Wektor Darboux

W geometrii różniczkowej , zwłaszcza w teorii krzywych przestrzennych, wektor Darboux jest wektorem prędkości kątowej układu Freneta krzywej przestrzennej. Został nazwany na cześć Gastona Darboux , który go odkrył. Jest również nazywany wektorem momentu pędu , ponieważ jest wprost proporcjonalny do momentu pędu .

W odniesieniu do aparatu Freneta-Serreta wektor Darboux ω można wyrazić jako

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ tau \ mathbf {T} + \ kappa \ mathbf {B} \ qquad \ qquad (1)}$

i ma następujące symetryczne właściwości:

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ razy \ mathbf {T} = \ mathbf {T'},}$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega }} \ razy \ mathbf {N} = \ mathbf {N '} ,}$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ razy \ mathbf {B} = \ mathbf {B'} ,}$

które można wyprowadzić z Równania (1) za pomocą twierdzenia Freneta-Serreta (lub odwrotnie).

Niech sztywny obiekt porusza się po krzywej foremnej opisanej parametrycznie przez β ( t ). Ten obiekt ma swój własny wewnętrzny układ współrzędnych . Gdy obiekt porusza się wzdłuż krzywej, niech jego wewnętrzny układ współrzędnych pozostaje wyrównany z ramą Freneta krzywej. Gdy to zrobi, ruch obiektu zostanie opisany przez dwa wektory: wektor translacji i wektor obrotu ω , który jest wektorem prędkości powierzchniowej: wektor Darboux.

Zauważ, że ten obrót jest kinematyczny , a nie fizyczny, ponieważ zwykle, gdy sztywny obiekt porusza się swobodnie w przestrzeni, jego obrót jest niezależny od jego translacji. Wyjątkiem byłaby sytuacja, w której obrót obiektu jest fizycznie ograniczony, aby dopasować się do przesunięcia obiektu, jak ma to miejsce w przypadku wózka kolejki górskiej .

Rozważ sztywny przedmiot poruszający się płynnie po krzywej regularnej. Gdy translacja zostanie „wyeliminowana”, obiekt obraca się w taki sam sposób, jak jego rama Freneta. Całkowity obrót ramy Freneta jest kombinacją obrotów każdego z trzech wektorów Freneta:

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} + {\ boldsymbol { \omega}}_{\mathbf {B}}.}$

Każdy wektor Freneta porusza się wokół „początku”, który jest środkiem sztywnego obiektu (wybierz jakiś punkt w obiekcie i nazwij go jego środkiem). Prędkość powierzchniowa wektora stycznego wynosi:

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} = \ lim _ {\ Delta t \ strzałka w prawo 0}{\mathbf {T} (t)\razy \mathbf {T} (t+\Delta t) \ponad 2\,\Delta t}}$

${\ Displaystyle = {\ mathbf {T} (t) \ razy \ mathbf {T'} (t) \ ponad 2}.}$

Podobnie,

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} = {1 \ ponad 2} \ \ mathbf {N} (t )\times \mathbf {N'} (t),}$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {B}} = {1 \ ponad 2} \ \ mathbf {B} (t) \ razy \ mathbf {B'} (t).}$

Teraz zastosuj twierdzenie Freneta-Serreta, aby znaleźć składowe prędkości polowej:

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} = {1 \ ponad 2} \ mathbf { T} \times \mathbf {T'} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {T} \times \mathbf {N} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {B} }$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} = {1 \over 2}\mathbf {N} \times \mathbf {N'} ={1 \over 2}(-\kappa \mathbf {N} \times \mathbf {T} +\tau \mathbf {N} \times \mathbf {B} )={1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )}$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {B}} = {1 \ ponad 2} \ mathbf {B} \ razy \ mathbf {B'} = - {1 \ ponad 2}\tau \mathbf {B} \times \mathbf {N} ={1 \ponad 2}\tau \mathbf {T} }$

aby

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {1 \ ponad 2} \ kappa \ mathbf {B} +{1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )+{1 \over 2}\tau \mathbf {T} =\kappa \mathbf {B} + \tau \mathbf {T} ,}$

jak twierdzono.

Wektor Darboux zapewnia zwięzły sposób geometrycznej interpretacji krzywizny κ i skręcania τ : krzywizna jest miarą obrotu ramy Freneta wokół binormalnego wektora jednostkowego, podczas gdy skręcanie jest miarą obrotu ramy Freneta wokół stycznego wektora jednostkowego .