Twierdzenie o transporcie

Twierdzenie o transporcie (lub równanie o transporcie , twierdzenie o transporcie o szybkości zmian lub podstawowe równanie kinematyczne ) jest równaniem wektorowym, które wiąże pochodną czasową wektora euklidesowego obliczoną w nieobrotowym układzie współrzędnych z jego pochodną czasową w obracającym się układzie odniesienia . Ma ważne zastosowania w mechanice klasycznej i dynamice analitycznej oraz w różnych dziedzinach inżynierii. Wektor euklidesowy reprezentuje pewną wielkość i kierunek w przestrzeni, która jest niezależna od układu współrzędnych, w którym jest mierzona. Jednak biorąc pochodną czasową takiego wektora, faktycznie bierze się różnicę między dwoma wektorami mierzonymi w dwóch różnych czasach t i t+dt . W obracającym się układzie współrzędnych osie współrzędnych mogą mieć różne kierunki w tych dwóch czasach, tak że nawet stały wektor może mieć niezerową pochodną po czasie. W konsekwencji pochodna czasowa wektora mierzona w obrotowym układzie współrzędnych może być różna od pochodnej czasowej tego samego wektora w nieobrotowym układzie odniesienia. Na przykład wektor prędkości samolotu oceniany za pomocą układu współrzędnych przymocowanego do ziemi (obrotowy układ odniesienia) różni się od jego prędkości ocenianej za pomocą układu współrzędnych zamocowanego w przestrzeni. Twierdzenie o transporcie zapewnia sposób powiązania pochodnych czasowych wektorów między obracającym się i nieobrotowym układem współrzędnych. Zostało wyprowadzone i wyjaśnione bardziej szczegółowo w obracający się układ odniesienia i można go zapisać jako:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname {d} t}}} {\ boldsymbol {f}} = \ lewo [\ lewo ({\ Frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname { d} t}}\right)_{\mathrm {r}}+{\boldsymbol {\Omega}}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .}

Tutaj f jest wektorem, którego pochodna czasu jest obliczana zarówno w nieobrotowym, jak i obrotowym układzie współrzędnych. Indeks dolny r oznacza jego pochodną po czasie w obracającym się układzie współrzędnych, a wektor Ω jest prędkością kątową obracającego się układu współrzędnych.

Twierdzenie o transporcie jest szczególnie przydatne do powiązania prędkości i wektorów przyspieszenia między obrotowymi i nieobrotowymi układami współrzędnych.

Odnośniki stwierdzają: „Pomimo jego znaczenia w mechanice klasycznej i wszechobecnego zastosowania w inżynierii, nie ma powszechnie akceptowanej nazwy dla wzoru na transformację pochodnej Eulera […] Używa się kilku terminologii: twierdzenie o kinematyce, twierdzenie o transporcie i równanie transportu Terminy te, choć poprawne terminologicznie, są bardziej rozpowszechnione w mechanice płynów i odnoszą się do zupełnie innych koncepcji fizycznych. Przykładem takiej odmiennej koncepcji fizyki jest twierdzenie Reynoldsa o transporcie .

Pochodzenie

Niech $\ Displaystyle {\ boldsymbol {b}} _ {i}: = T_ {B} ^ {E} {\ boldsymbol {e}} _ {i}} będą$ wektorami bazowymi b {\ $}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {f}$ $}$ , jak widać z układu odniesienia ${\ displaystyle f_ {i}}$ $}$ wektora w tylko . Pozwalać

{\ Displaystyle G: = T '\ cdot T ^ {- 1}}

tak, że ta transformacja współrzędnych jest generowana w czasie, zgodnie z ${\ Displaystyle T'= G \ cdot T}$ . Takie równanie różniczkowe generatora jest ważne dla trajektorii w teorii grup Liego . Zastosowanie reguły iloczynu z konwencją sumowania implikowanego ,

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {f}} '= (f_ {i} {\ boldsymbol {b}} _ {i})' = (f_ {i} T) '{\ boldsymbol {e} }_{i}=(f_{i}'T+f_{i}G\cdot T)\,{\boldsymbol {e}}_{i}=(f_{i}'+f_{i}G) \,{\boldsymbol {b}}_{i}=\left(\left({\tfrac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{B}+G\right ){\boldsymbol {f}}}

${\ operatorname {SO}} (n)} ,$ Displaystyle ${\ Displaystyle T_ { E}^{B}:=(T_{B}^{E})^{-1}=(T_{B}^{E})^{T}}$ ma T . W trzech wymiarach generator $\$ wtedy równy $displaystyle n = 3}$ iloczynu krzyżowego od lewej, skośno-symetryczna mapa liniowa ${\ Displaystyle [{\ boldsymbol {\ Omega}} _ {E}] _ {\ razy} {\ boldsymbol {g}}: = {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {E} \ razy {\ boldsymbol {g}}}$ dla dowolnego wektora ${\ displaystyle {\ boldsymbol {g}}}$ . Jako macierz jest również powiązana z wektorem widzianym $via$

{\ Displaystyle [{\ boldsymbol {\ Omega}} _ {E}] _ {\ razy} =[T_{B}^{E}{\boldsymbol {\Omega}}_{B}]_{\times}=T_{B}^{E}\cdot [{\boldsymbol {\Omega}}_{ B}]_{\razy}\cdot T_{E}^{B}}