Układy współrzędnych dla płaszczyzny hiperbolicznej

Na płaszczyźnie hiperbolicznej , podobnie jak na płaszczyźnie euklidesowej , każdy punkt można jednoznacznie zidentyfikować za pomocą dwóch liczb rzeczywistych . Stosuje się kilka jakościowo różnych sposobów koordynowania płaszczyzny w geometrii hiperbolicznej.

W tym artykule podjęto próbę przedstawienia przeglądu kilku układów współrzędnych używanych w dwuwymiarowej płaszczyźnie hiperbolicznej.

W poniższych opisach stała krzywizna Gaussa płaszczyzny wynosi −1. Sinh , cosh i tanh to funkcje hiperboliczne .

Układ współrzędnych biegunowych

Punkty w biegunowym układzie współrzędnych z biegunem O i osią biegunową L . Na zielono punkt o współrzędnej promieniowej 3 i współrzędnej kątowej 60 stopni lub (3, 60°) . Na niebiesko punkt (4, 210°) .

Biegunowy układ współrzędnych to dwuwymiarowy układ współrzędnych , w którym każdy punkt na płaszczyźnie jest określony przez odległość od punktu odniesienia i kąt względem kierunku odniesienia.

Punkt odniesienia (analogicznie do początku układu kartezjańskiego ) nazywany jest biegunem , a promień biegnący od bieguna w kierunku odniesienia jest osią biegunową . Odległość od bieguna nazywana jest współrzędną promieniową lub promieniem , a kąt nazywany jest współrzędną kątową lub kątem biegunowym .

Z hiperbolicznego twierdzenia cosinusów wynika, że ​​odległość między dwoma punktami podana we współrzędnych biegunowych wynosi

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {dist} (\ langle r_ {1}, \ theta _ {1} \ rangle, \ langle r_ {2}, \ theta _ {2} \ rangle) = \ nazwa operatora {arcosh} \, \ left(\cosh r_{1}\cosh r_{2}-\sinh r_{1}\sinh r_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})\right)\,. }$

Odpowiednie metryczne pole tensorowe to: ${\ Displaystyle (\ operatorname {d} s) ^ {2} = (\ operatorname {d} r) ^ {2} + \ sinh ^ {2} r \, (\ operatorname {d} \ theta) ^ {2 }\,.}$

Proste są opisane równaniami postaci

${\ Displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ pm {\ Frac {\ pi} {2}} \ quad {\ tekst{ lub }}\quad \tanh r=\tanh r_{0}\sec(\theta -\theta _{0})}$

₀₀ gdzie r i θ to współrzędne najbliższego bieguna punktu na linii.

System modeli kwadrantowych

Model półpłaszczyzny Poincarégo jest ściśle powiązany z modelem płaszczyzny hiperbolicznej w kwadrancie Q = {( x,y ): x > 0, y > 0}. Dla takiego punktu ${$ geometryczna i kąt hiperboliczny $Displaystyle u = \ ln {\ sqrt {x/$ utwórz punkt ( u, v ) w górnej półpłaszczyźnie. Metryka hiperboliczna w kwadrancie zależy od metryki półpłaszczyzny Poincarégo. Ruchy modelu Poincarégo przenoszą się do kwadrantu; w szczególności przesunięcia osi rzeczywistej w lewo lub w prawo odpowiadają hiperbolicznym obrotom kwadrantu. Ze względu na badanie stosunków w fizyce i ekonomii, gdzie kwadrant jest wszechświatem dyskursu, mówi się, że jego punkty są zlokalizowane za pomocą współrzędnych hiperbolicznych .

Układy współrzędnych typu kartezjańskiego

W geometrii hiperbolicznej prostokąty nie istnieją. Suma kątów czworoboku w geometrii hiperbolicznej jest zawsze mniejsza niż 4 kąty proste (patrz czworobok Lamberta ). Również w geometrii hiperbolicznej nie ma równoodległych linii (patrz hipercykle ). To wszystko ma wpływ na układy współrzędnych.

Istnieją jednak różne układy współrzędnych dla geometrii płaszczyzny hiperbolicznej. Wszystkie opierają się na wyborze rzeczywistego (nieidealnego ) punktu ( początku ) na wybranej skierowanej linii ( oś x ), a następnie istnieje wiele możliwości wyboru.

Współrzędne osiowe

Współrzędne osiowe x _a i y _a można znaleźć, konstruując oś y prostopadłą do osi x przechodzącą przez początek układu współrzędnych.

Podobnie jak w kartezjańskim układzie współrzędnych , współrzędne znajdują się poprzez upuszczenie linii prostopadłych z punktu na osie x i y . x _a to odległość od podstawy prostopadłej na osi x do początku układu współrzędnych (uważana za dodatnią z jednej strony i ujemną z drugiej); y _a jest odległością od podstawy prostopadłej na osi y do początku układu współrzędnych.

Okręgi o początku we współrzędnych osiowych hiperbolicznych.

Każdy punkt i najbardziej idealne punkty mają współrzędne osiowe, ale nie każda para liczb rzeczywistych odpowiada punktowi.

jeśli ${\ Displaystyle \ tanh ^ {2} (x_ {a}) + \ tanh ^ {2} (y_ {a}) = 1}$ wtedy ${\ Displaystyle P (x_ {a}, y_ {a})}$ jest idealnym punktem.

jeśli ${\ Displaystyle \ tanh ^ {2} (x_ {a}) + \ tanh ^ {2} (y_ {a})> 1}$ wtedy ${\ Displaystyle P (x_ {a}, y_ {a})}$ wcale nie jest punktem.

Odległość $artanh$ do to ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {artanh} \ lewo (\ tanh (y_ {a}) \ cosh (x_ {a}) \ prawo)}$ ⁡ . Na y jest to ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {artanh} \ lewo (\ tanh (x_ {a}) \ cosh (y_ {a}) \prawo)}$ .

Stosunek współrzędnych osiowych do współrzędnych biegunowych (zakładając, że początkiem jest biegun, a dodatnia oś x to oś biegunowa) wynosi

${\ Displaystyle x = \ nazwa operatora {artanh} \, (\ tanh r \ cos \ theta)}$

${\ Displaystyle y = \ nazwa operatora {artanh} \, (\ tanh r \ sin \ theta)}$

${\ Displaystyle r = \ nazwa operatora {artanh} \, ({\ sqrt {\ tanh ^ {2}x + \tanh ^{2}y}}\,)}$

${\ Displaystyle \ theta = 2 \ nazwa operatora {arctan} \, \ lewo ({\ Frac {\ tanh y} {\ tanh x + {\ sqrt {\ tanh ^ {2} x + \ tanh ^ {2} y}}} }\Prawidłowy)\,.}$

Współrzędne Łobaczewskiego

Współrzędne Łobaczewskiego x _ℓ i y _ℓ znajdują się przez upuszczenie prostopadłej na oś x . x _ℓ to odległość od podstawy prostopadłej do osi x do początku układu współrzędnych (dodatnia z jednej strony i ujemna z drugiej, taka sama jak we współrzędnych osiowych ).

y _ℓ to odległość wzdłuż prostopadłej danego punktu do jego podstawy (dodatnia z jednej strony i ujemna z drugiej).

${\ Displaystyle x_ { l}=x_{a}\ ,\ \tanh(y_{l})=\tanh(y_{a})\cosh(x_{a})\ ,\ \tanh(y_{a})={\frac {\tanh(y_{l})}{\cosh(x_{l})}}}$ .

Współrzędne Łobaczewskiego są przydatne do całkowania długości krzywych i pola między liniami i krzywymi.

Współrzędne Łobaczewskiego noszą imię Mikołaja Łobaczewskiego, jednego z odkrywców geometrii hiperbolicznej .

Okręgi o początku promienia 1, 5 i 10 we współrzędnych hiperbolicznych Łobaczewskiego.

Okręgi wokół punktów (0,0), (0,1), (0,2) i (0,3) o promieniu 3,5 we współrzędnych hiperbolicznych Łobaczewskiego.

Skonstruuj układ współrzędnych podobny do kartezjańskiego w następujący sposób. Wybierz linię ( x ) w płaszczyźnie hiperbolicznej (ze znormalizowaną krzywizną -1) i oznacz punkty na niej według ich odległości od punktu początkowego ( x = 0) na osi x (dodatni z jednej strony a z drugiej ujemne). Dla dowolnego punktu na płaszczyźnie można zdefiniować współrzędne x i y przez upuszczenie prostopadłej na oś x . x będzie etykietą stopy prostopadłej. y będzie odległością wzdłuż prostopadłej danego punktu od jego podstawy (dodatnią z jednej strony i ujemną z drugiej). Wtedy odległość między dwoma takimi punktami będzie wynosić

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) = \ nazwa operatora {arcosh} \ lewo (\ cosh y_ { 1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$

Wzór ten można wyprowadzić ze wzorów dotyczących trójkątów hiperbolicznych .

Odpowiedni tensor metryczny to: ${\ Displaystyle (\ operatorname {d} s) ^ {2} = \ cosh ^ {2} y \,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$ .

W tym układzie współrzędnych proste są albo prostopadłe do osi x (przy równaniu x = stała), albo opisane równaniami postaci

${\ Displaystyle \ tanh y = A \ cosh x + B \ sinh x \ quad {\ tekst {kiedy}} \ quad A ^ {2}<1+B^{2}}$

gdzie A i B są rzeczywistymi parametrami charakteryzującymi linię prostą.

Stosunek współrzędnych Łobaczewskiego do współrzędnych biegunowych (zakładając, że początkiem jest biegun, a dodatnia oś x to oś biegunowa) wynosi

${\ Displaystyle x = \ nazwa operatora {artanh} \, (\ tanh r \ cos \ theta)}$

${\ Displaystyle y = \ operatorname {arsinh} \, (\ sinh r \ sin \ theta)}$

${\ Displaystyle r = \ operatorname {arcosh} \, (\ cosh x \ cosh y)}$

${\ Displaystyle \ theta = 2 \ nazwa operatora {arctan} \, \ lewo ({\ Frac {\ sinh y} {\ sinh x \ cosh y + {\ sqrt {\ cosh ^ {2} x \ cosh ^ {2} y -1}}}}\prawo)\,.}$

Układ współrzędnych oparty na horocyklu

Układ współrzędnych oparty na horocyklu

$[$ wykorzystuje odległość od punktu do przez początek wyśrodkowany wokół długość łuku wzdłuż

Narysuj horocykl h _O przez początek wyśrodkowany w idealnym punkcie $na$ końcu osi x

Od punktu P narysuj asymptotyczną linię p do osi x do prawego idealnego punktu ${\ Displaystyle \ Omega}$ . P _h jest przecięciem prostej p i horocyklu h _O .

Współrzędna x _h to odległość od P do P _h - dodatnia, jeśli P znajduje się między , ujemna, jeśli P _h znajduje się między P i $\ Omega$ { $Displaystyle$ _} .

Współrzędna y _h jest długością łuku wzdłuż horocyklu h _O od początku _do Ph .

Odległość między dwoma punktami podanymi w tych współrzędnych wynosi

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) = \ nazwa operatora {arcosh} (\ cosh (x_ {2} }-x_{1})+{\tfrac {1}{2}}(y_{2}-y_{1})^{2}\exp(-x_{1}-x_{2}))\, .}$

Odpowiedni tensor metryczny to: ${\ Displaystyle (\ operatorname {d} s) ^ {2} = (\ operatorname {d} x) ^ {2} + \ exp (-2x) \, (\ operatorname {d} y) ^ {2} \ ,.}$

Proste są opisane równaniami postaci y = stała lub

${\ Displaystyle x = {\ tfrac {1} {2}} \ ln (\ exp (2x_ {0}) - (y -y_{0})^{2})}$

₀₀ gdzie x i y to współrzędne punktu na linii najbliższego idealnemu punktowi $tj$ . mającemu największą wartość x na linii).

Układy współrzędnych oparte na modelu

Układy współrzędnych oparte na modelu wykorzystują jeden z modeli geometrii hiperbolicznej i przyjmują współrzędne euklidesowe wewnątrz modelu jako współrzędne hiperboliczne.

Współrzędne Beltramiego

Współrzędne punktu Beltramiego to współrzędne kartezjańskie punktu, gdy punkt jest odwzorowywany w modelu Beltramiego – Kleina płaszczyzny hiperbolicznej, oś x jest odwzorowywana na odcinek (−1,0) − (1,0) a początek jest odwzorowany na środek okręgu granicznego.

Zachodzą następujące równania:

${\ Displaystyle x_ {b} = \ tanh (x_ {a}), \ y_ {b} = \ tanh (y_ {a}) }$

Współrzędne Poincarégo

Współrzędne Poincarégo punktu są współrzędnymi kartezjańskimi punktu, gdy punkt jest odwzorowywany w modelu dysku Poincarégo płaszczyzny hiperbolicznej, oś x jest odwzorowywana na odcinek (−1,0) − (1,0) i początek jest odwzorowany na środek okręgu granicznego.

Współrzędne Poincarégo pod względem współrzędnych Beltramiego to:

${\ Displaystyle x_ {p} = {\ Frac {x_ {b}} {1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}},\ \ y_{p}={\frac {y_{b}}{1+ {\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}}}$

Współrzędne Weierstrassa

Współrzędne Weierstrassa punktu są współrzędnymi kartezjańskimi punktu, gdy punkt jest odwzorowywany w modelu hiperboloidalnym płaszczyzny hiperbolicznej, oś x jest odwzorowywana na (połowę) hiperboli ${\ displaystyle (t\ ,\ 0\ ,\ {\sqrt {t^{2}+1}})}$ a początek jest odwzorowany na punkt (0,0,1).

Punkt P o współrzędnych osiowych ( x _a , y _a ) jest odwzorowywany

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ tanh x_ {a}} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} x_ {a} - \ tanh ^ {2} y_ {a}}}} \ ,\ {\frac {\tanh y_{a}}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac { 1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\right)}$

Inni

Współrzędne żyrowektora

Główny artykuł: żyroskop

Przestrzeń żyroskopowa

Hiperboliczne współrzędne barycentryczne

Z przestrzeni Gyrovectora #środek trójkąta

Badanie środków trójkątów tradycyjnie dotyczy geometrii euklidesowej, ale środki trójkątów można również badać w geometrii hiperbolicznej. Za pomocą żyrotrygonometrii można obliczyć wyrażenia na trygonometryczne współrzędne barycentryczne, które mają tę samą postać zarówno dla geometrii euklidesowej, jak i hiperbolicznej. Aby wyrażenia były zbieżne, wyrażenia nie mogą obejmować specyfikacji sumy kątów wynoszącej 180 stopni.