gerald (2012). Równania różniczkowe zwyczajne i układy dynamiczne . Providence : Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
„Najbardziej uzależniające twierdzenie w matematyce stosowanej” . Naukowy Amerykanin .