Twierdzenie Millera

Twierdzenie Millera odnosi się do procesu tworzenia obwodów równoważnych . Twierdzi, że pływający element impedancji, zasilany przez dwa źródła napięcia połączone szeregowo, może zostać podzielony na dwa uziemione elementy o odpowiednich impedancjach. Istnieje również podwójne twierdzenie Millera dotyczące impedancji dostarczanej przez dwa źródła prądu połączone równolegle. Obie wersje są oparte na dwóch prawach obwodu Kirchhoffa .

Twierdzenia Millera to nie tylko czyste wyrażenia matematyczne. Układy te wyjaśniają ważne zjawiska obwodów związane z modyfikacją impedancji ( efekt Millera , wirtualna masa , ładowanie wstępne , impedancja ujemna itp.) ). Twierdzenia są przydatne w „analizie obwodów”, zwłaszcza do analizy obwodów ze sprzężeniem zwrotnym i niektórych wzmacniaczy tranzystorowych przy wysokich częstotliwościach.

Istnieje ścisły związek między twierdzeniem Millera a efektem Millera: twierdzenie można traktować jako uogólnienie efektu, a efekt jako szczególny przypadek twierdzenia.

Twierdzenie Millera (dla napięć)

Definicja

Twierdzenie Millera stwierdza, że w obwodzie liniowym, jeśli istnieje gałąź o impedancji $Displaystyle$ łącząca dwa węzły z napięciami węzłowymi i $V_ {1}}$ i ${\ Displaystyle V_ {2} }$ , możemy zastąpić tę gałąź dwoma gałęziami łączącymi odpowiednie węzły z ziemią odpowiednio przez impedancje ${\ Displaystyle {\ Frac {$ 1 $-K}}}$ , gdzie ${\ Displaystyle K = {\ Frac {V_ {2}} {V_ {1}}}$ } Twierdzenie Millera można udowodnić, stosując technikę równoważnej sieci z dwoma portami w celu zastąpienia dwuportowego jego odpowiednikiem oraz stosując twierdzenie o absorpcji źródła. Ta wersja twierdzenia Millera jest oparta na prawie napięcia Kirchhoffa ; z tego powodu jest również nazywany twierdzeniem Millera dla napięć .

Wyjaśnienie

Schemat nad twierdzeniem Millera

Z twierdzenia Millera wynika, że element impedancji jest zasilany przez dwa dowolne (niekoniecznie zależne) źródła napięcia, które są połączone szeregowo przez wspólną masę. W praktyce jedno z $} styl wyświetlania V_{2}=K{V_{1}}}$ działa jako główne (niezależne) źródło napięcia o napięciu, drugie jako dodatkowe (liniowo zależne) źródło napięcia o napięciu $displaystyle$ . Ideę twierdzenia Millera (modyfikowanie impedancji obwodu widzianej $z boku źródła$ się poniżej, porównując dwie sytuacje - bez iz podłączeniem dodatkowego źródła napięcia .

Gdyby było zero (nie było drugiego źródła napięcia lub prawy koniec elementu z impedancją $displaystyle V_ {2}}$ ${$ ), prąd wejściowy przepływający przez element byłby równy V 2 określone, zgodnie z prawem Ohma, tylko przez ${\ Displaystyle V_ {1}}$

{\ Displaystyle I_ {in0} = {\ Frac {V_ {1}} {Z}}}

a impedancja wejściowa obwodu będzie wynosić

{\ Displaystyle Z_ {in0} = {\ Frac {V_ {1}} {I_ {in0}}} = Z.}

Ponieważ dołączone jest drugie źródło napięcia, prąd wejściowy zależy od obu napięć. Zgodnie z jego polaryzacją, ${1}}$ odejmowana lub dodawana do $V_$ ; więc prąd wejściowy maleje/wzrasta

{\ Displaystyle I_ {w} = {\ Frac {V_ {1} -V_ {2}} {Z}}={\frac {(1-K)}{Z}}{V_{1}}={(1-K)}{I_{in0}}}

a impedancja wejściowa obwodu widziana od strony źródła wejściowego odpowiednio wzrasta/zmniejsza się

{\ Displaystyle Z_ {w} = {\ Frac {V_ {1}} {I_ {w}}} = {\ Frac {Z} {1-K}}.}

$podłączenie$ drugiego źródła napięcia o proporcjonalnym napięciu szeregowo napięcie efektywne , prąd i odpowiednio impedancja obwodu widziana od strony źródła wejściowego fakt, że . W zależności od polaryzacji, $przepuszczaniu$ prądu przez impedancję.

Oprócz przedstawienia kombinacji dwóch źródeł napięcia jako nowego złożonego źródła napięcia, twierdzenie to można wyjaśnić przez połączenie elementu rzeczywistego i drugiego źródła napięcia w nowy element wirtualny z dynamicznie modyfikowaną impedancją . Z tego punktu widzenia $.$ $to$ dodatkowe napięcie, które sztucznie zwiększa $/$ na w ten sposób zmniejszając/zwiększając prąd. Proporcja między napięciami określa wartość uzyskanej impedancji (patrz tabele poniżej) i daje w sumie sześć grup typowych zastosowań .

**Odejmując ${\ Displaystyle V_ {2}}$ od ${\ Displaystyle V_ {1}}$**
${\ Displaystyle V_ {2}}$ kontra ${\ Displaystyle V_ {1}}$	${\ displaystyle V_ {2} = 0}$	${\ Displaystyle 0 <V_ {2}<V_ {1}}$	${\ Displaystyle V_ {2} = V_ {1}}$	${\ Displaystyle V_ {2}> V_ {1}}$
Impedancja	normalna	zwiększony	nieskończony	ujemny z inwersją prądu

**Dodawanie ${\ Displaystyle V_ {2}}$ do ${\ Displaystyle V_ {1}}$**
${\ Displaystyle V_ {2}}$ kontra ${\ Displaystyle V_ {z}}$	${\ displaystyle V_ {2} = 0}$	${\ Displaystyle 0 <V_ {2}<V_ {z}}$	${\ Displaystyle V_ {2} = V_ {z}}$	${\ displaystyle V_ {2}> V_ {z}}$
Impedancja	normalna	zmniejszył się	zero	ujemny z odwróceniem napięcia

Impedancję obwodu, widzianą od strony źródła wyjściowego, można zdefiniować podobnie, jeśli napięcia i ${\ Displaystyle V_ {2}} zostaną zamienione$ ${\ Displaystyle V_$ a współczynnik $} displaystyle K}$ zostaje zastąpiony przez ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {K}}}$

{\ Displaystyle Z_ {in2} = {\ Frac {{K} {Z}} {K-1}}.}

Realizacja

Typowa implementacja twierdzenia Millera oparta na wzmacniaczu napięciowym single-ended

$się$ z elementu o impedancji między dwoma zaciskami uziemionej ogólnej sieci liniowej. Zwykle jako taką sieć liniową służy wzmacniacz napięciowy o wzmocnieniu $.$ potencjometr w potencjometrycznym mierniku zerowym , integrator elektromechaniczny (serwomechanizmy wykorzystujące potencjometryczne czujniki ze sprzężeniem zwrotnym) itp.

W implementacji wzmacniacza napięcie wejściowe służy jako $a$ ${\ displaystyle V_ {1}},$ napięcie wyjściowe jako $\ displaystyle V_ {o}}$ $\ displaystyle V_ {1}} V_{2}}$ . W wielu przypadkach źródło napięcia wejściowego ma pewną impedancję wewnętrzną $lub$ impedancja wejściowa, która w połączeniu z $displaystyle Z}$ , wprowadza informację zwrotną. W zależności od rodzaju wzmacniacza (nieodwracający, odwracający lub różnicowy) sprzężenie zwrotne może być dodatnie, ujemne lub mieszane.

Układ wzmacniacza Millera ma dwa aspekty:

wzmacniacz można traktować jako dodatkowe źródło napięcia przetwarzające impedancję rzeczywistą na impedancję wirtualną (wzmacniacz modyfikuje impedancję elementu rzeczywistego)
Impedancja wirtualna może być traktowana jako element podłączony równolegle do wejścia wzmacniacza (impedancja wirtualna modyfikuje impedancję wejściową wzmacniacza).

Aplikacje

Wprowadzenie impedancji łączącej porty wejściowe i wyjściowe wzmacniacza znacznie komplikuje proces analizy. Twierdzenie Millera pomaga zmniejszyć złożoność niektórych obwodów, szczególnie ze sprzężeniem zwrotnym, przekształcając je w prostsze równoważne obwody. Ale twierdzenie Millera jest nie tylko skutecznym narzędziem do tworzenia równoważnych obwodów; jest również potężnym narzędziem do projektowania i zrozumienia obwodów opartych na modyfikowaniu impedancji dodatkowym napięciem . W zależności od polaryzacji napięcia wyjściowego w stosunku do napięcia wejściowego oraz proporcji między ich wielkościami, istnieje sześć grup typowych sytuacji. W niektórych z nich zjawisko Millera pojawia się jako pożądane ( ładowanie początkowe ) lub niepożądane ( efekt Millera ) niezamierzone efekty; w innych przypadkach jest wprowadzany celowo.

$Displaystyle V_ {2}}$ oparte na odejmowaniu V $\$

W tych zastosowaniach napięcie wyjściowe $)$ wstawiane z przeciwną biegunowością w stosunku do napięcia wejściowego przemieszczającego się wzdłuż pętli (ale w stosunku do masy, $\ Displaystyle V_ {i}}$ polaryzacja jest taka sama). W rezultacie efektywne napięcie w poprzek i prąd przez impedancję maleją; impedancja wejściowa wzrasta.

Zwiększona impedancja $.$ nieodwracający o Napięcie wyjściowe (wartość) jest mniejsze niż napięcie wejściowe $i$ neutralizuje. Przykładami są niedoskonałe wtórniki napięciowe ( emiter , źródło , wtórnik katodowy itp.) oraz wzmacniacze z szeregowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym ( zwyrodnienie emitera ), których impedancja wejściowa jest umiarkowanie zwiększona.

Wzmacniacz nieodwracający wzmacniacza operacyjnego to typowy obwód z szeregowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym opartym na twierdzeniu Millera, w którym różnicowa impedancja wejściowa wzmacniacza operacyjnego jest najwyraźniej zwiększona do nieskończoności

Nieskończona impedancja wykorzystuje nieodwracający wzmacniacz z ${\ Displaystyle A_ {v} = 1}$ . Napięcie wyjściowe jest równe napięciu wejściowemu $.$ je neutralizuje Przykładami są potencjometryczne mierniki zerowej równowagi oraz wtórniki i wzmacniacze wzmacniaczy operacyjnych z szeregowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym ( wtórnik wzmacniacza operacyjnego i wzmacniacz nieodwracający ), w których impedancja wejściowa obwodu jest ogromnie zwiększona. Technika ta nazywana jest bootstrappingiem i jest celowo używany w obwodach polaryzujących, obwodach ochronnych wejść itp.

Ujemna impedancja uzyskana przez odwrócenie prądu jest realizowana przez nieodwracający wzmacniacz z ${\ displaystyle A_ {v}> 1}$ . Prąd zmienia swój kierunek, ponieważ napięcie wyjściowe jest wyższe niż napięcie wejściowe. Jeśli źródło napięcia wejściowego ma pewną wewnętrzną impedancję $zwrotne$ jest podłączone przez inny element impedancji, pojawia się dodatnie Typowym zastosowaniem jest konwerter o ujemnej impedancji z inwersją prądu (INIC), który wykorzystuje zarówno ujemne, jak i dodatnie sprzężenie zwrotne (ujemne sprzężenie zwrotne służy do realizacji wzmacniacza nieodwracającego, a dodatnie sprzężenie zwrotne do modyfikacji impedancji).

$}$ oparte na dodawaniu do ${\ displaystyle V_$

W tych zastosowaniach napięcie wyjściowe $V$ wstawiane z tą samą polaryzacją w stosunku do napięcia wejściowego $Displaystyle V_ {i}})$ bieguny są przeciwne). W rezultacie skuteczne napięcie na w poprzek i prąd przez impedancję rosną; impedancja wejściowa spada. przemieszczającego się wzdłuż pętli (ale w stosunku do masy,

Zmniejszona impedancja jest realizowana przez wzmacniacz odwracający o umiarkowanym wzmocnieniu, zwykle ${\ displaystyle 10 <A_ {v}<1000}$ . Można to zaobserwować jako niepożądany efekt Millera w stopniach wzmacniających ze wspólnym emiterem , wspólnym źródłem i wspólną katodą, gdzie zwiększa się efektywna pojemność wejściowa. Kompensacja częstotliwości dla wzmacniaczy operacyjnych ogólnego przeznaczenia i tranzystorowego integratora Millera są przykładami użytecznego wykorzystania efektu Millera.

Wzmacniacz odwracający wzmacniacza operacyjnego to typowy obwód z równoległym ujemnym sprzężeniem zwrotnym, oparty na twierdzeniu Millera, w którym różnicowa impedancja wejściowa wzmacniacza operacyjnego jest najwyraźniej zmniejszona do zera

Zerowana impedancja wykorzystuje wzmacniacz odwracający (zwykle wzmacniacz operacyjny) z niezwykle dużym wzmocnieniem. ${\ Displaystyle A_ {v} \ do \ infty}$ . Napięcie wyjściowe jest prawie równe spadkowi napięcia $.$ i całkowicie je neutralizuje Obwód zachowuje się jak zwarcie i na wejściu pojawia się wirtualna masa ; więc nie powinien być napędzany przez stałe źródło napięcia. W tym celu niektóre obwody są zasilane ze źródła prądu stałego lub źródła napięcia rzeczywistego o impedancji wewnętrznej: przetwornik prądu na napięcie (wzmacniacz transimpedancji), integrator pojemnościowy (nazywany także integratorem prądu lub wzmacniaczem ładunku ), przetwornik rezystancji na napięcie (czujnik rezystancyjny podłączony w miejsce $)$ .

Pozostałe mają dodatkową impedancję włączoną szeregowo do wejścia: przetwornik napięcie-prąd (wzmacniacz transkonduktancyjny), wzmacniacz odwracający , wzmacniacz sumujący , integrator indukcyjny, różniczkowacz pojemnościowy, integrator rezystancyjno-pojemnościowy , różniczkowacz pojemnościowo-rezystancyjny , indukcyjno-rezystancyjny wyróżnik itp. Odwracające integratory z tej listy są przykładami użytecznych i pożądanych zastosowań efektu Millera w jego ekstremalnej manifestacji.

We wszystkich tych obwodach odwracających wzmacniacza operacyjnego z równoległym ujemnym sprzężeniem zwrotnym prąd wejściowy jest zwiększany do maksimum. Jest ona określona jedynie przez napięcie wejściowe i impedancję wejściową zgodnie z prawem Ohma ; nie zależy to od impedancji. ${\ displaystyle Z}$ .

Ujemna impedancja z odwróceniem napięcia jest realizowana poprzez zastosowanie zarówno ujemnego, jak i dodatniego sprzężenia zwrotnego do wzmacniacza operacyjnego z wejściem różnicowym. Źródło napięcia $.$ musi mieć impedancję wewnętrzną podłączone do wejścia przez inny element W tych warunkach napięcie wejściowe $,$ gdy napięcie wyjściowe przekracza spadek napięcia ${\ displaystyle V_ {z}}$ przez impedancję ( ${\ Displaystyle V_ {i} = V_ {z} -V_ {o}<0}$ ).

Typowym zastosowaniem jest konwerter o ujemnej impedancji z odwróceniem napięcia (VNIC). Interesujące jest to, że napięcie wejściowe obwodu ma taką samą polaryzację jak napięcie wyjściowe, chociaż jest podawane na odwracające wejście wzmacniacza operacyjnego; źródło wejściowe ma przeciwną polaryzację zarówno do napięcia wejściowego, jak i wyjściowego obwodu.

Uogólnienie układu Millera

Oryginalny efekt Millera jest realizowany przez impedancję pojemnościową połączoną między dwoma węzłami. Twierdzenie $węzłami$ uogólnia efekt Millera, ponieważ implikuje dowolną impedancję połączoną między . Przypuszcza się również stały współczynnik ${\ displaystyle K}$ ; wtedy powyższe wyrażenia są poprawne. Ale właściwości modyfikujące twierdzenia Millera istnieją nawet wtedy, gdy te wymagania są naruszone, a układ ten można dalej uogólnić, dynamizując impedancję i współczynnik.

Element nieliniowy. Oprócz impedancji układ Millera może modyfikować charakterystykę IV dowolnego elementu. Obwód konwertera logarytmicznego diody jest przykładem nieliniowej praktycznie zerowej rezystancji , w której logarytmiczna krzywa IV diody do przodu jest przekształcana w pionową linię prostą zachodzącą na oś ${\ displaystyle y}$ .

Nie stały współczynnik. Jeśli współczynnik $zmienia$ , można uzyskać kilka egzotycznych elementów wirtualnych. Obwód żyratora jest $przykładem$ takiego elementu wirtualnego, w którym rezystancja modyfikowana tak, aby naśladować indukcyjność, pojemność lub rezystancję odwróconą

Podwójne twierdzenie Millera (dla prądów)

Definicja

Istnieje również podwójna wersja twierdzenia Millera, która jest oparta na aktualnym prawie Kirchhoffa ( twierdzenie Millera dla prądów ): jeśli w obwodzie istnieje gałąź z impedancją $\ displaystyle Z$ węzeł, w którym dwa prądy $I_ {1}}$ $}$ $displaystyle$ i się do masy, możemy zastąpić tę gałąź dwoma przewodami, o których mowa, o impedancjach odpowiednio ${\ Displaystyle (1+ \ alfa) Z}$ i ${\ Displaystyle {\ Frac {(1 + \ alfa) Z} {\ alfa}}}$ gdzie ${\ styl wyświetlania \alpha ={\frac {I_{2}}{I_{1}}}}$ . Twierdzenie dualne można udowodnić, zastępując sieć dwuportową jej odpowiednikiem i stosując twierdzenie o absorpcji źródła.

Wyjaśnienie

$równolegle$ fakt, że podłączenie drugiego źródła prądu wytwarzającego proporcjonalny prąd głównym źródłem wejściowym i elementem impedancji zmienia przez nie napięcie i odpowiednio impedancję obwodu widzianą od strony źródła wejściowego. W zależności od kierunku działa jako dodatkowe źródło prądu, pomagając lub przeciwstawiając się głównemu źródłu prądu. $displaystyle I_$ $}$ aby wytworzyć napięcie na impedancji. Kombinacja elementu rzeczywistego i drugiego źródła prądowego może być traktowana jako nowy element wirtualny z dynamicznie modyfikowaną impedancją.

Realizacja

Twierdzenie o podwójnym Millerze jest zwykle realizowane przez układ składający się z dwóch źródeł napięcia dostarczających uziemioną impedancję $ryc$ impedancje zmienne (patrz . 3 ). Kombinacje źródeł napięciowych i przynależnych im impedancji tworzą dwa źródła prądowe – główne i pomocnicze. Podobnie jak w przypadku głównego twierdzenia Millera, drugie napięcie jest zwykle wytwarzane przez wzmacniacz napięciowy. W zależności od rodzaju wzmacniacza (odwracający, nieodwracający lub różnicowy) oraz wzmocnienia impedancja wejściowa obwodu może być praktycznie zwiększona, nieskończona, zmniejszona, zerowa lub ujemna.

Aplikacje

Jako główne twierdzenie Millera, oprócz wspomagania procesu analizy obwodów, wersja podwójna jest potężnym narzędziem do projektowania i zrozumienia obwodów opartych na modyfikacji impedancji przez dodatkowy prąd. Typowymi zastosowaniami są niektóre egzotyczne obwody o ujemnej impedancji jako eliminatory obciążenia, neutralizatory pojemności, źródło prądu Howlanda i jego pochodny integrator Deboo. W ostatnim przykładzie (patrz tam ryc. 1) źródło prądu Howlanda składa się ze źródła napięcia $dodatniego$ , $($ kondensator ${\ Displaystyle C}$ działający jako impedancja ${\ Displaystyle Z}$ ) i ujemny konwerter impedancji INIC ( ${\ Displaystyle R_ {1} = R_ {2} = R_ {3} = R}$ i wzmacniacz operacyjny). Źródło napięcia $I_ {R}}$ i rezystor stanowią niedoskonałe źródło prądu przepuszczające prąd $displaystyle$ przez obciążenie (patrz ryc. 3 w źródle). INIC działa jako drugie źródło prądu, przepuszczając prąd „ $przez$ . W rezultacie całkowity prąd przepływający przez obciążenie jest stały, a impedancja obwodu widziana przez źródło wejściowe wzrasta. Dla porównania, w reduktorze obciążenia ^{[ stały martwy link ]} INIC przepuszcza cały wymagany prąd przez obciążenie; impedancja obwodu widziana od strony źródła wejściowego (impedancja obciążenia) jest prawie nieskończona.

Lista konkretnych zastosowań opartych na twierdzeniach Millera

Poniżej znajduje się lista rozwiązań obwodów, zjawisk i technik opartych na dwóch twierdzeniach Millera.

Rozwiązania obwodów

Potencjometryczny miernik stanu zerowego
Elektromechaniczne rejestratory danych z układem serwo potencjometrycznym
Emiter (źródło, katoda) wtórnik
Wzmacniacz tranzystorowy z degeneracją emitera (źródła, katody).
Tranzystorowe obwody ładowania początkowego
Integrator tranzystorowy
Stopnie wzmacniające ze wspólnym emiterem (wspólne źródło, wspólna katoda) z pojemnościami błądzącymi
Zwolennik wzmacniacza operacyjnego
Nieodwracający wzmacniacz operacyjny
Wtórnik AC z rozruchem wzmacniacza operacyjnego i wysoką impedancją wejściową
Dwustronne źródło prądu
Przetwornica impedancji ujemnej z odwróceniem prądu (INIC)
Eliminacja obciążenia o ujemnej impedancji
Eliminacja pojemności wejściowej ujemnej impedancji
Obecne źródło Howlanda
Integrator Deboo
Odwracający amperomierz wzmacniacza operacyjnego
Konwerter napięcia na prąd wzmacniacza operacyjnego (wzmacniacz transkonduktancyjny)
Konwerter prądu na napięcie wzmacniacza operacyjnego (wzmacniacz transimpedancyjny)
Konwerter rezystancji wzmacniacza operacyjnego na prąd
Konwerter rezystancji na napięcie wzmacniacza operacyjnego
Wzmacniacz odwracający wzmacniacz operacyjny
Lato odwracające wzmacniacz operacyjny
Odwracający integrator pojemnościowy wzmacniacza operacyjnego (integrator prądu, wzmacniacz ładunku)
Odwracający integrator rezystancyjno-pojemnościowy wzmacniacza operacyjnego
Odwracający pojemnościowy układ różnicujący wzmacniacza operacyjnego
Odwracający układ różnicujący pojemnościowo-rezystancyjny wzmacniacza operacyjnego
Odwracający integrator indukcyjny wzmacniacza operacyjnego
Wzmacniacz operacyjny odwracający różniczkę indukcyjno-rezystancyjną itp.
Konwerter dziennika diody wzmacniacza operacyjnego
Diodowy konwerter antylogujący wzmacniacza operacyjnego
Ogranicznik diody odwracającej wzmacniacza operacyjnego (dioda precyzyjna)
Konwerter o ujemnej impedancji z odwróceniem napięcia (VNIC) itp.

Zjawiska i techniki obwodów

Bootstrapowanie
Ochrona wejścia obwodów wzmacniacza operacyjnego o wysokiej impedancji
Neutralizacja pojemności wejściowej
Wirtualna ziemia
Efekt Millera
Kompensacja częstotliwościowa wzmacniacza operacyjnego
Impedancja ujemna
Anulowanie obciążenia

Zobacz też

^ „Różne twierdzenia o sieci” . Netlecturer.com. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2012-03-21 . Źródło 2013-02-03 .
^ ^a ^b ^c „EEE 194RF: Twierdzenie Millera” (PDF) . Źródło 2013-02-03 .
^ ^a ^b „Twierdzenie Millera” . Strony.fe.up.pt . Źródło 2013-02-03 .
^ Praca ze wzmacniaczami operacyjnymi o wysokiej impedancji zarchiwizowana 23.09.2010 w Wayback Machine AN-241
^ „Analiza obwodów nieliniowych - wprowadzenie” (PDF) . Źródło 2013-02-03 .
^ Reduktor obciążenia o ujemnej rezystancji pomaga w prowadzeniu ciężkich ładunków
Bibliografia zewnętrzne _ _ _ _ _ _ _ Linki
^ „Rozważ integrator pojedynczego zaopatrzenia „Deboo”” . Maxim-ic.com. 2002-08-29 . Źródło 2013-02-03 .

Dalsza lektura

Podstawy mikroelektroniki autorstwa Behzada Razaviego
Obwody mikroelektroniczne autorstwa Adela Sedry i Kennetha Smitha
Podstawy projektowania obwodów RF autorstwa Jeremy'ego Everarda

Linki zewnętrzne

[1] „Różne twierdzenia o sieci” . Netlecturer.com. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2012-03-21 . Źródło 2013-02-03 .

[sandiego-2] „EEE 194RF: Twierdzenie Millera” (PDF) . Źródło 2013-02-03 .

[paginas-3] „Twierdzenie Millera” . Strony.fe.up.pt . Źródło 2013-02-03 .

[4] Praca ze wzmacniaczami operacyjnymi o wysokiej impedancji zarchiwizowana 23.09.2010 w Wayback Machine AN-241

[5] „Analiza obwodów nieliniowych - wprowadzenie” (PDF) . Źródło 2013-02-03 .

[load_canceller-6] Reduktor obciążenia o ujemnej rezystancji pomaga w prowadzeniu ciężkich ładunków

[7] Bibliografia zewnętrzne _ _ _ _ _ _ _ Linki

[8] „Rozważ integrator pojedynczego zaopatrzenia „Deboo”” . Maxim-ic.com. 2002-08-29 . Źródło 2013-02-03 .

Twierdzenie Millera