Twierdzenie Lindelöfa

W matematyce twierdzenie Lindelöfa jest wynikiem złożonej analizy nazwanej na cześć fińskiego matematyka Ernsta Leonarda Lindelöfa . Stwierdza, że funkcja holomorficzna na półpasku w płaszczyźnie zespolonej , która jest ograniczona na granicy paska i nie rośnie „zbyt szybko” w nieograniczonym kierunku paska, musi pozostać ograniczona na całym pasku. Wynik jest przydatny w badaniu funkcji zeta Riemanna i jest szczególnym przypadkiem zasady Phragména – Lindelöfa . Zobacz także twierdzenie Hadamarda o trzech liniach .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech Ω będzie półpaskiem na płaszczyźnie zespolonej:

{\ Displaystyle \ Omega = \ {z \ in \ mathbb {C} | x_ {1} \ równoważnik \ operatorname {Re} (z) \ równoważnik x_ {2} {\ tekst {i}} \ operatorname {Im} ( z)\geq y_{0}\}\subsetneq \mathbb {C} .\,}

Załóżmy, że ƒ jest holomorficzne (tj. analityczne ) na Ω i że istnieją stałe M , A i B takie, że

{\ Displaystyle | f (z) | \ równoważnik M {\ tekst {dla wszystkich}} z \ w \ częściowe \ Omega \,}

I

{\ Displaystyle {\ Frac {| f (x + iy) |} {y ^ {A}}} \ równoważnik B {\ tekst {dla wszystkich}} x + iy \ w \ Omega. \,}

Wtedy f jest ograniczone przez M na całym Ω:

{\ Displaystyle | f (z) | \ równoważnik M {\ tekst {dla wszystkich}} z \ w \ Omega. \,}

Dowód

$_$ punkt $Displaystyle$ Omega } Wybierz liczbę całkowitą ${\ Displaystyle \ lambda > -y_ {0}}$ , liczbę całkowitą taką, że ${\ Displaystyle N> A}$ i ${\ Displaystyle y_ {1}> \ tau}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {By_ {1} ^ {A}} {(y_ {1} + \ lambda) ^ {N}}} \ równoważnik {\ Frac {M }{(y_{0}+\lambda )^{N}}}}$ . Zastosowanie zasady maksymalnego modułu do funkcji ${\ Displaystyle g (z) = {\ Frac {f (z)} {(z + i \ lambda) ^ { N}}}}$ i pole prostokątne ${\ Displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C} | x_ {1} \ równoważnik \ operatorname {Re} (z )\leq x_{2}{\text{ i }}y_{0}\leq \mathrm {Im} (z)\leq y_{1}\}}$ otrzymujemy ${\ Displaystyle | g (\ xi) | \ równoważnik {\ Frac {M} {(y_ {0} + \ lambda) ^ {N}}}},$ czyli ${\ Displaystyle | f (\ xi) | \ równoważnik M \ lewo ({\ Frac {|\ xi + \ lambda |} {y_ {0} + \ lambda} }\right)^{N}}$ . Pozwalając plony ${\ Displaystyle \ lambda \ rightarrow + \ infty$ ${\ Displaystyle | f (\ xi) | \ równoważnik M}$ zgodnie z wymaganiami.

Edwards, HM (2001). Funkcja Zeta Riemanna . Nowy Jork, NY: Dover. ISBN 0-486-41740-9 .