Twierdzenie Kuipera

  W matematyce twierdzenie Kuipera (za Nicolaasem Kuiperem ) jest wynikiem topologii operatorów na nieskończenie wymiarowej, zespolonej przestrzeni Hilberta H . Stwierdza, że ​​przestrzeń GL( H ) odwracalnych ograniczonych endomorfizmów H jest taka, że ​​wszystkie odwzorowania od dowolnego skończonego zespołu Y do GL( H ) są homotopijne ze stałą dla topologii norm na operatorach .

Znaczącym wnioskiem, zwanym także twierdzeniem Kuipera , jest to, że grupa ta jest słabo kurczliwa , tj. wszystkie jego grupy homotopii są trywialne. Wynik ten ma ważne zastosowania w topologicznej K-teorii .

Ogólna topologia ogólnej grupy liniowej

Dla skończonego wymiaru H , ta grupa byłaby złożoną ogólną grupą liniową i wcale nie jest kurczliwa. W rzeczywistości jest homotopią równoważną swojej maksymalnie zwartej podgrupie , unitarnej grupie U ( H) . Dowodem na to, że złożona ogólna grupa liniowa i grupa unitarna mają ten sam typ homotopii , jest proces Grama-Schmidta lub rozkład biegunowy macierzy i przenosi się do nieskończenie wymiarowego przypadku rozdzielnej przestrzeni Hilberta , głównie dlatego, że przestrzeń górnych macierzy trójkątnych jest kurczliwa, co widać dość wyraźnie. Podstawowym zjawiskiem jest to, że przejście do nieskończenie wielu wymiarów powoduje zanik dużej części topologicznej złożoności grup unitarnych; ale zobacz sekcję o grupie unitarnej Botta, gdzie przejście do nieskończoności jest bardziej ograniczone, a powstała grupa ma nietrywialne grupy homotopii.

Kontekst historyczny i topologia sfer

Zaskakujący jest fakt, że sfera jednostkowa , czasami oznaczana jako S ^∞ , w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta H jest przestrzenią kurczliwą , podczas gdy żadne sfery skończenie wymiarowe nie są kurczliwe. Wynik ten, z pewnością znany dziesiątki lat wcześniej niż Kuiper, może mieć status matematycznego folkloru , ale jest dość często cytowany. W rzeczywistości więcej jest prawdą: S ^∞ jest dyfeomorficzny do H , który z pewnością jest kurczliwy dzięki swojej wypukłości. Jedną z konsekwencji jest to, że istnieją płynne kontrprzykłady rozszerzenia twierdzenia Brouwera o punkcie stałym na kulę jednostkową w H . Istnienie takich kontrprzykładów, które są homeomorfizmami , wykazał w 1943 roku Shizuo Kakutani , który być może jako pierwszy spisał dowód kurczliwości sfery jednostkowej. Ale wynik był i tak zasadniczo znany (w 1935 r. Andriej Nikołajewicz Tychonow wykazał, że kula jednostkowa jest cofnięciem kuli jednostkowej).

Wynik na grupie operatorów ograniczonych został udowodniony przez holenderskiego matematyka Nicolaasa Kuipera dla przypadku rozdzielnej przestrzeni Hilberta; ograniczenie rozdzielności zostało później zniesione. Ten sam wynik, ale dla silnej topologii operatora, a nie topologii normy, został opublikowany w 1963 roku przez Jacquesa Dixmiera i Adriena Douady'ego . Geometryczny związek sfery i grupy operatorów polega na tym, że sfera jednostkowa jest przestrzenią jednorodną dla grupy unitarnej U . Stabilizator pojedynczego wektora v sfery jednostkowej jest jednostkową grupą dopełnienia ortogonalnego v ; dlatego długa dokładna sekwencja homotopii przewiduje, że wszystkie grupy homotopii sfery jednostkowej będą trywialne. Pokazuje to ścisły związek topologiczny, ale samo w sobie nie jest wystarczające, ponieważ włączenie punktu będzie słabą równoważnością homotopii , a to implikuje kurczliwość bezpośrednio tylko dla kompleksu CW . W artykule opublikowanym dwa lata po Kuipera Richard Palais przedstawił wyniki techniczne dotyczące nieskończenie wymiarowych rozmaitości wystarczające do rozwiązania tego problemu.

Grupa unitarna Botta

Istnieje inna nieskończenie wymiarowa grupa unitarna, która ma duże znaczenie w teorii homotopii , ta, do której odnosi się twierdzenie Botta o okresowości . Na pewno nie jest kurczliwy. Różnicę od grupy Kuipera można wyjaśnić: grupa Botta to podgrupa, w której dany operator działa nietrywialnie tylko na podprzestrzeni rozpiętej przez pierwsze N ​​ustalonej bazy ortonormalnej { e i }, dla pewnego N _, będącego tożsamością na pozostałe wektory bazowe.

Aplikacje

Bezpośrednią konsekwencją, biorąc pod uwagę ogólną teorię wiązek włókien , jest to, że każda wiązka Hilberta jest wiązką trywialną .

Wynik dotyczący kurczliwości S ^∞ daje geometryczną konstrukcję przestrzeni klasyfikujących dla pewnych swobodnie działających na nią grup, takich jak grupa cykliczna z dwoma elementami i grupa kołowa . Unitarna grupa U w sensie Botta ma przestrzeń klasyfikującą BU dla zespolonych wiązek wektorowych (patrz Klasyfikowanie przestrzeni dla U(n) ). Głębszym zastosowaniem wywodzącym się z twierdzenia Kuipera jest dowód twierdzenia Atiyaha – Jänicha (za Klausem Jänichem i Michaelem Atiyah ), stwierdzając, że przestrzeń operatorów Fredholma na H , z topologią normową, reprezentuje funktor K (.) topologicznej (zespolonej) K-teorii w sensie teorii homotopii. To jest podane przez Atiyah.

Przypadek przestrzeni Banacha

To samo pytanie można postawić w odniesieniu do operatorów odwracalnych w dowolnej przestrzeni Banacha o nieskończonym wymiarze. Tutaj są tylko częściowe wyniki. Niektóre klasyczne przestrzenie sekwencji mają tę samą właściwość, a mianowicie, że grupa operatorów odwracalnych jest skracalna. Z drugiej strony znane są przykłady, w których nie jest to spójna przestrzeń . Tam, gdzie wiadomo, że wszystkie grupy homotopii są trywialne, kurczliwość w niektórych przypadkach może pozostać nieznana.

• Kuiper, N. (1965). „Typ homotopii grupy unitarnej przestrzeni Hilberta” . Topologia . 3 (1): 19–30. doi : 10.1016/0040-9383(65)90067-4 .