Twierdzenie o krzywej Harnacka

„M-krzywa” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z krzywą opisującą dane demograficzne pracujących kobiet, zobacz Kobieta zawodowa § Ograniczone możliwości pracy .

Krzywa eliptyczna (gładki stopień 3) po lewej stronie jest krzywą M, ponieważ ma maksymalną (2) składową, podczas gdy krzywa po prawej stronie ma tylko 1 składową.

W prawdziwej geometrii algebraicznej twierdzenie Harnacka o krzywej , nazwane na cześć Axela Harnacka , podaje możliwą liczbę połączonych elementów , które może mieć krzywa algebraiczna , pod względem stopnia krzywej. Dla dowolnej krzywej algebraicznej stopnia m na rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej liczba elementów c jest ograniczona

${\ Displaystyle {\ Frac {1- (-1) ^ {m}} {2}} \ równoważnik c \leq {\frac {(m-1)(m-2)}{2}}+1.\ }$

Maksymalna liczba jest o jeden większa niż maksymalny rodzaj krzywej stopnia m , osiągany, gdy krzywa nie jest pojedyncza . Co więcej, można uzyskać dowolną liczbę składowych w tym zakresie możliwych wartości.

Krzywa Trotta , pokazana tutaj z 7 jej bitangentami , jest kwartalną (stopień 4) krzywą M, osiągającą maksymalne (4) składowe dla krzywej tego stopnia.

Krzywa, która osiąga maksymalną liczbę rzeczywistych składników, nazywana jest krzywą M (od „maksimum”) - na przykład krzywa eliptyczna z dwoma składnikami, takimi jak ${\ displaystyle y ^ {2 }=x^{3}-x,}$ lub krzywa Trotta , quartic z czterema składowymi, to przykłady krzywych M.

Twierdzenie to stanowiło tło szesnastego problemu Hilberta .

W niedawnym opracowaniu pokazano, że krzywa Harnacka jest krzywą, której ameba ma pole równe wielokątowi Newtona wielomianu P , który jest nazywany krzywą charakterystyczną modeli dimerów , a każda krzywa Harnacka jest krzywą widmową jakiegoś modelu dimeru. ( Mikhalkin 2001 ) ( Kenyon, Okounkov i Sheffield (2006) )

• Dmitrii Andreevich Gudkov , Topologia rzeczywistych rzutowych rozmaitości algebraicznych , Uspekhi Mat. Nauk 29 (1974), 3–79 (rosyjski), tłumacz angielski, rosyjski Math. Ankiety 29:4 (1974), 1–79
• Carl Gustav Axel Harnack , Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven , Math. Ann. 10 (1876), 189–199
• George Wilson, szesnasty problem Hilberta , Topology 17 (1978), 53–74
•    Kenyon, Ryszard ; Okunkow, Andriej ; Sheffield, Scott (2006). „Dimery i ameby”. Roczniki matematyki . 163 (3): 1019–1056. arXiv : matematyka-ph/0311005 . doi : 10.4007/annals.2006.163.1019 . MR 2215138 . S2CID 119724053 .
•   Michałkin, Grigorij (2001), Ameby odmian algebraicznych , arXiv : math/0108225 , MR 2102998