Twierdzenie o krawędzi klina

W matematyce twierdzenie Bogoliubowa o krawędzi klina implikuje, że funkcje holomorficzne na dwóch „klinach” ze wspólną „krawędzią” są wzajemnymi analitycznymi kontynuacjami, pod warunkiem, że obie dają tę samą ciągłą funkcję na krawędzi. Jest używany w kwantowej teorii pola do konstruowania analitycznej kontynuacji funkcji Wightmana . Sformułowanie i pierwszy dowód twierdzenia zostały przedstawione przez Nikolaya Bogoliubova na Międzynarodowej Konferencji Fizyki Teoretycznej w Seattle, USA (wrzesień 1956), a także opublikowane w książce Problems in the Theory of Dispersion Relations . Dalsze dowody i uogólnienia twierdzenia podali R. Jost i H. Lehmann (1957), F. Dyson (1958), H. Epstein (1960) oraz inni badacze.

Sprawa jednowymiarowa

Ciągłe wartości brzegowe

W jednym wymiarze prosty przypadek twierdzenia o krawędzi klina można przedstawić w następujący sposób.

• Załóżmy, że f jest ciągłą funkcją o wartościach zespolonych na płaszczyźnie zespolonej , która jest holomorficzna na górnej półpłaszczyźnie i na dolnej półpłaszczyźnie . Wtedy wszędzie jest holomorficzny.

W tym przykładzie dwa kliny to górna i dolna półpłaszczyzna, a ich wspólną krawędzią jest oś rzeczywista . Wynik ten można udowodnić z twierdzenia Morery . Rzeczywiście, funkcja jest holomorficzna, pod warunkiem, że jej całka wokół dowolnego konturu znika; kontur, który przecina rzeczywistą oś, można rozbić na kontury w górnej i dolnej półpłaszczyźnie, a całka wokół nich znika na mocy hipotezy.

Dystrybucyjne wartości brzegowe na okręgu

Bardziej ogólny przypadek jest sformułowany w kategoriach dystrybucji. Jest to technicznie najprostsze w przypadku, gdy wspólną granicą jest okrąg jednostkowy ${\ Displaystyle | z|=1}$ na płaszczyźnie zespolonej. W takim przypadku funkcje holomorficzne f , g w obszarach ${\ displaystyle r <| z| <1}$ i ${\ Displaystyle 1 <| z| <R}$ mają rozszerzenia Laurenta

${\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {- \ infty} ^ {\ infty} a_ { n}z^{n},\,\,\,\,g(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }b_{n}z^{n}}$

absolutnie zbieżne w tych samych regionach i mają dystrybucyjne wartości graniczne określone przez formalny szereg Fouriera

${\ Displaystyle f (\ teta) = \ suma _ {- \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {w \ teta}, \, \, \, \, g (\ teta) = \ suma _{-\infty}^{\infty}b_{n}e^{in\theta}.}$

Ich wartości graniczne dystrybucji są równe, jeśli dla wszystkich n $displaystyle a_ {n} = b_ {n}}$ \ Jest zatem elementarne, że wspólny szereg Laurenta jest zbieżny bezwzględnie w całym obszarze ${\ displaystyle r <| z | <R}$ .

Dystrybucyjne wartości graniczne na przedziale

Ogólnie biorąc, biorąc pod uwagę przedział otwarty $+$${-}}$ rzeczywistej i funkcjach holomorficznych $}, \, \,$ zdefiniowany w ${\ Displaystyle (a, b) \ razy (0, R)}$ i ${\ Displaystyle (a, b)\razy (-R,0)}$ satysfakcjonujące

${\ Displaystyle | f_ {\ pm} (x + iy) | <C | y | ^ {- N}}$

dla pewnej nieujemnej liczby całkowitej N wartości brzegowe z ${\ displaystyle f_ {\ pm}}$$można$ zdefiniować jako rozkłady na osi rzeczywistej za pomocą wzorów T ± {\ displaystyle T _ {

${\ Displaystyle \ langle T _ {\ pm}, \ varphi \ rangle = \ lim _ {\ varepsilon \ strzałka w dół 0} \ int f (x \ pm i \ varepsilon) \ varphi (x) \, dx.}$

$}$ hipotezą to -ta pochodna zespolona ${\ Displaystyle f _ {\ pm} (z)$ funkcja holomorficzna, która rozciąga się na funkcję ciągłą na granicy. Jeśli f jest zdefiniowane jako $, a$ i poniżej osi rzeczywistej F jest rozkładem zdefiniowanym na prostokącie $\ Displaystyle (a, b )\times (-R,R)}$ według wzoru

${\ Displaystyle \ langle F, \ varphi \ rangle = \ iint f (x + iy) \ varphi (x, y)\,dx\,dy,}$

wtedy F równa się osi rzeczywistej $\ displaystyle f _ {\$ a rozkład jest indukowany przez rozkład ${\textstyle {1 \over 2}(T_{+}-T_{-})}$$pm$ na osi rzeczywistej.

W szczególności, jeśli mają zastosowanie hipotezy twierdzenia o krawędzi klina, tj. , to ${\ Displaystyle T_ {+} = T_ {-}$ }

${\ Displaystyle F _ {\ overline {z}} = 0.}$

Z regularności eliptycznej wynika zatem, że funkcja F jest holomorficzna w ${\ Displaystyle (a, b) \ razy (-R, R)}$ .

W tym ${\ Displaystyle \ częściowe / \ częściowe {\ overline {z}}}$ regularność eliptyczną można wywnioskować bezpośrednio z faktu, że $wiadomo,$ że zapewnia Cauchy'ego Riemanna .

Używając transformaty Cayleya między kołem a linią rzeczywistą, argument ten można przeformułować w standardowy sposób w odniesieniu do szeregu Fouriera i przestrzeni Sobolewa na kole. Rzeczywiście, $g$ i będą holomorficznymi $funkcjami$ zdefiniowanymi na zewnątrz i wewnątrz jakiegoś łuku na okręgu jednostkowym, tak że lokalnie mają granice promieniowe w jakiejś przestrzeni Sobolewa, a następnie pozwalając fa {\ displaystyle f} i sol {\ displaystyle

${\ Displaystyle D = z {\ częściowe \ nad \ częściowe z},}$

równania

${\ Displaystyle D ^ {k} F = f, \, \, \, D ^ {k} G = g}$

można rozwiązać lokalnie w taki sposób, że promieniowe granice G i F dążą lokalnie do tej samej funkcji w wyższej przestrzeni Sobolewa. Dla k zbieżność ta jest jednolita dzięki twierdzeniu Sobolewa o osadzeniu . Na podstawie argumentu za funkcjami ciągłymi, F i G łączą się zatem, dając funkcję holomorficzną w pobliżu łuku, a zatem f i g .

Sprawa ogólna

Klin jest iloczynem stożka z pewnym zestawem .

Niech $będzie$$otwartym$ stożkiem w rzeczywistej przestrzeni wektorowej , z wierzchołkiem Niech E będzie otwartym podzbiorem ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ , zwanym krawędzią. Napisz W dla klina w zespolonej przestrzeni wektorowej ${ \$$} ^ {n}}$ i napisz W ' przeciwległego klina ${\ displaystyle E \ razy -iC}$ . Następnie dwa kliny W i W' spotykają się na krawędzi E , gdzie utożsamiamy E z iloczynem E z wierzchołkiem stożka.

• $W$ że f funkcją ciągłą na związku, który holomorficzny obu klinach i W ' Następnie twierdzenie o krawędzi klina mówi, że f jest również holomorficzne na E (a dokładniej, można je rozszerzyć na funkcję holomorficzną na sąsiedztwie E ).

Warunki, aby twierdzenie było prawdziwe, można osłabić. Nie trzeba zakładać, że f jest zdefiniowane na całości klinów: wystarczy przyjąć, że jest zdefiniowane w pobliżu krawędzi. Nie jest również konieczne zakładanie, że f jest określone lub ciągłe na krawędzi: wystarczy założyć, że funkcje zdefiniowane na którymkolwiek z klinów mają na krawędzi te same rozkładowe wartości graniczne.

Zastosowanie do kwantowej teorii pola

W kwantowej teorii pola rozkłady Wightmana są wartościami granicznymi funkcji Wightmana W ( z ₁ , ..., z _n ) zależnymi od zmiennych z _i w złożoności czasoprzestrzeni Minkowskiego. Są zdefiniowane i holomorficzne w klinie, gdzie urojona część każdego z _i − z _{i −1} leży w otwartym dodatnim czasopodobnym stożku. Poprzez permutację zmiennych otrzymujemy n ! różne funkcje Wightmana zdefiniowane w n ! różne kliny. Stosując twierdzenie o krawędzi klina (z krawędzią określoną przez zbiór punktów całkowicie podobnych do przestrzeni) można wywnioskować, że wszystkie funkcje Wightmana są analitycznymi kontynuacjami tej samej funkcji holomorficznej, zdefiniowanej na połączonym regionie zawierającym wszystkie n ! kliny. (Równość wartości brzegowych na krawędzi, której potrzebujemy, aby zastosować twierdzenie o krawędzi klina, wynika z aksjomatu lokalności kwantowej teorii pola).

Połączenie z hiperfunkcjami

Twierdzenie o krawędzi klina ma naturalną interpretację w języku hiperfunkcji . Hiperfunkcja jest z grubsza sumą wartości granicznych funkcji holomorficznych i można ją również traktować jako coś w rodzaju „rozkładu nieskończonego porządku” . Analityczny . zestaw czoła fali hiperfunkcji w każdym punkcie jest stożkiem w przestrzeni kostycznej tego punktu i można go traktować jako opisujący kierunki, w których porusza się osobliwość w tym punkcie

W twierdzeniu o krawędzi klina mamy rozkład (lub hiperfunkcję) f na krawędzi, podany jako wartości graniczne dwóch funkcji holomorficznych na dwóch klinach. Jeśli hiperfunkcja jest wartością graniczną funkcji holomorficznej na klinie, to jej analityczny zbiór czoła fali leży w liczbie podwójnej odpowiedniego stożka. Tak więc analityczny zbiór czoła fali f leży w liczbach podwójnych dwóch przeciwległych stożków. Ale przecięcie tych liczb podwójnych jest puste, więc analityczny zbiór czoła fali f jest pusty, co implikuje, że f jest analityczny. To jest twierdzenie o krawędzi klina.

W teorii hiperfunkcji istnieje rozszerzenie twierdzenia o krawędzi klina na przypadek, gdy klinów jest kilka zamiast dwóch, zwane twierdzeniem Martineau o krawędzi klina . Więcej informacji można znaleźć w książce Hörmander .

Notatki

•   Berenstein, Carlos A.; Gay, Roger (1991), Zmienne zespolone: ​​wprowadzenie , Teksty magisterskie z matematyki, tom. 125 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-0-387-97349-4

Dalsza lektura

•    Bogolubow, NN ; Łogunow, AA; Todorov, IT (1975), Wprowadzenie do aksjomatycznej kwantowej teorii pola , Seria monografii fizyki matematycznej, tom. 18, Reading, Massachusetts : WA Benjamin, ISBN 978-0-8053-0982-9 , Zbl 1114.81300 .
•    Bogolubow, NN ; Łogunow, AA; Oksak, AI; IT, Todorov (1990), Ogólne zasady kwantowej teorii pola , fizyka matematyczna i matematyka stosowana, tom. 10, Dordrecht - Boston - Londyn : Kluwer Academic Publishers , ISBN 978-0-7923-0540-8 , Zbl 0732.46040

Związek z hiperfunkcjami opisano w:

•    Hörmander, Lars (1990), Analiza liniowych operatorów różniczkowych cząstkowych I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, tom. 256 (2 wyd.), Berlin - Heidelberg - Nowy Jork : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-52343-9 , Zbl 0712.35001 .
•     Rudin, Walter (1971), Wykłady na temat twierdzenia o krawędzi klina , Regionalna seria konferencji CMBS z matematyki, tom. 6, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-1655-4 , MR 0310288 , Zbl 0214.09001

Aby zapoznać się z zastosowaniem twierdzenia o krawędzi klina w kwantowej teorii pola, zobacz:

•    Streter, RF ; Wightman, AS (2000), PCT, Spin and Statistics, and All That , Princeton Zabytki w matematyce i fizyce (wyd. 1978), Princeton, NJ : Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07062-9 , Zbl 1026.81027

• Vladimirov, VS (2001) [1994], „Twierdzenie Bogolubowa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press