Współrzędne hiperboliczne

Współrzędne hiperboliczne wykreślone na płaszczyźnie euklidesowej: wszystkie punkty na tym samym promieniu niebieskim mają tę samą wartość współrzędnych u , a wszystkie punkty na tej samej czerwonej hiperboli mają tę samą wartość współrzędnych v .

W matematyce współrzędne hiperboliczne są metodą lokalizowania punktów w ćwiartce I płaszczyzny kartezjańskiej

${\ Displaystyle \ {(x, y) \: \ x> 0, \ y> 0 \ \} = Q}$ .

Współrzędne hiperboliczne przyjmują wartości w płaszczyźnie hiperbolicznej określonej jako:

${\ Displaystyle HP = \ {(u, v): u \ in \ mathbb {R}, v> 0 \}}$ .

Te współrzędne w HP są przydatne do badania logarytmicznych porównań bezpośredniej proporcji w Q i pomiaru odchyleń od bezpośredniej proporcji.

dla ${\ Displaystyle (x, y)}$ w ${\ Displaystyle Q}$ weź

${\ Displaystyle u = \ ln {\ sqrt {\ Frac {x} {y}}}}$

I

${\ displaystyle v = {\ sqrt {xy}}}$ .

Parametr u jest kątem hiperbolicznym do ( x, y ), a v jest średnią geometryczną x i y .

Odwrotne odwzorowanie jest

${\ Displaystyle x = ve ^ {u}, \ quad y = ve ^ {- u}}$ .

Funkcja $mapowaniem$ ciągłym ale funkcją . _

Alternatywna metryka kwadrantu

Ponieważ HP przenosi metryczną strukturę przestrzenną półpłaszczyznowego modelu $strukturę$ hiperbolicznej Poincarégo , zgodność bijekcyjna tę . Można to uchwycić, posługując się pojęciem ruchów hiperbolicznych . Ponieważ geodezyjne w HP są półkolami ze środkami na granicy, geodezyjne w Q są uzyskiwane z korespondencji i okazują się być promienie od początku lub krzywe w kształcie płatków wychodzące i ponownie wchodzące w początek. A hiperboliczny ruch HP wynikający z przesunięcia lewo-prawo odpowiada odwzorowaniu ściśnięcia zastosowanemu do Q .

Ponieważ hiperbole w Q odpowiadają liniom równoległym do granicy HP , są horocyklami w geometrii metrycznej Q.

Jeśli weźmie się pod uwagę tylko euklidesową topologię płaszczyzny i topologię odziedziczoną po Q , to linie ograniczające Q wydają się bliskie Q . Wgląd w przestrzeń metryczną HP pokazuje, że zbiór otwarty Q ma tylko początek jako granicę, gdy patrzy się przez korespondencję. Rzeczywiście, rozważ promienie wychodzące z początku w Q i ich obrazy, promienie pionowe z granicy R HP . Dowolny punkt HP jest nieskończoną odległością od punktu p u podstawy prostopadłej do R , ale ciąg punktów na tej prostopadłej może zmierzać w kierunku p . Odpowiednia sekwencja w Q zmierza wzdłuż promienia w kierunku początku. Stara euklidesowa granica Q nie jest już aktualna.

Zastosowania w naukach fizycznych

Podstawowe zmienne fizyczne są czasami powiązane równaniami postaci k = xy . Na przykład V = IR ( prawo Ohma ), P = VI ( moc elektryczna ), PV = k T ( prawo gazu doskonałego ) i f λ = v (stosunek długości fali , częstotliwości i prędkości w ośrodku falowym). kiedy k jest stała, pozostałe zmienne leżą na hiperboli, która jest horocyklem w odpowiednim kwadrancie Q.

Na przykład w termodynamice proces izotermiczny wyraźnie podąża ścieżką hiperboliczną, a pracę można interpretować jako hiperboliczną zmianę kąta. Podobnie, dana masa M gazu o zmieniającej się objętości będzie miała zmienną gęstość δ = M / V , a prawo gazu doskonałego można zapisać P = k T δ tak, że proces izobaryczny śledzi hiperbolę w ćwiartce temperatury bezwzględnej i gazu gęstość.

Aby zapoznać się ze współrzędnymi hiperbolicznymi w teorii względności, zobacz sekcję Historia .

Aplikacje statystyczne

• Badanie porównawcze gęstości zaludnienia w kwadrancie rozpoczyna się od wybrania kraju odniesienia, regionu lub obszaru miejskiego , którego populację i powierzchnię przyjmuje się jako punkt (1,1).
• Analiza wybranej reprezentacji regionów w demokracji przedstawicielskiej rozpoczyna się od wybrania standardu do porównania: konkretnej reprezentowanej grupy, której liczebność i liczebność (przedstawicieli) wynosi (1,1) w kwadrancie.

Zastosowania ekonomiczne

Istnieje wiele naturalnych zastosowań współrzędnych hiperbolicznych w ekonomii :

• Analiza wahań kursów walut : waluta jednostkowa ustawia ${\ displaystyle x = 1}$ . Waluta ceny odpowiada ${\ displaystyle y}$ . Dla
  $${\ displaystyle 0 <y <1}$$
  znajdujemy dodatni kąt hiperboliczny ${\ displaystyle u> 0} .$ W przypadku fluktuacji weź nową cenę
  $${\ Displaystyle 0 <z <y.}$$
  Wtedy zmiana u wynosi :
  $${\ Displaystyle \ Delta u = \ ln {\ sqrt {\ Frac {y} {z}}}.}$$
  Kwantyfikacja wahań kursu walutowego za pomocą kąta hiperbolicznego zapewnia obiektywną, symetryczną i spójną miarę . Wielkość $waluty$ długość przesunięcia w lewo-prawo w widoku ruchu hiperbolicznego fluktuacji
• Analiza inflacji lub deflacji cen koszyka dóbr konsumpcyjnych .
• Kwantyfikacja zmiany udziału w rynku w duopolu .
• Splity akcji korporacyjnych a odkup akcji.

Historia

Średnia geometryczna to starożytna koncepcja, ale kąt hiperboliczny został opracowany w tej konfiguracji przez Gregoire de Saint-Vincent . Próbował wykonać kwadraturę względem prostokątnej hiperboli y = 1/ x . To wyzwanie było otwartym problemem, ponieważ Archimedes wykonał kwadraturę paraboli . Krzywa przechodzi przez (1,1), gdzie jest przeciwna do początku układu współrzędnych w kwadracie jednostkowym . Pozostałe punkty na krzywej można postrzegać jako prostokąty o takim samym polu jak ten kwadrat. Taki prostokąt można uzyskać przez zastosowanie odwzorowania ściśnięcia na kwadracie. Innym sposobem przeglądania tych odwzorowań są sektory hiperboliczne . Począwszy od (1,1) hiperboliczny sektor powierzchni jednostkowej kończy się na (e, 1/e), gdzie e wynosi 2,71828…, zgodnie z rozwojem Leonharda Eulera we wstępie do analizy nieskończoności (1748).

Biorąc (e, 1/e) za wierzchołek prostokąta o jednostkowej powierzchni i ponownie stosując ściśnięcie z kwadratu jednostkowego, otrzymujemy ${\ Displaystyle (e ^ {2}, \ e ^ {- 2}).}$ Ogólnie n wyciska plony ${\ Displaystyle (e ^ {n}, \ e ^ {- n}).}$ AA de Sarasa zauważył podobną obserwację G. de Saint Vincent, że wraz ze wzrostem odciętych w szeregu geometrycznym , suma obszarów na tle hiperboli wzrosła w szeregach arytmetycznych , a ta właściwość odpowiadała już używanemu logarytmowi w celu zmniejszenia mnożenia do dodawania. Praca Eulera uczyniła logarytm naturalny standardowym narzędziem matematycznym i podniosła matematykę do sfery funkcji transcendentalnych . Współrzędne hiperboliczne są utworzone na oryginalnym obrazie G. de Saint-Vincenta, który zapewnił kwadraturę hiperboli i przekroczył granice funkcji algebraicznych .

W 1875 r. Johann von Thünen opublikował teorię płac naturalnych, w której wykorzystał średnią geometryczną płacy na utrzymanie i rynkowej wartości pracy przy wykorzystaniu kapitału pracodawcy.

W szczególnej teorii względności nacisk kładziony jest na trójwymiarową hiperpowierzchnię w przyszłej czasoprzestrzeni, gdzie różne prędkości przybywają po określonym czasie właściwym . Scott Walter wyjaśnia, że ​​​​w listopadzie 1907 roku Hermann Minkowski nawiązywał do dobrze znanej trójwymiarowej geometrii hiperbolicznej, przemawiając do Towarzystwa Matematycznego w Getyndze, ale nie do czterowymiarowej geometrii. W hołdzie Wolfgangowi Rindlerowi , autorowi standardowego wprowadzającego podręcznika na poziomie uniwersyteckim na temat teorii względności, współrzędne hiperboliczne czasoprzestrzeni nazywane są współrzędnymi Rindlera .

•   David Betounes (2001) Równania różniczkowe: teoria i zastosowania , strona 254, Springer-TELOS, ISBN 0-387-95140-7 .
•   Scotta Waltera (1999). „Nieeuklidesowy styl teorii względności Minkowskiego” zarchiwizowany 16.10.2013 w Wayback Machine . Rozdział 4 w: Jeremy J. Gray (red.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930 , s. 91–127. Oxford University Press . ISBN 0-19-850088-2 .