Wielomian wieloliniowy

W algebrze wielomian wieloliniowy jest wielomianem wielowymiarowym , który jest liniowy (czyli afiniczny ) w każdej ze swoich zmiennych osobno , ale niekoniecznie jednocześnie . Jest to wielomian, w którym żadna zmienna nie występuje do potęgi 2 lub wyższej; to znaczy każdy jednomian jest stałą razy iloczyn różnych zmiennych. Na przykład f(x,y,z) = 3xy + 2,5 y - 7z jest wielomianem wieloliniowym stopnia 2 (ze względu na jednomian 3xy), podczas gdy f(x,y,z) = x² +4y nim nie jest. The stopień wielomianu wieloliniowego to maksymalna liczba odrębnych zmiennych występujących w dowolnym jednomianie.

Definicja

Wielomiany wieloliniowe można rozumieć jako mapę wieloliniową (konkretnie postać wieloliniową ) zastosowaną do wektorów [1 x], [1 y] itd. Ogólną postać można zapisać jako skrócenie tensorowe :

$${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {i_ {1} = 0} ^ {1} \ suma _ {i_ {2} = 0} ^ {1} \ cdots \ suma _ {i_ {n} = 0 }^{1}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n} ^{i_{n}}}$$

Na przykład w dwóch zmiennych:

$${\ Displaystyle f (x, y) = \ suma _ {i = 0} ^ {1} \ suma _ {j = 0} ^ {1} a_ {ij} x ^ {i} y ^ { j}=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy={\begin{pmatrix}1&x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{00}&a_ {01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\y\end{pmatrix}}}$$

Nieruchomości

Wielomian wieloliniowy $fa$$\ displaystyle x_ {k}}$ (afiniczny), gdy zmienia się tylko jedną zmienną: :

$$(x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {k },...,x_{n})=ax_{k}+b}$$

gdzie i $displaystyle$$b}$ nie zależą od $\ displaystyle x_ {k}}$ . Zauważ, że $generalnie$$jest liniowy w sensie „w$ wynosi zero, więc linii”, ale nie w sensie „bezpośrednio proporcjonalnym” mapy wieloliniowej .

Wszystkie powtórzone drugie częściowe pochodne są zerowe:

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x_ {k} ^ {2}}} = 0}$$

Innymi słowy, jego macierz Hesji jest symetryczną pustą macierzą .

$funkcją$ szczególności Laplace'a $.$ _ _ _ _ Oznacza to, $maksima$ ma i minima tylko na granicy dziedziny .

$,$ każde ograniczenie do $podzbioru$ jego współrzędnych jest również wieloliniowe, więc nadal gdy jedna lub więcej zmiennych jest Innymi słowy, jest harmoniczna na każdym „ $wycinku$ ” domeny wzdłuż osi współrzędnych

Na prostokątnej domenie

Gdy dziedzina jest prostokątna w osiach współrzędnych (np $Hipersześcian$ ) , będzie miała maksima i minima tylko na wierzchołkach dziedziny, tj. skończony zbiór ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ punkty o minimalnych i maksymalnych wartościach współrzędnych. Wartość funkcji w tych punktach całkowicie określa funkcję, ponieważ wartość na krawędziach granicy można znaleźć za pomocą interpolacji liniowej , a wartość na pozostałej części granicy i we wnętrzu jest ustalana przez Równanie Laplace'a , ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f = 0}$ .

Wartość wielomianu w dowolnym punkcie można znaleźć przez powtarzaną interpolację liniową wzdłuż każdej osi współrzędnych. Równoważnie jest to średnia ważona wartości wierzchołków, gdzie wagi są wielomianami interpolacji Lagrange'a . Wagi te stanowią również zbiór uogólnionych współrzędnych barycentrycznych dla hiperprostokąta . Geometrycznie punkt dzieli domenę na $hiperprostokąty$ , a waga każdego wierzchołka to (ułamkowa) objętość przeciwległego hiperprostokąta

Algebraicznie wieloliniowy interpolant na hiperprostokącie ${\ Displaystyle [a_ {i}, b_ {i}] _ {i = 1} ^ {n}}$ to:

$${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {v} f (v) \ prod _ {i | v_ {i} = b_ {i}} {\ Frac {x_ {i} -a_ {i}} {b_ {i}-a_{i}}}\prod _{i|v_{i}=a_{i}}{\frac {b_{i}-x_{i}}{b_{i}-a_{i} }}}$$

gdzie suma jest przejmowana przez wierzchołki ${\ displaystyle v}$ . równoważnie,

$${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {V}} \ suma _ {v} f (v) \ prod _ {i | v_ {i} =b_{i}}(x_{i}-a_{i})\prod _{i|v_{i}=a_{i}}(b_{i}-x_{i})}$$

gdzie V jest objętością hiperprostokąta.

Wartość w środku jest średnią arytmetyczną wartości w wierzchołkach, która jest również średnią na granicy dziedziny i średnią na wnętrzu. Składniki gradientu w środku są proporcjonalne do równowagi wartości wierzchołków wzdłuż każdej osi współrzędnych.

Wartości wierzchołków i współczynniki wielomianu są powiązane przez $i transformata$ liniową (w szczególności transformatę Möbiusa jednostka Walsha -Hadamarda-Fouriera , jeśli domena jest symetrycznym hipersześcianem ${\ Displaystyle \ {- 1,1 \} ^ {n}} )$ .

Aplikacje

Wielomiany wieloliniowe to interpolanty interpolacji wieloliniowej lub n-liniowej na siatce prostokątnej, uogólnienie interpolacji liniowej , interpolacji dwuliniowej i interpolacji trójliniowej na dowolną liczbę zmiennych. Jest to specyficzna forma interpolacji wielowymiarowej , której nie należy mylić z fragmentaryczną interpolacją liniową. Wynikowy wielomian nie jest liniową funkcją współrzędnych (jej stopień może być większy niż 1), ale jest to liniowa funkcja dopasowanych wartości danych.

Wyznacznikami , stałymi i innymi immanantami macierzy są jednorodne wielomiany wieloliniowe w elementach macierzy (a także formy wieloliniowe w wierszach lub kolumnach).

Wielomiany wieloliniowe w $Fouriera$ tworzą $-wymiarową$ przestrzeń wektorową , która jest również podstawą w analizie (pseudo-) boolowskich . Każdą ( pseudo- ) boolowską funkcję można jednoznacznie wyrazić jako wielomian wieloliniowy (do wyboru domeny i kodu).

Wielomiany wieloliniowe są ważne w badaniu tożsamości wielomianów .

Zobacz też

• dwuliniowa i trójliniowa z wykorzystaniem wielomianów wielowymiarowych z dwiema lub trzema zmiennymi
• Wielomian Zhegalkina , wielomian wieloliniowy nad ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$
• Forma wieloliniowa i mapa wieloliniowa , funkcje wieloliniowe, które są ściśle liniowe (nie afiniczne) w każdej zmiennej
• Postać liniowa , wielowymiarowa funkcja liniowa
• Wielomian harmoniczny