Twierdzenie Reidera

W geometrii algebraicznej twierdzenie Reidera daje warunki, aby wiązka linii na powierzchni rzutowej była bardzo obszerna .

Oświadczenie

Niech D będzie dzielnikiem nef na gładkiej powierzchni rzutowej X . Oznaczmy przez K _X kanoniczny dzielnik X.

• Jeżeli D ² > 4, to układ liniowy | K _X + D | nie ma punktów bazowych, chyba że istnieje niezerowy efektywny dzielnik E taki, że
  • ${\ Displaystyle DE = 0, E ^ {2} = -1}$ lub
  • ${\ Displaystyle DE = 1, E ^ {2} = 0}$ ;
• Jeżeli D ² > 8, to układ liniowy | K _X + D | jest bardzo duży, chyba że istnieje niezerowy efektywny dzielnik E spełniający jedno z poniższych kryteriów:
  • ${\ Displaystyle DE = 0, E ^ {2} = -1}$ lub ${\ Displaystyle -2}$ ;
  • ${\ Displaystyle DE = 1, E ^ {2} = 0}$ lub ${\ Displaystyle -1}$ ;
  • ${\ Displaystyle DE = 2, E ^ {2} = 0}$ ;
  • ${\ Displaystyle DE = 3, D = 3E, mi ^ {2} = 1}$

Aplikacje

Twierdzenie Reidera implikuje przypadek powierzchniowy hipotezy Fujity . Niech L będzie obszerną wiązką linii na gładkiej powierzchni rzutowej X . Jeśli m > 2, to dla D = mL mamy

• re ² = m ² L ² ≥ m ² > 4;
• dla każdego efektywnego dzielnika E obfitość L implikuje D · E = m(L · E) ≥ m > 2.

Zatem przez pierwszą część twierdzenia Reidera | K _X +ml | jest bez punktu bazowego. Podobnie dla dowolnego m > 3 układ liniowy | K _X +ml | jest bardzo obfity.

•     Reider, Igor (1988), „Wiązki wektorowe rzędu 2 i systemy liniowe na powierzchniach algebraicznych”, Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 127 (2): 309–316, doi : 10.2307/2007055 , ISSN 0003- 486X , JSTOR 2007055 , MR 0932299