Twierdzenie Lefschetza o (1,1)-klasach

W geometrii algebraicznej , gałęzi matematyki , twierdzenie Lefschetza o (1,1) -klasach , nazwane na cześć Solomona Lefschetza , jest klasycznym stwierdzeniem odnoszącym holomorficzne wiązki linii na zwartej rozmaitości Kählera do klas w jej integralnej kohomologii . Jest to jedyny przypadek hipotezy Hodge'a , który został udowodniony dla wszystkich rozmaitości Kählera.

Stwierdzenie twierdzenia

Niech X będzie zwartą rozmaitością Kählera. Pierwsza klasa Cherna c ₁ daje mapę od holomorficznych wiązek linii do H ² ( X , Z ) . Zgodnie z teorią Hodge'a grupa kohomologiczna de Rhama H ² ( X , C ) rozkłada się jako suma bezpośrednia 1,1 ^H 0,2 ⁽ X ) ⊕ H ( X ) ⊕ H ^2,0 ( X ) i można udowodnić, że obraz c ₁ leży w H ^1,1 ( X ). Twierdzenie mówi, że odwzorowanie na H ² ( X , Z ) ∩ H ^1,1 ( X ) jest suriekcyjne.

W szczególnym przypadku, gdy X jest rozmaitością rzutową , holomorficzne wiązki linii są w bijekcji z klasą dzielników równoważności liniowych , a biorąc pod uwagę dzielnik D na X z powiązaną wiązką linii O(D) , klasa c ₁ ( O(D) ) jest Poincaré dualny do klasy homologii podanej przez D . W ten sposób ustanawia się zwykłe sformułowanie hipotezy Hodge'a dla dzielników w rozmaitościach rzutowych.

Dowód przy użyciu normalnych funkcji

Oryginalny dowód Lefschetza działał na powierzchniach rzutowych i wykorzystywał normalne funkcje, które zostały wprowadzone przez Poincaré. Załóżmy, że C _t jest ołówkiem krzywych na X . Każda z tych krzywych ma rozmaitość jakobianu JC _t (jeśli krzywa jest pojedyncza, istnieje odpowiednia uogólniona rozmaitość jakobianu). Można je złożyć w rodzinę $,$ jakobian ołówka, który jest dostarczany z mapą projekcji π do podstawy ołówka . Normalna funkcja jest (holomorficznym) przekrojem π.

₀ Ustal osadzenie X w P ^N i wybierz ołówek krzywych C _t na X . Dla ustalonej krzywej Γ na X , przecięcie Γ i C _t jest dzielnikiem p ₁ ( t ) + ... + p _d ( t ) na C _t , gdzie d jest stopniem X . Ustal punkt bazowy p ołówka. Wtedy dzielnik p ₁ ( t ) + ... + p _d ( t ) − dp ₀ jest dzielnikiem stopnia zero, aw konsekwencji wyznacza klasę ν _Γ ( t ) w jakobianowym JC _t dla wszystkich t . Odwzorowanie od t do ν _Γ ( t ) jest funkcją normalną.

Henri Poincaré udowodnił, że dla ogólnego ołówka krzywych wszystkie normalne funkcje powstają jako ν _Γ ( t ) dla pewnego wyboru Γ. Lefschetz udowodnił, że każda funkcja normalna określa klasę w H ² ( X , Z ) i że klasa ν _Γ jest podstawową klasą Γ. Ponadto udowodnił, że klasa w H ² ( X , Z ) jest klasą funkcji normalnej wtedy i tylko wtedy, gdy leży w H ^1,1 . Wraz z twierdzeniem Poincarégo o istnieniu jest to dowodem twierdzenia o klasach (1,1).

Dowód za pomocą kohomologii snopów

Ponieważ X jest złożoną rozmaitością, dopuszcza wykładniczą sekwencję snopów

${\ Displaystyle 0 \ do {\ podkreślenie {\ mathbf {Z}}} {\ stackrel {2 \ pi i} {\ longrightarrow}}} {\ mathcal {O}}_{X}{\stackrel {\operatorname {exp}}} {\longrightarrow}}{\mathcal {O}}_{X}^{\razy}\do 0.}$

Przyjęcie kohomologii snopów tej dokładnej sekwencji daje mapy

${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {\ razy}) {\ stackrel {c_ {1}} {\ do}} H ^ {2} (X, \mathbf {Z} ){\stackrel {i_{*}}{\to }}H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}).}$

Grupa Pic X wiązek linii na X jest izomorficzna z ${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {\ razy})}$ . Pierwsza mapa klas Cherna to c ₁ , więc wystarczy pokazać, że i _* wynosi zero.

Ponieważ X to Kähler, teoria Hodge'a implikuje, że ${\ Displaystyle H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) \ cong H ^{0,2}(X)}$ . Jednak i _* rozkłada czynniki na mapie od H ² ( X , Z ) do H ² ( X , C ) i na H ² ( X , C ), i _* jest ograniczeniem rzutu na H ^0,2 ( X ). Wynika z tego, że jest zero na H ² ( X , Z ) ∩ H ^1,1 ( X ) , aw konsekwencji mapa klas cykli jest surjekcją.

Bibliografia

• Griffiths, Phillip ; Harris , Joseph (1994), Zasady geometrii algebraicznej , Wiley Classics Library , New York: John Wiley & Sons   
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (w języku francuskim), Paris: Gauthier-Villars Reprinted in    Lefschetz, Solomon (1971), Selected papers , Nowy Jork: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7 , MR 0299447