Wielomian harmoniczny

W matematyce , w algebrze abstrakcyjnej $,$ wielomian wielowymiarowy $p$ nad polem , w którym laplacian p wynosi zero , nazywany jest wielomianem harmonicznym .

Wielomiany harmoniczne tworzą podprzestrzeń wektorową przestrzeni wektorowej wielomianów nad ciałem. W rzeczywistości tworzą one stopniowaną podprzestrzeń . Dla pola rzeczywistego wielomiany harmoniczne są ważne w fizyce matematycznej.

Laplacian jest sumą drugich części składowych w odniesieniu do wszystkich zmiennych i jest niezmiennym operatorem różniczkowym pod działaniem grupy ortogonalnej poprzez grupę obrotów.

Standardowe twierdzenie o separacji zmiennych ^{[ potrzebne źródło ]} mówi, że każdy wielomian wielowymiarowy w polu można rozłożyć na skończoną sumę iloczynów wielomianu radialnego i wielomianu harmonicznego. Jest to równoważne stwierdzeniu, że pierścień wielomianowy jest modułem swobodnym na pierścieniu wielomianów radialnych.

Zobacz też

^ Walsh, JL (1927). „O rozwinięciu funkcji harmonicznych w kategoriach wielomianów harmonicznych” . Obrady Narodowej Akademii Nauk . 13 (4): 175–180. Bibcode : 1927PNAS...13..175W . doi : 10.1073/pnas.13.4.175 . PMC 1084921 . PMID 16577046 .
^ Helgason, Sigurdur (2003). „Rozdział III. Niezmienniki i wielomiany harmoniczne” . Grupy i analiza geometryczna: geometria całkowa, niezmienne operatory różniczkowe i funkcje sferyczne . Ankiety matematyczne i monografie, tom. 83. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. s. 345–384. ISBN 9780821826737 .
^ Felder, Giovanni; Veselov, Alexander P. (2001). „Działanie grup Coxetera na wielomiany m-harmoniczne i równania KZ”. arXiv : matematyka/0108012 .
^ Sobolew, Siergiej Lwowicz (2016). Równania różniczkowe cząstkowe fizyki matematycznej . Międzynarodowa seria monografii z matematyki czystej i stosowanej. Elsevier. s. 401–408. ISBN 9781483181363 .
^ Whittaker, Edmund T. (1903). „O równaniach różniczkowych cząstkowych fizyki matematycznej” . Mathematische Annalen . 57 (3): 333–355. doi : 10.1007/bf01444290 . S2CID 122153032 .
^ Byerly, William Elwood (1893). „Rozdział VI. Harmoniczne sferyczne” . Elementarny traktat o szeregach Fouriera oraz sferycznych, cylindrycznych i elipsoidalnych harmonicznych, z zastosowaniami do problemów z fizyki matematycznej . Dover. s. 195–218.
Bibliografia _ Wniosek 1.8 Axlera, Sheldona; Ramey, Wade (1995), Wielomiany harmoniczne i problemy typu Dirichleta

Lie Group Representations of Polynomial Rings autorstwa Bertrama Kostanta, opublikowane w American Journal of Mathematics, tom 85 nr 3 (lipiec 1963) doi : 10.2307/2373130

[1] Walsh, JL (1927). „O rozwinięciu funkcji harmonicznych w kategoriach wielomianów harmonicznych” . Obrady Narodowej Akademii Nauk . 13 (4): 175–180. Bibcode : 1927PNAS...13..175W . doi : 10.1073/pnas.13.4.175 . PMC 1084921 . PMID 16577046 .

[2] Helgason, Sigurdur (2003). „Rozdział III. Niezmienniki i wielomiany harmoniczne” . Grupy i analiza geometryczna: geometria całkowa, niezmienne operatory różniczkowe i funkcje sferyczne . Ankiety matematyczne i monografie, tom. 83. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. s. 345–384. ISBN 9780821826737 .

[3] Felder, Giovanni; Veselov, Alexander P. (2001). „Działanie grup Coxetera na wielomiany m-harmoniczne i równania KZ”. arXiv : matematyka/0108012 .

[4] Sobolew, Siergiej Lwowicz (2016). Równania różniczkowe cząstkowe fizyki matematycznej . Międzynarodowa seria monografii z matematyki czystej i stosowanej. Elsevier. s. 401–408. ISBN 9781483181363 .

[5] Whittaker, Edmund T. (1903). „O równaniach różniczkowych cząstkowych fizyki matematycznej” . Mathematische Annalen . 57 (3): 333–355. doi : 10.1007/bf01444290 . S2CID 122153032 .

[6] Byerly, William Elwood (1893). „Rozdział VI. Harmoniczne sferyczne” . Elementarny traktat o szeregach Fouriera oraz sferycznych, cylindrycznych i elipsoidalnych harmonicznych, z zastosowaniami do problemów z fizyki matematycznej . Dover. s. 195–218.

[7] Bibliografia _ Wniosek 1.8 Axlera, Sheldona; Ramey, Wade (1995), Wielomiany harmoniczne i problemy typu Dirichleta