Twierdzenie Linnika

Twierdzenie Linnika w analitycznej teorii liczb odpowiada na naturalne pytanie po twierdzeniu Dirichleta o postępach arytmetycznych . Twierdzi, że istnieją dodatnie c i L takie, że jeśli oznaczymy p( a , d ) najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu arytmetycznym

${\ Displaystyle a + nd, \}$

gdzie n przebiega przez dodatnie liczby całkowite , a a i d są dowolnymi dodatnimi liczbami całkowitymi względnie pierwszymi z 1 ≤ a ≤ d - 1, to:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {p} (a, d) <cd ^ {L}. \;}$

Twierdzenie nosi imię Jurija Władimirowicza Linnika , który udowodnił je w 1944 roku. Chociaż dowód Linnika wykazał, że c i L są efektywnie obliczalne , nie podał dla nich żadnych wartości liczbowych.

twierdzenia Zsigmondy'ego wynika , że ​​p(1, d ) ≤ 2 ^d − 1, dla wszystkich d ≥ 3. Wiadomo, że p(1, p ) ≤ L _p , dla wszystkich liczb pierwszych p ≥ 5, ponieważ L _p jest przystające do 1 modulo p dla wszystkich liczb pierwszych p , gdzie L _p oznacza p -tą liczbę Lucasa . Podobnie jak liczby Mersenne'a , liczby Lucasa z indeksami pierwszymi mają dzielniki postaci 2 kp +1.

Nieruchomości

Wiadomo, że L ≤ 2 dla prawie wszystkich liczb całkowitych d .

Na podstawie uogólnionej hipotezy Riemanna można to wykazać

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {p} (a, d) \ równoważnik (1 + o (1) )\varphi (d)^{2}(\log d)^{2}\;,}$

gdzie $totient$ funkcją i silniejszym ograniczeniem

${\ Displaystyle \ operatorname {p} (a, d) \ równoważnik \ varphi (d) ^ {2} (\ log d) ^ {2}\;,}$

zostało również udowodnione.

Przypuszcza się również, że:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {p} (a, d) <d ^ {2}. \;}$

Granice dla L

Stała L nazywana jest stałą Linnika , a poniższa tabela pokazuje postęp, jaki poczyniono w określaniu jej wielkości.

L ≤	Rok publikacji	Autor
10000	1957	Patelnia
5448	1958	Patelnia
777	1965	Chen
630	1971	Jutila
550	1970	Jutila
168	1977	Chen
80	1977	Jutila
36	1977	Grahama
20	1981	Graham (przesłane przed artykułem Chena z 1979 r.)
17	1979	Chen
16	1986	Wang
13,5	1989	Chena i Liu
8	1990	Wang
5.5	1992	Heath Brown
5.18	2009	Ksylouris
5	2011	Ksylouris

Co więcej, w wyniku Heath-Browna stała c jest efektywnie obliczalna.