Wielomian Dicksona

W matematyce wielomiany Dicksona , oznaczane jako Dn ₎ ( x , α ) , tworzą ciąg wielomianów wprowadzony przez LE Dicksona ( 1897 . Zostały one ponownie odkryte przez Brewera (1961) w jego badaniu sum Brewera i czasami, choć rzadko, określano je mianem wielomianów Brewera .

W liczbach zespolonych wielomiany Dicksona są zasadniczo równoważne wielomianom Czebyszewa ze zmianą zmiennej i w rzeczywistości wielomiany Dicksona są czasami nazywane wielomianami Czebyszewa.

Wielomiany Dicksona są na ogół badane na polach skończonych , gdzie czasami mogą nie być równoważne wielomianom Czebyszewa. Jednym z głównych powodów zainteresowania nimi jest to, że dla ustalonego α podają wiele przykładów wielomianów permutacyjnych ; wielomiany działające jako permutacje ciał skończonych.

Definicja

Pierwszy rodzaj

Dla liczby całkowitej n > 0 i α w przemiennym pierścieniu R z tożsamością (często wybieranym jako ciało skończone F _q = GF ( q ) ) wielomiany Dicksona (pierwszego rodzaju) nad R są podane przez

${\ Displaystyle D_ {n} (x, \ alfa) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ lewo \ lfloor {\ Frac {n} {2}} \ prawo \ rfloor} {\ frac {n} ni}}{\binom {ni}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

Kilka pierwszych wielomianów Dicksona to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} D_ {1} (x, \ alfa) & = x \\ D_ {2} (x, \ alfa) i = x ^ {2} -2 \ alfa \\ D_ {3 }(x,\alfa )&=x^{3}-3x\alfa \\D_{4}(x,\alfa )&=x^{4}-4x^{2}\alfa +2\alfa ^ {2}\\D_{5}(x,\alpha )&=x^{5}-5x^{3}\alpha +5x\alpha ^{2}\,.\end{wyrównane}}}$

Mogą być również generowane przez relację powtarzalności dla n ≥ 2 ,

${\ Displaystyle D_ {n} (x, \ alfa) = xD_ {n-1} (x,\alfa )-\alfa D_{n-2}(x,\alfa )\,,}$

z warunkami początkowymi ₀ D ( x , α ) = 2 i D ₁ ( x , α ) = x .

Współczynniki są podane w kilku miejscach w OEIS z niewielkimi różnicami dla pierwszych dwóch wyrazów.

Drugi rodzaj

Wielomiany Dicksona drugiego rodzaju, E _n ( x , α ) , są określone przez

${\ Displaystyle E_ {n} (x, \ alfa) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ lewo \ lfloor {\ Frac {n} {2}} \ prawo \ rfloor} {\ binom {ni} i}}(-\alfa )^{i}x^{n-2i}.}$

Nie były one zbytnio badane i mają właściwości podobne do wielomianów Dicksona pierwszego rodzaju. Kilka pierwszych wielomianów Dicksona drugiego rodzaju to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E_ {0} (x, \ alfa) & = 1 \\ E_ {1} (x, \ alfa) & = x \\ E_ {2} (x, \ alfa) & =x^{2}-\alfa \\E_{3}(x,\alfa )&=x^{3}-2x\alfa \\E_{4}(x,\alfa )&=x^{4 }-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,.\end{wyrównane}}}$

Mogą być również generowane przez relację powtarzalności dla n ≥ 2 ,

${\ Displaystyle E_ {n} (x, \ alfa) = xE_ {n-1} (x,\alfa )-\alfa E_{n-2}(x,\alfa )\,,}$

z warunkami początkowymi ₀ E ( x , α ) = 1 i E ₁ ( x , α ) = x .

Współczynniki są również podane w OEIS.

Nieruchomości

D _n to unikalne wielomiany moniczne spełniające równanie funkcyjne

${\ Displaystyle D_ {n} \ lewo (u + {\ Frac {\ alfa} {u}}, \ alfa \ po prawej) = u ^{n}+\lewo({\frac {\alfa}}}\prawo)^{n},}$

gdzie α ∈ fa _q i u ≠ 0 ∈ fa _{q ²} .

Spełniają również regułę kompozycji,

${\ Displaystyle D_ {mn} (x, \ alfa) = D_ {m} {\ bigl (} D_ {n} (x, \ alfa), \ alfa ^ {n} {\ bigr)} \, = D_ { n}{\bigl (}D_{m}(x,\alfa ),\alfa ^{m}{\bigr )}\,.}$

En spełnia _również równanie funkcyjne

${\ Displaystyle E_ {n} \ lewo (y + {\ Frac {\ alfa}}} ,\alpha \right)={\frac {y^{n+1}-\left({\frac {\alpha}}}\right)^{n+1}}{y-{\frac { \alpha }{y}}}}\,,}$

dla y ≠ 0 , y ² ≠ α , gdzie α ∈ fa _q i y ∈ fa _{q ²} .

Wielomian Dicksona y = D _n jest rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego

${\ Displaystyle \ lewo (x ^ {2} -4 \ alfa \ prawo) y''+ xy'-n ^ {2} y =0\,,}$

a wielomian Dicksona y = E _n jest rozwiązaniem równania różniczkowego

${\ Displaystyle \ lewo (x ^ {2} -4 \ alfa \ po prawej) y'' + 3xy' -n (n + 2) y = 0 \,.}$

Ich zwykłe funkcje generujące to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {n} D_ {n} (x, \ alfa) z ^ {n} & = {\ Frac {2-xz} {1-xz + \ alfa z ^ {2 }}}\\\suma _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,. \end{wyrównane}}}$

Linki do innych wielomianów

Zgodnie z powyższą relacją rekurencji wielomiany Dicksona są sekwencjami Lucasa . W szczególności dla α = −1 , wielomiany Dicksona pierwszego rodzaju są wielomianami Fibonacciego , a wielomiany Dicksona drugiego rodzaju to wielomiany Lucasa .

Zgodnie z powyższą zasadą składania, gdy α jest idempotentne , składanie wielomianów Dicksona pierwszego rodzaju jest przemienne.

• Wielomiany Dicksona z parametrem α = 0 dają jednomiany .

${\ Displaystyle D_ {n} (x, 0) = x ^ {n} \,.}$

• Wielomiany Dicksona o parametrze α = 1 są powiązane z wielomianami Czebyszewa T _n ( x ) = cos ( n arccos x ) pierwszego rodzaju przez

${\ Displaystyle D_ {n} (2x, 1) = 2T_ {n} (x) \,.}$

• Ponieważ wielomian Dicksona D _n ( x , α ) można zdefiniować na pierścieniach z dodatkowymi idempotentami, D _n ( x , α ) często nie jest powiązany z wielomianem Czebyszewa.

Wielomiany permutacyjne i wielomiany Dicksona

Wielomian permutacyjny (dla danego ciała skończonego) to taki, który działa jako permutacja elementów ciała skończonego.

Wielomian Dicksona D _n ( x , α) (rozważany jako funkcja x z ustalonym α) jest wielomianem permutacyjnym dla ciała z elementami q wtedy i tylko wtedy, gdy n jest względnie pierwsze z q ² − 1 .

Fried (1970) udowodnił, że każdy wielomian całkowy będący wielomianem permutacyjnym dla nieskończenie wielu ciał pierwszych jest złożeniem wielomianów Dicksona i wielomianów liniowych (o współczynnikach wymiernych). Twierdzenie to stało się znane jako przypuszczenie Schura, chociaż w rzeczywistości Schur nie postawił tego przypuszczenia. Turnwald (1995) podał poprawioną relację , a następnie Müller (1997) przedstawił prostszy dowód na wzór argumentu Schura.

Ponadto Müller (1997) udowodnił, że dowolny wielomian permutacyjny nad ciałem skończonym i ^{wielomianów F q, którego stopień jest jednocześnie względnie pierwszy z q i mniejszy niż q 1/4 być} , _musi złożeniem wielomianów Dicksona liniowych.

Uogólnienie

Wielomiany Dicksona obu rodzajów na ciałach skończonych można traktować jako początkowe składowe ciągu uogólnionych wielomianów Dicksona określanych jako wielomiany Dicksona ( k + 1) -tego rodzaju. W szczególności dla α ≠ 0 ∈ F _q gdzie q = p ^e dla niektórych liczb pierwszych p i dowolnych liczb całkowitych n ≥ 0 i 0 ≤ k < p , n- ty wielomian Dicksona ( k + 1) tego rodzaju nad F _q , oznaczony przez D _{n , k} ( x , α ) , jest określony przez

${\ Displaystyle D_ {0, k} (x, \ alfa) = 2-k}$

I

${\ Displaystyle D_ {n, k} (x, \ alfa) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ lewo \ lfloor {\ Frac {n} {2}} \ prawo \ rfloor} {\ frac {n -ki}{ni}}{\binom {ni}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

D _{n ,0} ( x , α ) = D _n ( x , α ) i D _{n ,1} ( x , α ) = E _n ( x , α ) , pokazując, że ta definicja unifikuje i uogólnia oryginalne wielomiany Dicksona.

Istotne właściwości wielomianów Dicksona również uogólniają:

• Relacja powtarzalności : Dla n ≥ 2 ,

${\ Displaystyle D_ {n ,k}(x,\alpha )=xD_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha )\,,} z warunkami$

początkowymi D _{0, k} ( x , α ) = 2 - k i re _{1, k} ( x , α ) = x .

• Równanie funkcjonalne :

${\ Displaystyle D_ {n, k} \ lewo (y + \ alfa y ^ {- 1}, \ alfa \ dobrze)={\frac {y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\cdots +k\alpha ^{n-1}y^{2}+\alpha ^{n}}{ y^{n}}}={\frac {y^{2n}+{\alfa}^{n}}{y^{n}}}+\left({\frac {k\alfa}}{y^ {n}}}\right){\frac {y^{2n}-{\alpha}^{n-1}y^{2}}{y^{2}-\alpha }}\,,}$

gdzie y ≠ 0 , y ² ≠ α .

• Funkcja generująca :

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} D_ {n, k} (x, \ alfa) z ^ {n} = {\ Frac {2-k + (k-1) xz} {1 -xz+\alpha z^{2}}}\,.}$

Notatki

•      Brewer, BW (1961), „O pewnych sumach znaków”, Transactions of the American Mathematical Society , 99 (2): 241–245, doi : 10.2307/1993392 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993392 , MR 0120202 , Zbl 0103.03205
•     Dickson LE (1897). „Analityczna reprezentacja podstawień na potędze liczby pierwszej liter z omówieniem grupy liniowej I, II”. Ann. z matematyki . Roczniki matematyki . 11 (1/6): 65–120, 161–183. doi : 10.2307/1967217 . hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t4zh9cw1v . ISSN 0003-486X . JFM 28.0135.03 . JSTOR 1967217 .
•     Smażone, Michael (1970). „Na przypuszczeniach Schur” . Matematyka Michigan. J. _ 17 : 41–55. doi : 10.1307/mmj/1029000374 . ISSN 0026-2285 . MR 0257033 . Zbl 0169.37702 .
•     Lidl R.; Mullen, GL; Turnwald, G. (1993). Wielomiany Dicksona . Monografie i ankiety Pitmana z matematyki czystej i stosowanej. Tom. 65. Longman Naukowo-Techniczny, Harlow; opublikowane wspólnie w Stanach Zjednoczonych z John Wiley & Sons, Inc., Nowy Jork. ISBN 978-0-582-09119-1 . MR 1237403 . Zbl 0823.11070 .
•    Lidla, Rudolfa; Niederreiter, Harald (1983). Pola skończone . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . Tom. 20 (wyd. 1). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-13519-0 . Zbl 0866.11069 .
• Mullen, Gary L. (2001) [1994], „Wielomiany Dicksona” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•   Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Podręcznik pól skończonych , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
•   Müller, Piotr (1997). „Bezpłatny dowód hipotezy Schura związany z Weilem” . Pola skończone i ich zastosowania . 3 : 25–32. doi : 10.1006/ffta.1996.0170 . Zbl 0904.11040 .
•   Rassias, Termistokles M.; Srivastava, HM; Januszauskas, A. (1991). Tematy wielomianów jednej i kilku zmiennych oraz ich zastosowania: dziedzictwo PLChebysheva . Świat naukowy. s. 371–395. ISBN 978-981-02-0614-7 .
•    Turnwald, Gerhard (1995). „O przypuszczeniach Schura” . J. Austral. Matematyka soc. Ser. A. _ 58 (3): 312–357. doi : 10.1017/S1446788700038349 . MR 1329867 . Zbl 0834.11052 .
• Młody, Paul Thomas (2002). „O zmodyfikowanych wielomianach Dicksona” (PDF) . Kwartalnik Fibonacciego . 40 (1): 33–40.