Twierdzenie Schildera

W matematyce $jest$ Schildera uogólnieniem metody Laplace'a od całek funkcjonalnej integracji Wienera . Twierdzenie to jest stosowane w teorii dużych odchyleń procesów stochastycznych . Z grubsza mówiąc, z twierdzenia Schildera uzyskuje się oszacowanie prawdopodobieństwa, że ​​​​(przeskalowana) próbna ścieżka ruchu Browna odbiegnie daleko od ścieżki średniej (która jest stała i ma wartość 0). To stwierdzenie jest precyzyjne przy użyciu funkcje stopy . Twierdzenie Schildera jest uogólnione przez twierdzenie Freidlina – Wentzella dla dyfuzji Itō .

Stwierdzenie twierdzenia

₀₀ Niech C = C ([0, T ]; R ^d ) będzie przestrzenią Banacha funkcji ciągłych ${\ Displaystyle f: [0, T] \ longrightarrow \ mathbf {R} ^ {d }}$ takie, że ${\ Displaystyle f (0) = 0}$ , wyposażone w najwyższą normę ||·|| _do $\ Displaystyle C_ {0} ^ {\ ast}$ } będzie podprzestrzenią absolutnie ciągłych funkcji, których pochodna jest w ${\ displaystyle L ^ {2}}$ . Zdefiniuj funkcję stopy

${\ Displaystyle I (\ omega) = {\ Frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {T} \ | {\kropka {\omega}}(t)\|^{2}\,\mathrm {d} t}$

na ${\ Displaystyle C_ {0} ^ {\ ast}}$ i niech ${\ Displaystyle F: C_ {0} \ do \ mathbb {R}, G: C_ { 0} \ do \ mathbb {C}}$ będą dwiema danymi funkcjami, takimi, że ${\ displaystyle I + F}$ ma unikalne minimum ${\ displaystyle f_ {0} \ w C_ {0} ^ { \ast }}$ .

Następnie przy pewnych założeniach dotyczących różniczkowalności i wzrostu, które są szczegółowo opisane w Schilder 1966 ${\ displaystyle F, G}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ lambda \ do 0} {\ Frac {\ mathbb {E} \ lewo [\ exp \ lewo (- {\ Frac {1} {\ lambda ^{2}}}F(\lambda \omega)\right)G(\lambda \omega)\right]}{\exp \left(-{\frac {1}{\lambda ^{2}}} \left(I(f_{0})+F(f_{0})\right)\right)}}=G(f_{0})\mathbb {E} \left[\exp \left(-{\ frac {1}{2}}\langle \omega ,D\omega \rangle \right)\right]}$

gdzie $E}}$${\ displaystyle \$ oznacza oczekiwanie w odniesieniu do miary Wienera na i jest Hessianem $mathbb {$$}}$${\ displaystyle F}$ i ${\ displaystyle f_ {0}}$ ; ${\ Displaystyle \ langle \ omega, D \ omega \ rangle}$ oznacza ${\ Displaystyle L ^ {2} ([0, T])}$ produkt wewnętrzny.

Zastosowanie do dużych odchyleń miary Wienera

₀₀ Niech B będzie standardowym ruchem Browna w d - wymiarowej przestrzeni euklidesowej R ^d począwszy od początku układu współrzędnych, 0 ∈ R ^d ; niech W oznacza prawo B , czyli klasyczną miarę Wienera . Dla ε > 0 niech W _ε oznacza prawo przeskalowanego procesu √ ε B . Wtedy na przestrzeni Banacha C = C ([0, T ₀ ]; R ^re ) funkcji ciągłych ${\ Displaystyle f: [0, T] \ longrightarrow \ mathbf {R} ^ {d}}$ takie, że ${\ Displaystyle f (0) =0}$ , wyposażony w najwyższą normę ||·|| _∞ , miary prawdopodobieństwa W _ε spełniają zasadę dużych odchyleń z funkcją dobrej szybkości I : C → R ∪ {+∞} podane przez

${\ Displaystyle I (\ omega) = {\ Frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {T} | {\ kropka {\ omega}} (t) | ^ {2} \ ,\mathrm {d} t}$

_{0 0} jeśli ω jest absolutnie ciągłe , a I ( ω ) = +∞ w przeciwnym razie. Innymi słowy, dla każdego zbioru otwartego G ⊆ C i każdego zbioru domkniętego F ⊆ C ,

${\ Displaystyle \ limsup _ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ varepsilon \ log \ mathbf {W} _ {\ varepsilon} ( F)\leq -\inf _{\omega \in F}I(\omega)}$

I

${\ Displaystyle \ liminf _ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ varepsilon \ log \ mathbf {W} _ {\ varepsilon} (G) \ geq - \ inf _ {\ omega \ w G} ja (\ omega).}$

Przykład

Przyjmując ε = 1/ c ² , można użyć twierdzenia Schildera do oszacowania prawdopodobieństwa, że ​​standardowy ruch Browna B oddali się dalej niż c od punktu początkowego w przedziale czasu [0, T ], tj. prawdopodobieństwo

${\ Displaystyle \ mathbf {W} (C_ {0} \ smallsetminus \ mathbf {B} _ {c} ( 0;\|\cdot \|_{\infty}}}\równoważnik \mathbf {P} {\big [}\|B\|_{\infty}>c{\big]},}$

₀ ponieważ c dąży do nieskończoności. Tutaj B _c (0; ||·|| _∞ ) oznacza kulę otwartą o promieniu c wokół funkcji zerowej w C , wziętej względem normy supremum . Najpierw zauważ to

${\ Displaystyle \|B \|_ {\ infty}> c \ iff {\ sqrt {\ varepsilon}} B \ w A: = \ lewo \ {\ omega \ w C_ {0} \ mid | \ omega (t )|>1{\text{ dla pewnego }}t\w [0,T]\right\}.}$

Ponieważ funkcja szybkości jest ciągła na A , twierdzenie Schildera daje wynik

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lim _ {c \ do \ infty}} {\ frac {\ log \ lewo (\ mathbf {P} \ lewo [\| B \ | _ {\ infty}> c \ prawo ]\right)}{c^{2}}}&=\lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \left(\mathbf {P} \left[{\sqrt {\varepsilon }}B\ w A\right]\right)\\[6pt]&=-\inf \left\{\left.{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot { \omega }}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t\,\right|\,\omega \in A\right\}\\[6pt]&=-{\frac {1} {2}}\int _{0}^{T}{\frac {1}{T^{2}}}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&=-{\frac {1} {2T}},\end{wyrównane}}}$

wykorzystując fakt, że infimum po ścieżkach w zbiorze A jest osiągane dla ω ( t ) = t / T . Wynik ten można heurystycznie zinterpretować jako mówiący, że dla dużego c i/lub dużego T

${\ Displaystyle {\ Frac {\ log \ lewo (\ mathbf {P} \ lewo [\|B \|_ {\ infty}> c \ prawo] \ prawo)} {c ^ {2}}} \ około - {\frac {1}{2T}}\qquad {\text{or}}\qquad \mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\około \exp \left (-{\frac {c^{2}}{2T}}\prawo).}$

Rn ^{prawdopodobieństwo} można oszacować dokładniej: dla B standardowego ruchu Browna w i dowolnych T , c i ε > 0 mamy:

${\ Displaystyle \ mathbf {P} \ lewo [\ sup _ {0 \ równoważnik t \ równoważnik T} \ lewo | {\ sqrt {\ varepsilon}} B_ {t} \ prawo | \ geq c \ prawo] \ równoważnik 4n \exp \left(-{\frac {c^{2}}{2nT\varepsilon }}\right).}$

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Techniki i zastosowania dużych odchyleń    . Zastosowania matematyki (Nowy Jork) 38 (wyd. Drugie). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. XVI + 396. ISBN 0-387-98406-2 . MR 1619036 . (Patrz twierdzenie 5.2)