Wielomian wykładniczy

Ten artykuł dotyczy wielomianów w zmiennych i funkcji wykładniczych. Aby zapoznać się z wielomianami obejmującymi liczby Stirlinga, zobacz Wielomiany Toucharda .

W matematyce wielomiany wykładnicze to funkcje na ciałach , pierścieniach lub grupach abelowych , które przybierają postać wielomianów w zmiennej i funkcji wykładniczej .

Definicja

Na polach

Wykładniczy wielomian na ogół ma zarówno zmienną x , jak i pewnego rodzaju funkcję wykładniczą E ( x ). W liczbach zespolonych istnieje już kanoniczna funkcja wykładnicza, funkcja, która odwzorowuje x na e ^x . W tym ustawieniu termin wielomian wykładniczy jest często używany do oznaczania wielomianów postaci P ( x , e ^x ), gdzie P ∈ C [ x , y ] jest wielomianem dwóch zmiennych.

Nie ma tu nic szczególnego w C ; wielomiany wykładnicze mogą również odnosić się do takiego wielomianu na dowolnym polu wykładniczym lub pierścieniu wykładniczym, przy czym jego funkcja wykładnicza zajmuje miejsce ex ^x powyżej. Podobnie nie ma powodu, aby mieć jedną ^{1 _zmienną} , a wielomian wykładniczy w n zmiennych miałby postać P ( x ₁ , ..., x _n , ex , ..., e ^{x _n} ), gdzie P jest wielomianem w 2 n zmiennych.

Dla formalnych wielomianów wykładniczych nad ciałem K postępujemy w następujący sposób. Niech W będzie skończenie generowanym Z - submodułem K i rozważ skończone sumy postaci

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} (X) \ exp (w_ {i} X) \ ,}$

  gdzie fi _to wielomiany w K [ X ], a exp( w _i X ) to symbole formalne indeksowane przez w _i w W podlegające exp( u + v ) = exp( u ) exp( v ).

W grupach abelowych

Bardziej ogólne ramy, w których można znaleźć termin „wielomian wykładniczy”, to funkcje wykładnicze na grupach abelowych. Podobnie jak w przypadku definiowania funkcji wykładniczych na polach wykładniczych, biorąc pod uwagę topologiczną grupę abelową G , homomorfizm od G do grupy addytywnej liczb zespolonych nazywany jest funkcją addytywną, a homomorfizm do multiplikatywnej grupy niezerowych liczb zespolonych nazywany jest wykładniczym funkcja lub po prostu wykładnicza. Iloczyn funkcji addytywnych i wykładniczych nazywany jest jednomianem wykładniczym, a ich liniowa kombinacja jest wówczas wielomianem wykładniczym na G .

Nieruchomości

Twierdzenie Ritta stwierdza, że ​​​​analogi unikalnego rozkładu na czynniki i twierdzenie o czynnikach są spełnione dla pierścienia wielomianów wykładniczych.

Aplikacje

Wykładnicze wielomiany na R i C często pojawiają się w transcendentalnej teorii liczb , gdzie pojawiają się jako funkcje pomocnicze w dowodach obejmujących funkcję wykładniczą. Działają również jako łącznik między teorią modeli a geometrią analityczną . Jeśli zdefiniujemy rozmaitość wykładniczą jako zbiór punktów w R ⁿ , w których znika jakiś skończony zbiór wielomianów wykładniczych, wówczas wyniki takie jak twierdzenie Khovanskiegoǐ w geometrii różniczkowej i twierdzenie Wilkiego w teorii modeli pokazują, że te rozmaitości zachowują się dobrze w tym sensie, że zbiór takich rozmaitości jest stabilny przy różnych operacjach teorii mnogości, o ile pozwala się na włączenie obrazu do projekcji wielowymiarowych rozmaitości wykładniczych. Rzeczywiście, dwa wyżej wymienione twierdzenia implikują, że zbiór wszystkich rozmaitości wykładniczych tworzy o-minimalną strukturę nad R .

Wielomiany wykładnicze pojawiają się w równaniach charakterystycznych związanych z równaniami różniczkowymi opóźnienia liniowego .