Twierdzenie Loomana-Menchoffa

W matematycznej dziedzinie analizy zespolonej twierdzenie Loomana – Menchoffa stwierdza, że ciągła funkcja o wartościach zespolonych zdefiniowana w otwartym zbiorze płaszczyzny zespolonej jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równania Cauchy'ego – Riemanna . Jest to więc uogólnienie twierdzenia Édouarda Goursata , które zamiast zakładać ciągłość f , zakłada jej różniczkowalność Frécheta ^jest^traktowany jako funkcja z podzbioru od R2 do R2 .

Pełne zestawienie twierdzenia jest następujące:

Niech Ω będzie zbiorem otwartym w C i f : Ω → C będzie funkcją ciągłą. Załóżmy $,$ $_$ pochodne istnieją _ Wtedy f jest holomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równanie Cauchy'ego-Riemanna:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe {\ bar {z}}}} = {\ Frac {1} {2}} \left({\frac {\częściowy f}}{\częściowy x}}+i{\frac {\częściowy f}{\częściowy y}}\right)=0.}

Przykłady

Looman zwrócił uwagę, że funkcja określona przez f ( z ) = exp (− z ⁻⁴ ) dla z ≠ 0, f (0) = 0 spełnia wszędzie równania Cauchy'ego-Riemanna, ale nie jest analityczna (ani nawet ciągła) w z = 0. To pokazuje, że w twierdzeniu należy założyć, że funkcja f jest ciągła.

Funkcja dana przez f ( z ) = z ⁵ /| z | ⁴ dla z ≠ 0, f (0) = 0 jest ciągłe wszędzie i spełnia równania Cauchy'ego-Riemanna przy z = 0, ale nie jest analityczne przy z = 0 (ani nigdzie indziej). To pokazuje, że naiwne uogólnienie twierdzenia Loomana-Menchoffa do jednego punktu jest fałszywe :

Niech f będzie ciągłe w sąsiedztwie punktu z i takie, że istnieje w punkcie ${\ Displaystyle \ częściowe f/\ częściowe x}$ i ${\ Displaystyle \ częściowe f/\ częściowe y}$ z . Wtedy f jest holomorficzne w z wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równanie Cauchy'ego-Riemanna w z .

Szary, JD; Morris, SA (1978), „Kiedy jest funkcją, która spełnia analityczne równania Cauchy'ego-Riemanna?”, The American Mathematical Monthly (opublikowany w kwietniu 1978), 85 (4): 246–256, doi : 10.2307/2321164 , JSTOR 2321164 .
Looman, H. (1923), „Über die Cauchy – Riemannschen Differentialgleichungen”, Göttinger Nachrichten : 97–108 .
Menchoff, D. (1936), Warunki monogénéité , Paryż .
Montel, P. (1913), „Sur les différentielles totales et les funkctions monogènes”, CR Acad. nauka Paryż , 156 : 1820–1822 .
Narasimhan, Raghavan (2001), Analiza złożona w jednej zmiennej , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4164-5 .