Układ Lagrange'a

W matematyce układ Lagrange'a to para $(Y, L)$ , składająca się z wiązki włókien gładkich $Y \to X$ i gęstości Lagrange'a $L , co daje$ operator różniczkowy Eulera – Lagrange'a działający na odcinkach $Y \to X$ .

W mechanice klasycznej wiele układów dynamicznych to układy Lagrange'a. Przestrzenią konfiguracyjną takiego układu Lagrange'a jest wiązka włókien $Q \to ℝ$ na osi czasu $ℝ$ . W szczególności $Q = ℝ \times M ,$ jeśli układ odniesienia jest ustalony. W klasycznej teorii pola wszystkie systemy pól są systemami Lagrange'a.

Operatory Lagrange'a i Eulera-Lagrange'a

Gęstość Lagrange'a $L$ $( lub$ po prostu Lagrange'a ) rzędu $r$ jest zdefiniowana jako forma $n$ , $n = dim X$ , na rozmaitości dżetów rzędu $r Y Y.$ $Jr$ z

Lagrange'a $L$ można wprowadzić jako element wariacyjnego bikompleksu algebry różniczkowej stopniowanej $O \to X$ $* \infty (Y) form$ zewnętrznych na rozmaitościach strumieniowych Y . Operator kograniczny tego bikompleksu zawiera operator wariacyjny $δ$ , który działając na $L$ , definiuje powiązany operator Eulera-Lagrange'a $δL$ .

we współrzędnych

Dane współrzędne wiązki $x λ, y i$ na wiązce światłowodowej $Y$ oraz dopasowane współrzędne $x λ, y i, y i Λ$ , $(Λ = (λ 1, ..., λ k)$ , $|Λ| = k \leq r$ ) na kolektorach odrzutowych $J r Y$ , czytany jest Lagrange'a $L$ i jego operator Eulera-Lagrange'a

{\ Displaystyle L = {\ mathcal {L}} (x ^ {\ lambda}, y ^ {i}, y_ {\ Lambda} ^ {i})\,d^{n}x,}

{\ Displaystyle \ delta L = \ delta _ {i} {\ mathcal {L}} \ dy ^ {i} \ klin d ^ {n} x, \ qquad \ delta _ {i }{\mathcal {L}}=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda } \,\częściowe _{i}^{\Lambda }{\mathcal {L}},}

Gdzie

{\ Displaystyle d_ {\ Lambda} = d_ {\ lambda _ {1}} \ cdots d_ {\ lambda _ {k}},\qquad d_{\lambda }=\częściowe _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\częściowe _{i}+\cdots ,}

oznacz całkowite pochodne.

Na przykład postać przyjmuje Lagrange'a pierwszego rzędu i jego operator Eulera-Lagrange'a drugiego rzędu

{\ Displaystyle L = {\ mathcal {L}} (x ^ {\ lambda}, y ^ {i}, y _ {\ lambda} ^ {i}) \, d ^ {n} x, \ qquad \ delta _ {i}L=\częściowe _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\częściowe _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.}

Równania Eulera-Lagrange'a

Jądro operatora Eulera – Lagrange'a zapewnia równania Eulera – Lagrange'a $δ L = 0$ .

Kohomologia i twierdzenia Noether

Kohomologia bikompleksu wariacyjnego prowadzi do tzw. wzoru wariacyjnego

{\ Displaystyle dL = \ delta L + d_ {H} \ Theta _ {L},}

Gdzie

{\ Displaystyle d_ {H} \ Theta _ {L} = dx ^ {\ lambda} \ klin d_ {\ lambda} \ fi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)}

jest całkowitą różnicą, a $θ L$ jest odpowiednikiem Lepage'a $L$ . Pierwsze twierdzenie Noether i drugie twierdzenie Noether są następstwami tego wzoru wariacyjnego.

Rozmaitości stopniowane

Rozszerzony na rozmaitości stopniowane , bikompleks wariacyjny zapewnia opis stopniowanych systemów Lagrange'a zmiennych parzystych i nieparzystych.

Alternatywne preparaty

W inny sposób w ramach rachunku wariacyjnego wprowadza się Lagrange'y, operatory Eulera-Lagrange'a i równania Eulera-Lagrange'a .

Mechanika klasyczna

W mechanice klasycznej równaniami ruchu są równania różniczkowe pierwszego i drugiego rzędu na rozmaitości $M$ lub różnych wiązkach włókien $Q$ nad $ℝ$ . Rozwiązanie równań ruchu nazywamy ruchem .

Zobacz też

Arnold, VI (1989), Matematyczne metody mechaniki klasycznej , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 60 (wydanie drugie), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1997). Nowe metody Lagrange'a i Hamiltona w teorii pola . Świat Naukowy . ISBN 981-02-1587-8 .
Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2011). Geometryczne ujęcie mechaniki klasycznej i kwantowej . Świat naukowy. doi : 10.1142/7816 . hdl : 11581/203967 . ISBN 978-981-4313-72-8 .
Olver, P. (1993). Zastosowania grup Lie do równań różniczkowych (wyd. 2). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94007-3 .
Sardanashvily, G. (2013). „Stopniowany formalizm lagrange'a”. Int. J. Geom. Metody mod. fizyka . Świat naukowy. 10 (5): 1350016. arXiv : 1206,2508 . doi : 10.1142/S0219887813500163 . ISSN 0219-8878 .

Linki zewnętrzne

Sardanashvily, G. (2009). „Wiązki włókien, kolektory strumieniowe i teoria Lagrange'a. Wykłady dla teoretyków”. ar Xiv : 0908.1886 . Bibcode : 2009arXiv0908.1886S . {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )